פונקציה רציפה במידה שווה: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
|||
| (3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
[[ | פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\varepsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר. | ||
==משפט== | ==משפט== | ||
| שורה 5: | שורה 5: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות | תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות | ||
:<math>|x_n-y_n|\to 0</math> | |||
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math> | |||
לכן קיימת תת-סדרה כך ש- | |||
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math> | |||
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת). | |||
לכן קיימת תת סדרה כך ש | |||
(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה | |||
נובע מכאן כי הסדרה | נובע מכאן כי הסדרה | ||
:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> | |||
אינה חסומה. | אינה חסומה. | ||
אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש | אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש- | ||
:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> | |||
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה. | |||
: | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־05:16, 19 ביוני 2017
פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in I }[/math] אם [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \varepsilon }[/math] . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.
משפט
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע
הוכחה
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת חסומה בקטע [math]\displaystyle{ A }[/math] . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math] בקטע המקיימות
- [math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\to 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0 }[/math]
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
- [math]\displaystyle{ \Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0 }[/math]
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
- [math]\displaystyle{ \frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות [math]\displaystyle{ c_{n_k} }[/math] בין [math]\displaystyle{ x_{n_k},y_{n_k} }[/math] כך ש-
- [math]\displaystyle{ f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.