88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב': הבדלים בין גרסאות בדף
(←ב) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (6 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]] | |||
=המבחן של פרופ' זלצמן= | =המבחן של פרופ' זלצמן= | ||
==שאלה 1== | ==שאלה 1== | ||
תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה | תהי סדרה <math>a_n</math> , ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
על־מנת להוכיח כי <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> . | |||
נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל | נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\varepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו. | ||
לכן, עבור <math>\ | לכן, עבור <math>\frac1n</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac1n</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac2n</math> (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2n</math> מ־<math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
נבחר איברים כאלה | |||
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
| שורה 15: | שורה 15: | ||
===א=== | ===א=== | ||
<math>\ | <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)</math> | ||
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: | נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: | ||
<math>\ | <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1</math> | ||
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. | ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. | ||
קל לראות | קל לראות כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''. | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
<math>\ | <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}</math> | ||
קל לראות | קל לראות כי <math>e^\frac{1}{\log(n)}\to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''. | ||
===ג=== | ===ג=== | ||
<math>\ | <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}</math> | ||
בערך מוחלט זה קטן | בערך מוחלט זה קטן מ־<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור | ||
<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''. | |||
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
ציטוט משפטים | ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה | ||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
זהה וסווג נקודות | זהה וסווג נקודות אי־רציפות: | ||
===א=== | ===א=== | ||
<math>(x^2-1)sin(\ | <math>(x^2-1)\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math> | ||
נקודות | נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0,1</math> . ב־<math>0^+</math> , <math>\frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty</math> . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־<math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''. | ||
בנקודה 1 אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת | בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־<math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־<math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות סליקה. | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
<math>f(x)= | <math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math> | ||
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה | נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־<math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו־<math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''. | ||
===ג=== | ===ג=== | ||
<math>tan(\frac{1}{log(x^2)})</math> | <math>\tan\left(\frac{1}{\log(x^2)}\right)</math> | ||
ב־<math>0</math> , הלוגריתם שואף ל־<math>-\infty</math> ולכן <math>\frac{1}{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות '''סליקה'''. | |||
ב־<math>\pm1</math> הלוגריתם שואף ל־<math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac{1}{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. | |||
במקומות בהם <math>\frac{1}{log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> | במקומות בהם <math>\frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math> | ||
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים | האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים? | ||
===א=== | ===א=== | ||
<math>e^{-| | <math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math> | ||
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>| | הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
<math>log(2+cos(x))</math> בכל הממשיים. | <math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים. | ||
<math>2+cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו | <math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math> . בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. | ||
===ג=== | ===ג=== | ||
<math>cos( | <math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math> | ||
ניקח שתי סדרות ששואפות | ניקח שתי סדרות ששואפות ל־<math>0</math> , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math> | ||
==שאלה 6== | ==שאלה 6== | ||
| שורה 83: | שורה 84: | ||
==שאלה 7== | ==שאלה 7== | ||
תהי f גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> | תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> | ||
===א=== | ===א=== | ||
הוכח שאם קיים הגבול <math>\ | הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> . | ||
לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\ | לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש־ <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל. | ||
נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\ | נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו. | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\ | מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math> | ||
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^ | כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac1x\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־ <math>0</math> , נוכיח שהיא גם גזירה ב־<math>0</math> . | ||
:<math>f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0</math> | |||
לכן ערך הנגזרת ב־<math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב־<math>x_0=0</math>? | |||
הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־<math>2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . לכן גבולה ב־<math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו. | |||
==שאלה 8== | |||
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־<math>(-1,1)</math> . הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת־קטע סגור של <math>(-1,1)</math> . | |||
== | ===הפרכה=== | ||
למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה | |||
:<math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math> | |||
היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac2x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> . נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to-\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> . | |||
גרסה אחרונה מ־11:59, 29 באוגוסט 2018
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] , ותהי [math]\displaystyle{ E }[/math] קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ E }[/math] סגורה
הוכחה
על־מנת להוכיח כי [math]\displaystyle{ E }[/math] סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ r }[/math] היא נקודת הצטברות של [math]\displaystyle{ E }[/math] אזי היא גם גבול חלקי של [math]\displaystyle{ E }[/math] .
נניח [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודת הצטברות של [math]\displaystyle{ E }[/math] , לכן לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים גבול חלקי הקרוב ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \frac2n }[/math] (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין [math]\displaystyle{ r }[/math] ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק [math]\displaystyle{ \frac2n }[/math] מ־[math]\displaystyle{ r }[/math] ולכן היא ודאי מתכנסת ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right) }[/math]
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1 }[/math]
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות כי [math]\displaystyle{ \tan }[/math] מונוטונית באזור [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן [math]\displaystyle{ \tan(0)=0 }[/math] והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.
ב
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)} }[/math]
קל לראות כי [math]\displaystyle{ e^\frac{1}{\log(n)}\to1 }[/math] ולכן הטור מתבדר.
ג
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3} }[/math]
בערך מוחלט זה קטן מ־[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3} }[/math] . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3} }[/math] שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 3
ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה
שאלה 4
זהה וסווג נקודות אי־רציפות:
א
[math]\displaystyle{ (x^2-1)\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right) }[/math]
נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] . ב־[math]\displaystyle{ 0^+ }[/math] , [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty }[/math] . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. [math]\displaystyle{ x^2-1\to -1 }[/math] ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הנה ממין שני.
בנקודה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] וזו נקודת אי־רציפות סליקה.
ב
[math]\displaystyle{ f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor }[/math]
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ x }[/math] . אזי עבור [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור [math]\displaystyle{ 1\lt |x|\lt 2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=\pm 1 }[/math] הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מצד אחד ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מהצד השני). באופן דומה לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי מתקיים ש[math]\displaystyle{ \pm n }[/math] הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
ג
[math]\displaystyle{ \tan\left(\frac{1}{\log(x^2)}\right) }[/math]
ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] , הלוגריתם שואף ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log(x^2)}\to 0 }[/math] ולכן הגבול כולו הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] וזו נקודת אי־רציפות סליקה.
ב־[math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] הלוגריתם שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולכן מצד אחד [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log} }[/math] שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות ממין שני.
במקומות בהם [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k }[/math] הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt{e^\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}} }[/math]
שאלה 5
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?
א
[math]\displaystyle{ e^{-|\tan(x)|} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) }[/math]
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע [math]\displaystyle{ |\tan(x)|\to\infty }[/math] ולכן סה"כ הגבולות הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
[math]\displaystyle{ \log\big(2+\cos(x)\big) }[/math] בכל הממשיים.
[math]\displaystyle{ 2+\cos(x) }[/math] רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע [math]\displaystyle{ [1,3] }[/math] . בקטע הזו [math]\displaystyle{ \log }[/math] רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ג
[math]\displaystyle{ \cos\big(\log(x)\big) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]
ניקח שתי סדרות ששואפות ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ועל השניה [math]\displaystyle{ -1 }[/math], וזה יסתור רציפות במ"ש. [math]\displaystyle{ y_n=e^{-2\pi n-\pi} }[/math], [math]\displaystyle{ x_n=e^{-2\pi n} }[/math]
שאלה 6
נגזרות
שאלה 7
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ותהי נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in (a,b) }[/math]
א
הוכח שאם קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x_0)=L }[/math] .
לפי הגדרה [math]\displaystyle{ f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] . ברור כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0 }[/math] ומכיון ש־ [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אזי גם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0 }[/math] . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.
נגזור את המונה והמכנה לקבל [math]\displaystyle{ \frac{f'(x)}{1}\to L }[/math] ולכן קיבלנו את מה שרצינו.
ב
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}f'(x) }[/math]
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac1x\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases} }[/math] . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־ [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , נוכיח שהיא גם גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] .
- [math]\displaystyle{ f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0 }[/math]
לכן ערך הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] . מהו גבול הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]?
הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־[math]\displaystyle{ 2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right) }[/math] . לכן גבולה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] לא קיים ([math]\displaystyle{ 0 }[/math] ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.
שאלה 8
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] . הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f' }[/math] חסומה על כל תת־קטע סגור של [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] .
הפרכה
למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases} }[/math]
היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה [math]\displaystyle{ 2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac2x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) }[/math] . נביט בסדרה השואפת לאפס [math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}} }[/math] עליה מקבלים [math]\displaystyle{ f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to-\infty }[/math] ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-0.5,0.5] }[/math] .