גרסה אחרונה מ־10:49, 26 במרץ 2020

סרטונים

הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

פירוק לשברים חלקיים

חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
- נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
- אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]

כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ p,q }[/math] פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] .

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית.

איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.

סקירה כללית

האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:

שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

שלב ראשון

לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל [math]\displaystyle{ p(x)=h(x)q(x)+r(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)} }[/math].

האינטגרל על [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית [math]\displaystyle{ \frac{r(x)}{q(x)} }[/math] בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.

שלב שני

כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.

נפרק את [math]\displaystyle{ q }[/math] לגורמים אי-פריקים:

[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]

כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots }[/math]

נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים [math]\displaystyle{ A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j} }[/math] .

שלב שלישי

נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m} }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-a }[/math] על-מנת לקבל:

[math]\displaystyle{ I_1=A\ln(x-a)+C }[/math]

[math]\displaystyle{ I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי-פריק)

נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m} }[/math]

כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m} }[/math]

נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה: [math]\displaystyle{ G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C }[/math]

[math]\displaystyle{ G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m} }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי-פריק)

דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math]

את החלק [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] פותרים לפי הנוסחא לעיל

לחלק הנותר נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x^2+bx+c }[/math] לקבל אינטגרל פתיר מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{t^m} }[/math]

דוגמאות

דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx }[/math]

בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה [math]\displaystyle{ t=1-x^4 }[/math] ולקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt }[/math]

דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)} }[/math]

נפרק לשברים חלקיים

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ 1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1) }[/math]

דוגמא 3

הסבר ודוגמא

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
+[[קטגוריה:אינפי]]
-תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
-'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
+=סרטונים=
+*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
+<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>
-==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==
-ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
+*פירוק לשברים חלקיים
+<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>
-אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
-וממשיכים לשלב הבא:
+*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
+**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>
+**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>
+כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>
-==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
+<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>
-*נפרק את q לגורמים אי פריקים:
+=אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
+תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .
-<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
+'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית].
+איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.
-*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
+==סקירה כללית==
+האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:
+*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
+*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
+*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
-<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>
+==שלב ראשון==
+לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>p(x)=h(x)q(x)+r(x)</math> ולכן <math>\frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)}</math>.
-*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.
+האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\frac{r(x)}{q(x)}</math> בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.
-*נחשב כל מחובר בנפרד:
+==שלב שני==
+כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
+נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
-נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
+:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
-<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
+כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
+:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
+</math>
-<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
+:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
+נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .
-*דבר ראשון, נבצע את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math>
+==שלב שלישי==
+נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
-*שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
-*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
+נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על-מנת לקבל:
-*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
+:<math>I_1=A\ln(x-a)+C</math>
+:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
-**<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
+נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>
+כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
-**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
+נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
+<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>
-==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
+<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
+דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
-*קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>deg(h)<deg(q)</math>.
+את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
+לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>
-*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
-*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
+==דוגמאות==
+===דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם===
+:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
+בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
-==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
+:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>
+===דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים===
+:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
-*נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>
+נפרק לשברים חלקיים
+:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
-*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
+לכן
+:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
-*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
+===דוגמא 3===
+[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]