88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==1== L הינו גבול הסדרה <math>a_n</math>אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכ...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (12 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]] | |||
[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]] | |||
==1== | ==1== | ||
<math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> . | |||
<math>L</math> '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> . | |||
==2== | |||
משיעורי הבית | |||
==3== | |||
משיעורי הבית | |||
==4== | |||
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן | |||
:<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math> | |||
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת. | |||
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה. | |||
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה: | |||
נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן: | |||
:<math>L^2=L</math> | |||
כלומר <math>L=1</math> או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> . | |||
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה. | |||
==5== | |||
משיעורי הבית | |||
==6== | |||
===א=== | |||
חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0 | |||
===ב=== | |||
<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math> | |||
===ג=== | |||
<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math> | |||
===ד=== | |||
<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math> | |||
===ה=== | |||
לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון) | |||
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: | |||
==2== | <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math> | ||
גרסה אחרונה מ־05:24, 19 ביוני 2017
1
[math]\displaystyle{ L }[/math] הנו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \varepsilon }[/math] .
[math]\displaystyle{ L }[/math] אינו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך שלכל מקום [math]\displaystyle{ N }[/math] בסדרה קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge\varepsilon }[/math] .
2
משיעורי הבית
3
משיעורי הבית
4
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}\lt a_n\iff a_n^2\lt a_{n-1}^2\iff a_n\lt a_{n-1} }[/math]
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר [math]\displaystyle{ c\gt 1 }[/math] הסדרה מונוטונית עולה, כאשר [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ולכן זהו גבולה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=L }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L }[/math] ולכן:
- [math]\displaystyle{ L^2=L }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] או [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] . כיון שאנו עוסקים במקרה בו [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] והסדרה מונוטונית יורדת, [math]\displaystyle{ L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.
5
משיעורי הבית
6
א
חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0
ב
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9 }[/math]
ג
[math]\displaystyle{ L=\frac{L^2}{2}+\frac12 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]
ד
[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3 }[/math]
ה
לפי משפט אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L }[/math] קיים, אזי מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L }[/math] (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
[math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4 }[/math]