גרסה אחרונה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018

משפט הממדים

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ U,W }[/math] תת־מרחבים של [math]\displaystyle{ V }[/math] . אזי:

[math]\displaystyle{ \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]

הוכחה

נסמן את הבסיס ל־[math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k\} }[/math] .

כיון ש־[math]\displaystyle{ U\cap W\sube U,W }[/math] , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־[math]\displaystyle{ U }[/math] ובאופן דומה לבסיס ל־[math]\displaystyle{ W }[/math] .

נסמן את הבסיסים [math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\} }[/math] .

נסמן את איחוד הבסיסים [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\} }[/math] , ונוכיח כי [math]\displaystyle{ B }[/math] הנו בסיס ל־[math]\displaystyle{ U+W }[/math] .

B פורש את U+W

יהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math] . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים

[math]\displaystyle{ u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m }[/math]

ברור אם כך כי [math]\displaystyle{ u+w\in\text{span}(B) }[/math]

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי [math]\displaystyle{ B }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m }[/math]

ברור משני אגפי המשוואה כי [math]\displaystyle{ v\in U\and v\in W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v\in U\cap W }[/math]

לכן ל־[math]\displaystyle{ v }[/math] יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, [math]\displaystyle{ v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k }[/math] .

כמו כן, ל־[math]\displaystyle{ v }[/math] יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math] ולכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_1=\cdots=b_p=0 }[/math] .

כעת קיבלנו כי [math]\displaystyle{ a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0 }[/math] ,

אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math] ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי [math]\displaystyle{ B }[/math] הנו הטריוויאלי ולכן [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

[math]\displaystyle{ \dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
-=משפט המימדים=
+=משפט הממדים=
-יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> . אזי:
+יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי:
 :<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
 =הוכחה=
-נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> .
+נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .
-כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .
-נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> .
-נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> .
-===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===
-יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>.
-ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>
-===<math>B</math> בת"ל===
-ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
-:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>.
-נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mu_m</math>
-ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>
-לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+...+d_kv_k</math>.
+כיון ש־<math>U\cap W\sube U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>W</math> .
-כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
+נסמן את הבסיסים <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> .
-::<math>v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>
+נסמן את איחוד הבסיסים <math>B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+W</math> .
-ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.
+===B פורש את U+W===
+יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
+:<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>
+ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math>
+===B בת"ל===
+ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> :
+:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math>
+נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math>
-כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>,
+ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>
-אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
+לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> .
+כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים:
+:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math>
+ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> .
-מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
+כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> ,
-===ספירת מימדים וסיכום===
+אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי.
-מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
+מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל.
-<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
+===ספירת ממדים וסיכום===
+מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
+:<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>
 [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]