מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־17:55, 16 בפברואר 2017

דוגמא.

מצא עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים אי-השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x^2-1|+|x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון.

על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

חלוקה למקרים

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

[math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\ge1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x-2\ge0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math]

ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

עבור [math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\ge0 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\lt 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים

נבדוק עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.

עבור [math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x^2-1+x-2\gt 4x+5\\x^2-3x-8\gt 0\end{align} }[/math]

נמצא מהם ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8\gt 0\end{cases} }[/math]

ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם

[math]\displaystyle{ x\gt \dfrac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

לכן ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר גם נמצאים בתחום וגם אינם מקיימים את אי-השוויון הם

[math]\displaystyle{ 2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים בדיוק מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

עבור [math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x^2-1-(x-2)\gt 4x+5\\x^2-5x-4\gt 0\end{align} }[/math]

מסתבר שערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

ואילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math]

נסיים במקרה הנותר:

עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}-x^2+1-x+2\gt 4x+5\\x^2+5x+2\lt 0\end{align} }[/math]

ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר גם נמצאים בתחום וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt \dfrac{\sqrt{17}-5}{2} }[/math]

ואילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:

[math]\displaystyle{ \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x\lt 1 }[/math]

סיכום התוצאות

אי-השוויון מתקיים עבור ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] הבאים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x&\gt \dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&\lt \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align} }[/math]

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
-'''דוגמא''':
+;דוגמא.
+מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא:
+*<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
-מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+;פתרון.
+על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x</math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
-*<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>
+בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
+===חלוקה למקרים===
+ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
+*<math>x^2-1\ge0</math>
+אם ורק אם:
+<math>x\ge1</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
+*<math>x-2\ge0</math>
+אם ורק אם:
-'''פתרון''':
+<math>x\ge2</math>
-על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
-בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
+ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
+*עבור <math>x\ge2</math>
-===חלוקה למקרים===
+מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>
-ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
-*<math>x^2-1\geq 0</math>
+*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
-אם ורק אם:
+מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
-<math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>
-*<math>x-2\geq 0</math>
+*עבור <math>-1<x<1</math>
-אם ורק אם:
+מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
-<math>x\geq 2</math>
+===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===
+נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.
+*עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך:
+:<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>
+נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
-ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
+:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
-*עבור <math>x\geq 2</math>
+ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם
-מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0</math>
+:<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
+לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם
-*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>
+:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
-מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
+כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
+*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך:
+:<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math>
-*עבור <math>-1<x<1</math>
+מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
+:<math>x\le-1</math>
-מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
+ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:
+:<math>1\le x<2</math>
-===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===
-נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.
+נסיים במקרה הנותר:
-*עבור <math>x\geq 2</math> אי השיוויון נראה כך:
+*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך:
+:<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>
-::<math>x^2-1+x-2>4x+5</math>
+ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
-::<math>x^2-3x-8>0</math>
+:<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math>
+ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
-נמצא מהם ערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון:
+:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
+===סיכום התוצאות===
+אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
-::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
+*<math>\begin{align}x&>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}</math>