===פרדיקטים וכמתים===
בניגוד לאטומים שהם ללא משתנים ה'''פרדיקטים''' הינם פונקציות התלויות במשתנים. לדוגמא ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות x הינו סטודנט באוניברסיטה.
*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math>
====תרגיל====הוכח כי נוכיח שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי, כלומר: לכל שלש קבוצות <math>A,B,C</math> מתקיים : <math>(A\cap triangle (B)\cup triangle C )= (A\cup Ctriangle B)\cap (B\cup triangle C)</math>. במילים: האיברים שהם (גם בA וגם בB) או בC הם בדיוק האיברים ב(A או C) וגם ב(B או C)
=====פתרון====נראה שקילות בין התנאים של איבר להיות באחת הקבוצות.=
<math>x\in (A\cap B)\cup C \iff [x\in (A\cap B)] \or [x\in C] \iff [x\in A \and x\in B] \or [x\in C]</math>אפשרי ע"י טבלת אמת הנקראת טבלת שכיחויות.
כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(q\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם r=1 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>1\iff 1</math> אם r=0 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>(p\land q)\iff (p)\land (q)</math>) ===תרגיל====
הוכח כי:
א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A
ג. <math>\phi \cup A = A </math>
=====פתרון=====א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\phi : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר. הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.
ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math>כעזרת א קיבלנו הכלה בשני הכיוונים ולכן שיוויון.
ג. <math>\phi \cup A = \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math>כי <math>F\lor p\equiv p</math>.
===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
<math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math>
====תרגיל====
נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:
#<math>\phi\subseteq B</math> (כן)
#<math>A\cap B=\phi</math> (לא)
====תרגיל====
הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math>
=====פתרון=====
דרך גרירות לוגיות:
<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>
====תרגיל====
נתונות <math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}</math>, ו <math>B=\{2m+3:m\in\mathbb{Z}\}</math>. הוכח שA=B.
=====פתרון=====
נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כפי שרצינו.
ההכלה בכיוון ההפוך דומה.
==== משלים ====
'''הגדרה''': תהי קבוצה U, ונביט בתת (אוניברסלית) ותהי תת קבוצה שלה <math>A\subseteq U</math>. ניתן להגדיר נגדיר את ה'''משלים''' של A כאוסף האיברים בU שאינם בA (כלומר ההפרש ביחס ל <math>U\setminus A</math>), מסומן להיות: <math>A^c=\bar{A}=U-A={x\in U|x\notin A}</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסאלי ללא U מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
*<math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math>
*<math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math>
הערה: באופן כללי מתקיים
* א. <math>(\cap _{i\in I} A_i)^c = \cup _{i\in I} A_{i}^c </math>* ב. <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math> הוכחה לסעיף א: <math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math> ====תרגיל====הוכיחו: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math> =====פתרון=====<math>A-(B\cap C)=A\cap (B\cap C)^c=A\cap (B^c\cup C^c)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=(A-B)\cup (A-C)</math>
===קבוצת החזקה===
'''הגדרה''': תהי קבוצה A. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של A בתור אוסף כל תתי הקבוצות של A. מסומן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?
====תרגיל ממבחן====
יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו:
=====פתרון=====
א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/B)\cap(A/C)=\{2\}\cap\{1\}=\phi</math>