מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1: הבדלים בין גרסאות בדף
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (17 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
*<math>x^2+2x+1\ | *<math>x^2+2x+1\le0</math> | ||
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס. | ||
לפי | לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> . | ||
המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב<math>-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x). | המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>). | ||
פתרון: <math>x=-1</math> | פתרון: <math>x=-1</math> | ||
*<math>(1-x)(x+6)> 0</math> | *<math>(1-x)(x+6)>0</math> | ||
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב<math>x=1 | נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> . | ||
אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים | אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> , | ||
וערכים חיוביים | וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> . | ||
פתרון: <math>-6<x<1</math> | פתרון: <math>-6<x<1</math> | ||
*<math>-3x^2 +6x - 1 \ | *<math>-3x^2+6x-1\ge0</math> | ||
מתי | נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math> | ||
המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | ||
פתרון: <math>1 - {\ | פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math> | ||
*<math> | *<math>x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0</math> | ||
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2 | נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2,x^2+1,x^2-1</math> ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי. | ||
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי) | <math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי) | ||
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \ | <math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x=\pm1</math> . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> | ||
<math>x^2</math> : מתאפס | <math>x^2</math> : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת. | ||
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים: | קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים: | ||
| שורה 46: | שורה 46: | ||
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית | <math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית | ||
בנקודות <math>x=0 , \ | בנקודות <math>x=0,\pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון. | ||
פתרון: <math>-1 \ | פתרון: <math>-1\le x\le1</math> | ||
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math> | *<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0</math> | ||
כאשר <math>n\in\ | כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> . | ||
השאלה היא מתי מכפלה של <math>n</math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x</math> מספר שלם בין 1 ל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון. | |||
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x<1,1<x<2,\ldots,n<x</math> . בתחום האחרון <math>n<x</math> כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים: | |||
אם <math>x< | <math>n</math> זוגי: אם <math>x<1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n</math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>k<x<k+1</math> עבור <math>1\le k\le n-1</math> . אם <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n</math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית. | ||
לכן התשובה עבור <math>n</math> זוגי היא: | |||
:<math>x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math> | |||
עבור <math>n</math> אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: | |||
:<math>1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math> | |||
*<math>|x|\le7</math> | |||
נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math> | |||
אם <math>x<0</math> נקבל <math>x\ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7\le x<0</math> | |||
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון | נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון | ||
:<math>-7\le x\le7</math> | |||
*<math>|2x-1|<7</math> | *<math>|2x-1|<7</math> | ||
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math> | נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים: | ||
<math>x \ | <math>x\ge\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>x<4</math> . התשובה היא <math>\tfrac12\le x<4</math> | ||
<math>x < | <math>x<\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>x>-3</math> . התשובה היא <math>-3<x<\tfrac12</math> . נאחד את הפתרונות ונקבל: | ||
פתרון: <math>-3 < x < 4</math> | פתרון: <math>-3<x<4</math> | ||
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math> | *<math>(x-1)|x-1|>1</math> | ||
נחלק למקרים: | נחלק למקרים: | ||
<math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x | <math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-2)>0</math> . ביטוי זה חיובי כאשר <math>x<0</math> או <math>x>2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math> | ||
<math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>- | <math>x<1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>(x-1)^2<-1</math> . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון. | ||
פתרון: <math>x>2</math> | פתרון: <math>x>2</math> | ||
*<math>\frac{|x|}{x} > 1</math> | *<math>\frac{|x|}{x}>1</math> | ||
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math> . אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x}{x}>1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x}{x}>1</math> וגם זה לא יתכן. | |||
פתרון: אף <math>x</math> לא מקיים את אי-השוויון | |||
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math> | *<math>|x-1|>|x^2-1|</math> | ||
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> . | |||
<math>x\le-1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2+x-2<0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2<x<1</math> . סה"כ: <math>-2<x\le-1</math> | |||
<math>-1<x\le1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>-(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2-x>0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x>1</math> לכן סה"כ: <math>-1<x<0</math> . | |||
<math>x>1</math> : נקבל <math>x-1>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-1)<0</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון. | |||
פתרון: <math>-2<x<0</math> | |||
*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math> | |||
הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים: | |||
<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math> | |||
<math>2-\sqrt7<x\le1</math>: <math>-\sqrt6<x<\sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt7<x\le1</math> | |||
<math>1<x\le2</math> : <math>1-\sqrt5<x<1+\sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1<x\le2</math> | |||
<math>2<x\le2+\sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2<x<4</math> | |||
<math>x>2+\sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math> | |||
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> | |||
==2== | |||
נגדיר שתי פונקציות | |||
:<math>\begin{align} | |||
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases} | |||
\end{align}</math> | |||
מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים: | |||
*<math>g(x)\le0</math> | |||
נפריד למקרים: | |||
<math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים | |||
<math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math> | |||
<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון | |||
פתרון: <math>x\le0</math> | |||
*<math>f(x+1)>0</math> | |||
<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math> | |||
נפריד למקרים: | |||
<math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math> | |||
<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון | |||
<math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום | |||
פתרון: <math>x>-1</math> | |||
*<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> | |||
נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> : | |||
<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math> | |||
<math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math> | |||
<math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math> | |||
לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math> | |||
*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math> | |||
::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math> | |||
::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math> | |||
<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math> | |||
<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון. | |||
<math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> . | |||
<math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון | |||
<math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון | |||
פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math> | |||
*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math> | |||
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math> | |||
<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> . | |||
כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . | |||
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון | |||
<math>0<x\le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> | |||
<math>x>1</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום | |||
פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math> | |||
גרסה אחרונה מ־18:46, 18 במאי 2017
1
- [math]\displaystyle{ x^2+2x+1\le0 }[/math]
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] .
המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף [math]\displaystyle{ x }[/math]).
פתרון: [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)\gt 0 }[/math]
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=1,-6 }[/math] .
אם נפתח סוגריים נקבל [math]\displaystyle{ -x^2-5x+6 }[/math] והמקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר [math]\displaystyle{ x\lt -6 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] , וערכים חיוביים כאשר [math]\displaystyle{ -6\lt x\lt 1 }[/math] .
פתרון: [math]\displaystyle{ -6\lt x\lt 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ -3x^2+6x-1\ge0 }[/math]
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל [math]\displaystyle{ x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3} }[/math]
המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון: [math]\displaystyle{ 1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0 }[/math]
נפרק לשלושה ביטויים: [math]\displaystyle{ x^2,x^2+1,x^2-1 }[/math] ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
[math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=-1 }[/math] אין פתרון ממשי)
[math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math] : מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=\pm1 }[/math] . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר [math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 0 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
[math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
[math]\displaystyle{ 1\lt x }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות [math]\displaystyle{ x=0,\pm1 }[/math] הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
פתרון: [math]\displaystyle{ -1\le x\le1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)\gt 0 }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ n\in\N }[/math] . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של [math]\displaystyle{ n }[/math] .
השאלה היא מתי מכפלה של [math]\displaystyle{ n }[/math] גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר [math]\displaystyle{ x }[/math] מספר שלם בין 1 ל-[math]\displaystyle{ n }[/math] , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים [math]\displaystyle{ x\lt 1,1\lt x\lt 2,\ldots,n\lt x }[/math] . בתחום האחרון [math]\displaystyle{ n\lt x }[/math] כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
[math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי: אם [math]\displaystyle{ x\lt 1 }[/math] כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה [math]\displaystyle{ k\lt x\lt k+1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 1\le k\le n-1 }[/math] . אם [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי היא:
- [math]\displaystyle{ x\lt 1,2\lt x\lt 3,4\lt x\lt 6,\ldots,2k\lt x\lt 2k+1,\ldots,n-2\lt x\lt n-1,n\lt x }[/math]
עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
- [math]\displaystyle{ 1\lt x\lt 2,3\lt x\lt 4,\ldots,2k-1\lt x\lt 2k,\ldots,n-2\lt x\lt n-1,n\lt x }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x|\le7 }[/math]
נחלק למקרים: אם [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math] נקבל את אי-השוויון [math]\displaystyle{ |x|\le7 }[/math] ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם [math]\displaystyle{ 0\le x\le7 }[/math]
אם [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ x\ge-7 }[/math] וסה"כ הפתרונות הם [math]\displaystyle{ -7\le x\lt 0 }[/math]
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
- [math]\displaystyle{ -7\le x\le7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |2x-1|\lt 7 }[/math]
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=\tfrac12 }[/math] לכן נתבונן במקרים:
[math]\displaystyle{ x\ge\tfrac12 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ 2x-1\lt 7 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x\lt 4 }[/math] . התשובה היא [math]\displaystyle{ \tfrac12\le x\lt 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\lt \tfrac12 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -2x+1\lt 7 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x\gt -3 }[/math] . התשובה היא [math]\displaystyle{ -3\lt x\lt \tfrac12 }[/math] . נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון: [math]\displaystyle{ -3\lt x\lt 4 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x-1)|x-1|\gt 1 }[/math]
נחלק למקרים:
[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ (x-1)(x-1)\gt 1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x(x-2)\gt 0 }[/math] . ביטוי זה חיובי כאשר [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math] (בדקו!). לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\lt 1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -(x-1)(x-1)\gt 1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ (x-1)^2\lt -1 }[/math] . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x}\gt 1 }[/math]
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] . אם [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \dfrac{x}{x}\gt 1 }[/math] וזה לא יתכן. אם [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \dfrac{-x}{x}\gt 1 }[/math] וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף [math]\displaystyle{ x }[/math] לא מקיים את אי-השוויון
- [math]\displaystyle{ |x-1|\gt |x^2-1| }[/math]
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור [math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] .
[math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math] : נקבל אי-שוויון [math]\displaystyle{ -(x-1)\gt x^2-1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x^2+x-2\lt 0 }[/math] והפתרון של זה הוא [math]\displaystyle{ -2\lt x\lt 1 }[/math] . סה"כ: [math]\displaystyle{ -2\lt x\le-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ -1\lt x\le1 }[/math] : נקבל אי-שוויון [math]\displaystyle{ -(x-1)\gt -(x^2-1) }[/math] ואחרי פישוט: [math]\displaystyle{ x^2-x\gt 0 }[/math] . הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 0 }[/math] .
[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ x-1\gt x^2-1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x(x-1)\lt 0 }[/math] והפתרון הוא [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: [math]\displaystyle{ -2\lt x\lt 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|\gt 2x }[/math]
הביטוי הריבועי מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=2\pm\sqrt7 }[/math] . נחלק למקרים:
[math]\displaystyle{ x\le2-\sqrt7 }[/math] : [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 8 }[/math] לכן סה"כ [math]\displaystyle{ x\le2-\sqrt7 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2-\sqrt7\lt x\le1 }[/math]: [math]\displaystyle{ -\sqrt6\lt x\lt \sqrt6 }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ 2-\sqrt7\lt x\le1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1\lt x\le2 }[/math] : [math]\displaystyle{ 1-\sqrt5\lt x\lt 1+\sqrt5 }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ 1\lt x\le2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2\lt x\le2+\sqrt7 }[/math] : [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 4 }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ 2\lt x\lt 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\gt 2+\sqrt7 }[/math] : [math]\displaystyle{ x\lt 2-\sqrt{10} }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 2+\sqrt{10} }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ x\gt 2+\sqrt{10} }[/math]
פתרון: [math]\displaystyle{ x\lt 4 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 2+\sqrt{10} }[/math]
2
נגדיר שתי פונקציות
- [math]\displaystyle{ \begin{align} f(x)&=\begin{cases}x^2&x\gt 0\\0&x=0\\-x^2&x\lt 0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x\gt 1\\|x|+x&x\le1\end{cases} \end{align} }[/math]
מצא עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
- [math]\displaystyle{ g(x)\le0 }[/math]
נפריד למקרים:
[math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] : במקרה זה אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -x + x\le0 }[/math] והוא תמיד מתקיים
[math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ x+x\le0 }[/math] והוא מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\le0 }[/math] לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ x-1\le0 }[/math] לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x\le1 }[/math] ולכן אין פתרון
פתרון: [math]\displaystyle{ x\le0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x+1)\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x\gt -1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x\lt -1\end{cases} }[/math]
נפריד למקרים:
[math]\displaystyle{ x\gt -1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ (x+1)^2\gt 0 }[/math] וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל [math]\displaystyle{ x\gt -1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -(x+1)^2\gt 0 }[/math] וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון: [math]\displaystyle{ x\gt -1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g\big(f(x)\big)\ge0 }[/math]
נשים לב שמתקיים: [math]\displaystyle{ g(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] :
[math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] : [math]\displaystyle{ g(x)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math] : [math]\displaystyle{ g(x)=2x\ge0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] : [math]\displaystyle{ g(x)=x-1\ge0 }[/math]
לכן גם מתקיים [math]\displaystyle{ g\big(f(x)\big)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)\gt x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x\gt -1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x\lt -1\end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(x-1)=\begin{cases}x-2&x\gt 2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x\lt 1\end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2\gt x }[/math] . הפתרון הוא [math]\displaystyle{ -\dfrac{3+\sqrt5}{2}\lt x\lt -1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=0\gt -1 }[/math] לכן זה פתרון.
[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2\gt x }[/math] . נכון לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] .
[math]\displaystyle{ 1\le x\le2 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2\gt x }[/math] . כל התחום הוא פתרון
[math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2\gt x }[/math] . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון: [math]\displaystyle{ x\gt -\dfrac{3+\sqrt5}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)|\lt x }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x\lt -1\or1\lt x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] : [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|\lt x }[/math] .
כיון שאנחנו בתחום [math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: [math]\displaystyle{ 2x^2-1\lt x }[/math] .
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום [math]\displaystyle{ -1\le x\lt 0 }[/math] . נקבל [math]\displaystyle{ |2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2\lt x }[/math] ואין לזה פתרון בתחום [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] . נציב ונקבל שזה לא פתרון
[math]\displaystyle{ 0\lt x\le1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ |2x^2-x^2|=x^2\lt x }[/math] והפתרון הוא [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ |x^2-1-x^2|=1\lt x }[/math] והפתרון הוא כל התחום
פתרון: [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]