הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(15 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
− | *<math>x^2+2x+1\ | + | *<math>x^2+2x+1\le0</math> |
− | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס | + | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס. |
− | לפי | + | לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> . |
− | המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב<math>-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x). | + | המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>). |
פתרון: <math>x=-1</math> | פתרון: <math>x=-1</math> | ||
− | *<math>(1-x)(x+6)> 0</math> | + | *<math>(1-x)(x+6)>0</math> |
− | נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב<math>x=1 | + | נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> . |
− | אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים | + | אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> , |
− | וערכים חיוביים | + | וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> . |
פתרון: <math>-6<x<1</math> | פתרון: <math>-6<x<1</math> | ||
− | *<math>-3x^2 +6x - 1 \ | + | *<math>-3x^2+6x-1\ge0</math> |
− | מתי | + | נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math> |
המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | ||
− | פתרון: <math>1 - | + | פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math> |
− | *<math> | + | *<math>x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0</math> |
− | נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2 | + | נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2,x^2+1,x^2-1</math> ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי. |
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי) | <math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי) | ||
− | <math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \ | + | <math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x=\pm1</math> . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> |
− | <math>x^2</math> : מתאפס | + | <math>x^2</math> : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת. |
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים: | קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים: | ||
שורה 46: | שורה 46: | ||
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית | <math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית | ||
− | בנקודות <math>x=0 , \ | + | בנקודות <math>x=0,\pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון. |
− | פתרון: <math>-1 \ | + | פתרון: <math>-1\le x\le1</math> |
− | *<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math> | + | *<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0</math> |
− | כאשר <math>n\in\ | + | כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> . |
+ | השאלה היא מתי מכפלה של <math>n</math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x</math> מספר שלם בין 1 ל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון. | ||
− | + | לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x<1,1<x<2,\ldots,n<x</math> . בתחום האחרון <math>n<x</math> כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים: | |
− | + | ||
− | אם <math>x< | + | <math>n</math> זוגי: אם <math>x<1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n</math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>k<x<k+1</math> עבור <math>1\le k\le n-1</math> . אם <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n</math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית. |
− | + | לכן התשובה עבור <math>n</math> זוגי היא: | |
+ | :<math>x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math> | ||
− | + | עבור <math>n</math> אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: | |
+ | :<math>1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|x|\le7</math> | ||
+ | נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math> | ||
+ | |||
+ | אם <math>x<0</math> נקבל <math>x\ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7\le x<0</math> | ||
+ | |||
+ | נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון | ||
+ | :<math>-7\le x\le7</math> | ||
*<math>|2x-1|<7</math> | *<math>|2x-1|<7</math> | ||
− | נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math> | + | נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים: |
− | <math>x \ | + | <math>x\ge\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>x<4</math> . התשובה היא <math>\tfrac12\le x<4</math> |
− | <math>x < | + | <math>x<\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>x>-3</math> . התשובה היא <math>-3<x<\tfrac12</math> . נאחד את הפתרונות ונקבל: |
− | פתרון: <math>-3 < x < 4</math> | + | פתרון: <math>-3<x<4</math> |
− | *<math>(x-1)|x-1| > 1</math> | + | *<math>(x-1)|x-1|>1</math> |
נחלק למקרים: | נחלק למקרים: | ||
− | <math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x | + | <math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-2)>0</math> . ביטוי זה חיובי כאשר <math>x<0</math> או <math>x>2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math> |
− | <math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math> | + | <math>x<1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>(x-1)^2<-1</math> . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון. |
פתרון: <math>x>2</math> | פתרון: <math>x>2</math> | ||
− | *<math>\frac{|x|}{x} > 1</math> | + | *<math>\frac{|x|}{x}>1</math> |
− | נשים לב שלביטוי אין ערך ב<math>x=0</math>. אם <math>x>0</math> נקבל <math>{x | + | נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math> . אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x}{x}>1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x}{x}>1</math> וגם זה לא יתכן. |
− | פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון | + | פתרון: אף <math>x</math> לא מקיים את אי-השוויון |
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math> | *<math>|x-1|>|x^2-1|</math> | ||
− | הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>. | + | הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> . |
+ | |||
+ | <math>x\le-1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2+x-2<0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2<x<1</math> . סה"כ: <math>-2<x\le-1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>-1<x\le1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>-(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2-x>0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x>1</math> לכן סה"כ: <math>-1<x<0</math> . | ||
+ | |||
+ | <math>x>1</math> : נקבל <math>x-1>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-1)<0</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון. | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>-2<x<0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math> | ||
+ | הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים: | ||
+ | |||
+ | <math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math> | ||
+ | |||
+ | <math>2-\sqrt7<x\le1</math>: <math>-\sqrt6<x<\sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt7<x\le1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>1<x\le2</math> : <math>1-\sqrt5<x<1+\sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1<x\le2</math> | ||
+ | |||
+ | <math>2<x\le2+\sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2<x<4</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x>2+\sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> | ||
+ | |||
+ | ==2== | ||
+ | נגדיר שתי פונקציות | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים: | ||
+ | *<math>g(x)\le0</math> | ||
+ | |||
+ | נפריד למקרים: | ||
+ | |||
+ | <math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x\le0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>f(x+1)>0</math> | ||
+ | <math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | נפריד למקרים: | ||
+ | |||
+ | <math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון | ||
+ | |||
+ | <math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x>-1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> | ||
+ | נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> : | ||
+ | |||
+ | <math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math> | ||
+ | ::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון. | ||
+ | |||
+ | <math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> . | ||
+ | |||
+ | <math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון | ||
+ | |||
+ | <math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math> | ||
+ | ::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> . | ||
− | <math>x | + | כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . |
− | <math>-1 | + | לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון |
− | <math>x | + | <math>0<x\le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> |
− | + | <math>x>1</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום | |
− | + | פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math> |
גרסה אחרונה מ־18:46, 18 במאי 2017
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב-
וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף
).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- .
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של
שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר
או
,
וערכים חיוביים כאשר
.
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה
אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב-
. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר
או
: מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של
.
השאלה היא מתי מכפלה של גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר
מספר שלם בין 1 ל-
, הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון
כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
זוגי: אם
כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי
זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה
עבור
. אם
זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי
זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור זוגי היא:
עבור אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי-השוויון
ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל
וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- לכן נתבונן במקרים:
: אי-השוויון הוא
לכן
. התשובה היא
: אי-השוויון הוא
לכן
. התשובה היא
. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי-השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. ביטוי זה חיובי כאשר
או
(בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- . אם
נקבל
וזה לא יתכן. אם
נקבל
וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף לא מקיים את אי-השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או
.
: נקבל אי-שוויון
. נפשט ונקבל
והפתרון של זה הוא
. סה"כ:
: נקבל אי-שוויון
ואחרי פישוט:
. הפתרון הוא
או
לכן סה"כ:
.
: נקבל
. נפשט ונקבל
והפתרון הוא
. לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב- . נחלק למקרים:
:
או
לכן סה"כ
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
או
. לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי-השוויון הוא
והוא תמיד מתקיים
: אי-השוויון הוא
והוא מתקיים עבור
לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא
לכן הפתרון הוא
ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי-השוויון הוא
וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי-השוויון הוא
וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון:
נשים לב שמתקיים: לכל
:
:
:
:
לכן גם מתקיים לכל
:
. הפתרון הוא
:
לכן זה פתרון.
:
. נכון לכל
.
:
. כל התחום הוא פתרון
:
. גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון:
:
.
כיון שאנחנו בתחום נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל:
.
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום . נקבל
ואין לזה פתרון בתחום
. נציב ונקבל שזה לא פתרון
: נקבל
והפתרון הוא
: נקבל
והפתרון הוא כל התחום
פתרון: או