גרסה אחרונה מ־10:49, 26 במרץ 2020

סרטונים

הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

פירוק לשברים חלקיים

חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
- נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
- אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]

כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ p,q }[/math] פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] .

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית.

איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.

סקירה כללית

האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:

שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

שלב ראשון

לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל [math]\displaystyle{ p(x)=h(x)q(x)+r(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)} }[/math].

האינטגרל על [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית [math]\displaystyle{ \frac{r(x)}{q(x)} }[/math] בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.

שלב שני

כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.

נפרק את [math]\displaystyle{ q }[/math] לגורמים אי-פריקים:

[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]

כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots }[/math]

נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים [math]\displaystyle{ A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j} }[/math] .

שלב שלישי

נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m} }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-a }[/math] על-מנת לקבל:

[math]\displaystyle{ I_1=A\ln(x-a)+C }[/math]

[math]\displaystyle{ I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי-פריק)

נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m} }[/math]

כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m} }[/math]

נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה: [math]\displaystyle{ G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C }[/math]

[math]\displaystyle{ G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m} }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי-פריק)

דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math]

את החלק [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] פותרים לפי הנוסחא לעיל

לחלק הנותר נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x^2+bx+c }[/math] לקבל אינטגרל פתיר מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{t^m} }[/math]

דוגמאות

דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx }[/math]

בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה [math]\displaystyle{ t=1-x^4 }[/math] ולקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt }[/math]

דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)} }[/math]

נפרק לשברים חלקיים

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ 1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1) }[/math]

דוגמא 3

הסבר ודוגמא

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
-=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
-תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
-'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
+=סרטונים=
+*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
+<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>
-==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==
-ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
+*פירוק לשברים חלקיים
+<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>
-אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
-וממשיכים לשלב הבא:
+*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
+**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>
+**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>
+כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>
-==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
+<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>
-*נפרק את q לגורמים אי פריקים:
+=אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
+תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .
-<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
+'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית].
+איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.
-*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
+==סקירה כללית==
+האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:
+*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
+*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
+*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
-<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+
-\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
-</math>
-<math>
+==שלב ראשון==
-+ \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>
+לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>p(x)=h(x)q(x)+r(x)</math> ולכן <math>\frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)}</math>.
+האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\frac{r(x)}{q(x)}</math> בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.
-*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.
+==שלב שני==
+כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.
-*נחשב כל מחובר בנפרד:
+נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
+:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
-נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
+כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
-<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
+:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
+</math>
+:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
-<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
+נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
+==שלב שלישי==
+נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
-*נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
+נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על-מנת לקבל:
-*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
-*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
-**<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math>
+:<math>I_1=A\ln(x-a)+C</math>
-**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
+:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
+נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>
+כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
-*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b) + B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
+נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
+<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>
-*את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
+<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
-*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
+דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
-==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
+את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
+לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>
-*קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>deg(h)<deg(q)</math>.
-*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
+==דוגמאות==
+===דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם===
+:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
-*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
-==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
-*נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>
-*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
-*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
-==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==
-<math>\int {\frac{f'}{f^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>
-=דוגמאות=
-===דוגמא 1===
-::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx</math>
 בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
-::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx=\int{\frac{1-t}{-4t^2}}dt</math>
+:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>
-==דוגמא 2==
+===דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים===
+:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
-::<math>\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}}dx</math>
+נפרק לשברים חלקיים
-נפרק לשברים חלקיים
+:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
-::<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
+לכן
-לכן
+:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
-::<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
+===דוגמא 3===
+[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]