חדוא 1 - ארז שיינר

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

סרטוני ותקציר ההרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים

פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א

פרק 1 - מספרים וחסמים

קבוצות מספרים

• הטבעיים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} }[/math]
• השלמים [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\} }[/math]
• הרציונאליים [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\} }[/math]
• הממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

• העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד

• לא קיים [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{Q} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math].
• במילים פשוטות, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

חזקות ולוגריתמים

• לכל מספר ממשי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] ולכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ x^n=x\cdots x }[/math] כפל n פעמים
• לכל מספר ממשי אי שלילי [math]\displaystyle{ 0\leq x\in\mathbb{R} }[/math] ולכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} }[/math] כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
• לכל מספר ממשי אי שלילי [math]\displaystyle{ 0\leq x\in\mathbb{R} }[/math] ולכל זוג מספרים טבעיים [math]\displaystyle{ n,k\in\mathbb{N} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n} }[/math]
• לכל מספר ממשי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ x^0=1 }[/math]

• מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
• נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות

• לכל מספר ממשי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] ולכל חזקה ממשית שלילית [math]\displaystyle{ -a\lt 0 }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ x^{-a}=\frac{1}{x^a} }[/math]

• לכל [math]\displaystyle{ 0\lt a\neq 1 }[/math] נגדיר את [math]\displaystyle{ log_a(x) }[/math] להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
• חוקי לוגים:
  • [math]\displaystyle{ log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ log_a(x^y)=y log_a(x) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)} }[/math]

חסמים

• תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R} }[/math] אזי:
  • [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{A} }[/math] נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\leq M }[/math]
  • [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math] נקרא חסם מלעיל של A אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\leq M }[/math]
  • [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{A} }[/math] נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\geq m }[/math]
  • [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{R} }[/math] נקרא חסם מלרע של A אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\geq m }[/math]

• כמו כן:
  • אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן [math]\displaystyle{ \sup(A) }[/math]
  • אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן [math]\displaystyle{ \inf(A) }[/math]

• בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
• בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2\lt 2\} }[/math] אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

• תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math] אזי:
  • M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon\lt M }[/math] קיים מספר [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\gt M-\varepsilon }[/math]
  • m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר [math]\displaystyle{ m\lt m+\varepsilon }[/math] קיים מספר [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\lt m+\varepsilon }[/math]

• דוגמא: תהיינה [math]\displaystyle{ \emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R} }[/math] חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי [math]\displaystyle{ \sup(A)\leq\sup(B) }[/math]

שיטות הוכחה בסיסיות

• שיטות הוכחה בסיסיות

• הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'

פרק 2 - סדרות

הגדרת הגבול

• הגדרת הגבול של סדרה:
• תהי סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ויהי מספר ממשי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math].
• [math]\displaystyle{ L }[/math] הינו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (מסומן [math]\displaystyle{ \lim a_n=L }[/math] או [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]) אם:
  • לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
  • לכל מרחק [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים מקום [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] כך שאחריו לכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \varepsilon }[/math]

• נגדיר ש[math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a_n\gt M }[/math]
• נגדיר ש[math]\displaystyle{ a_n\to -\infty }[/math] אם [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math]

• טענה: תהי [math]\displaystyle{ a_n\to \infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n}\to 0 }[/math]
• טענה: תהי [math]\displaystyle{ 0\neq a_n\to 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \frac{1}{|a_n|}\to\infty }[/math]

• אם [math]\displaystyle{ a_n\to L_1 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a_n\to L_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]

• סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.

• [math]\displaystyle{ a_n\to L \iff a_{n+1}\to L }[/math]
• בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.

• תהי סדרה[math]\displaystyle{ a_n }[/math] המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] כי [math]\displaystyle{ a\lt a_n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim a_n\geq a }[/math]

שאיפה לאפס

• תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n-L|\to 0 }[/math]
  • בפרט [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n|\to 0 }[/math]

• תהי [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה, אזי [math]\displaystyle{ a_nb_n\to 0 }[/math]

• תהיינה [math]\displaystyle{ a_n,b_n\to 0 }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to 0 }[/math]

משפטי סנדביץ'

• משפט הסנדביץ' -
  • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי [math]\displaystyle{ a_n\leq b_n \leq c_n }[/math]
  • כמו כן, יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n,c_n\to L }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]
• חצי סנדביץ'-
  • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי [math]\displaystyle{ a_n\leq b_n }[/math]
  • כמו כן נתון כי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ b_n\to \infty }[/math]
• חצי סנדביץ' על הרצפה -
  • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי [math]\displaystyle{ |a_n|\leq b_n }[/math]
  • כמו כן נתון כי [math]\displaystyle{ b_n\to 0 }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math]

מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

• תהיינה [math]\displaystyle{ b_n\to L_b\in \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ a_n\to L_a\in \mathbb{R} }[/math] אזי
  • [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to L_a+L_b }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ L_b\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b} }[/math]

אינדוקציה

• משפט האינדוקציה המתמטית
• תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
  • הטענה הראשונה נכונה.
  • לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
• אזי כל הטענות בסדרה נכונות

• אי שיוויון ברנולי: יהי [math]\displaystyle{ -1\lt x\in\mathbb{R} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ (1+x)^n\geq 1+nx }[/math]

חזקת אינסוף

• תהי [math]\displaystyle{ 0\lt a_n\to a }[/math] אזי:
  • אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ (a_n)^n \to \infty }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to 0 }[/math]
• שימו לב כי ייתכן ו[math]\displaystyle{ 1\gt a_n\to 1 }[/math], כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

כלל המנה

• כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
  • תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת כי גבול המנה הוא [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L }[/math] אזי:
    • אם [math]\displaystyle{ 1\lt L\leq\infty }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ 0\leq L\lt 1 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math]
    • מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}\to L }[/math]

• דוגמאות:
  • [math]\displaystyle{ \frac{n}{2^n}\to 0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1 }[/math]
  • עבור [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\to 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\to \infty }[/math]

חזקות של גבולות

• יהי [math]\displaystyle{ 0\lt a\in\mathbb{R} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n\to 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^{b_n}\to 1 }[/math]
  • רעיון הוכחה: אם [math]\displaystyle{ a\geq 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}} }[/math] והרי [math]\displaystyle{ \sqrt[m]{a}\to 1 }[/math] לפי כלל המנה

• יהי [math]\displaystyle{ 0\lt a\in\mathbb{R} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n\to L\in \mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^{b_n}\to a^L }[/math]
  • רעיון הוכחה: [math]\displaystyle{ a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L }[/math]

• תהי [math]\displaystyle{ a_n\to 1 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n\to L\in\mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to 1 }[/math]
  • רעיון הוכחה:[math]\displaystyle{ a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1} }[/math] לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם [math]\displaystyle{ a_n\lt 1 }[/math] אי השיוויון הפוך).

• תהי [math]\displaystyle{ a_n\to a\gt 0 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n\to L\in\mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^L }[/math]
  • רעיון הוכחה: [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L }[/math]

• תהי [math]\displaystyle{ 0\leq a_n\to 0 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n\to L\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to 0 }[/math]
  • רעיון הוכחה: החל משלב מסויים [math]\displaystyle{ 0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} }[/math]

סדרות מונוטוניות והמספר e

• כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.

• דוגמא: נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_1\gt 0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n }[/math]
  • כיוון ש [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0 }[/math] מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
  • אם הסדרה חסומה:
    • קיים לה גבול סופי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]
    • נחשב את גבול שני צידי המשוואה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n^2+a_n }[/math]
    • לכן [math]\displaystyle{ L=L^2+L }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=0 }[/math]
    • אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן [math]\displaystyle{ L\geq a_1 }[/math]
    • כלומר [math]\displaystyle{ L=0\lt a_1\leq L }[/math] בסתירה.
  • מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]

• המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).

• [math]\displaystyle{ 2\lt e\lt 4 }[/math].

תתי סדרות וגבולות חלקיים

הגדרת גבול חלקי

• לכל סדרת מקומות [math]\displaystyle{ k_n\in\mathbb{N} }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] כי [math]\displaystyle{ k_n\lt k_{n+1} }[/math] נגדיר כי [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] הינה תת סדרה של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]
• שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.

• לדוגמא:
  • נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ a_{2n}=(-1)^{2n}=1 }[/math] היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים [math]\displaystyle{ k_n=2n }[/math]

• נגדיר ש[math]\displaystyle{ L }[/math] הוא גבול חלקי של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math]

• טענה - יהי [math]\displaystyle{ L }[/math] סופי או אינסופי, אזי:
  • [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם לכל תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math]

משפט בולצאנו-ויירשטראס

• לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

• משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.

כלל הe

• אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e }[/math]
  • [math]\displaystyle{ [a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ [a_n] }[/math] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל[math]\displaystyle{ a_n }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1} }[/math]
  • שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
• אם [math]\displaystyle{ a_n\to -\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e }[/math]
  • ראשית [math]\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e} }[/math] (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
  • כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.

• אם [math]\displaystyle{ a_n\to 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)} }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e }[/math] בין אם [math]\displaystyle{ a_n-1 }[/math] שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
  • שימו לב שאם [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math], אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב[math]\displaystyle{ a_n-1 }[/math] ששווה אפס.

• דוגמא:
  • [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3 }[/math]

חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

• אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
  • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
  • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
  • [math]\displaystyle{ \infty+\infty=\infty }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \infty\cdot\infty=\infty }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \infty^\infty=\infty }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{0}\neq\infty }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{0^+}=\infty }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 0^\infty = 0 }[/math]
  • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
  • אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
  • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
  • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
  • אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^\infty=\infty }[/math]
  • חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.

המקרים הבעייתיים

• המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
  • [math]\displaystyle{ \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty }[/math]

פרק 4 - פונקציות ורציפות

מבוא לגבולות

• מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x^2-x }[/math]

הגדרת הגבול לפי היינה

• מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות

• אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
• מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.

הפונקציות הטריגונומטריות

• הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
  • [math]\displaystyle{ sin^2(x)+cos^2(x)=1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) }[/math]

• 
  • עבור זוית [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt \frac{\pi}{2} }[/math] שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
  • [math]\displaystyle{ S_{\triangle AOB}\lt S_{\bigcirc AOB}\lt S_{\triangle AOD} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{sin(x)}{2}\lt \frac{x}{2}\lt \frac{tan(x)}{2} }[/math]
    • כיוון ש[math]\displaystyle{ 0\lt sin(x)\lt x }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\frac{\pi}{2}) }[/math], נובע לפי סנדוויץ' ש[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}sin(x)=0 }[/math].
    • כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
    • כעת בתחום [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math] הקוסינוס חיובית ולכן [math]\displaystyle{ cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)} }[/math] ונובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}cos(x)=1 }[/math].
  • נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
  • [math]\displaystyle{ 1\lt \frac{x}{sin(x)}\lt \frac{1}{cos(x)} }[/math]
  • לפי כלל הסנדביץ [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1 }[/math]
  • כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

• ראינו ש[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1 }[/math].
• שימו לב ש[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0 }[/math], כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

רציפות

• גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
  • [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1 }[/math].

• רציפות.
• הגדרה:
• פונקציה f נקראית רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם f רציפה בכל נקודה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ובנוסף [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b) }[/math]

• טענה: אם f רציפה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math] (גם אם אינה שונה מ[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]) מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(x_0) }[/math].
• הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ותהי g רציפה ב[math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
  • הוכחה:
  • תהי סדרה [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n\to x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(x_0) }[/math]
  • לפי הטענה הקודמת, [math]\displaystyle{ g(f(x_n))\to g(f(x_0)) }[/math].

• מיון אי רציפות.
  • רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
  • סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
  • קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
  • עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

פרק 5 - גזירות

הגדרת הנגזרת

• [math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math]
  • הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
  • נניח כי [math]\displaystyle{ \lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) }[/math] ונוכיח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) }[/math], והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
  • תהי [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n\to x_0 }[/math] נגדיר את הסדרה [math]\displaystyle{ 0\neq h_n=x_n-x_0\to 0 }[/math].
  • כיוון ש[math]\displaystyle{ \frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0) }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0) }[/math].
• אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
  • צ"ל [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) }[/math]
  • לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0 }[/math]
  • לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0 }[/math]
• פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
  • [math]\displaystyle{ (|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h} }[/math] וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
  • ניתן לשים לב גם ש[math]\displaystyle{ |x|=\sqrt{x^2} }[/math], וכמו כן נראה בהמשך כי[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] אינה גזירה באפס.

הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות

• טריגו:
  • [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x) }[/math]
  • באופן דומה [math]\displaystyle{ (cos(x))'=-sin(x) }[/math]
• לוג:
  • [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e) }[/math]
    • המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
    • (בפרט נובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1 }[/math].)
  • [math]\displaystyle{ (log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x} }[/math]
    • בפרט נובע כי [math]\displaystyle{ (ln(x))' = \frac{1}{x} }[/math]
• אקספוננט:
  • [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a) }[/math]
    • בפרט נובע כי [math]\displaystyle{ (e^x)'=e^x }[/math].
• חזקה:
  • [math]\displaystyle{ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \alpha\in \mathbb{R} }[/math], הוכחה בהמשך.
    • בפרט:
    • [math]\displaystyle{ (1)'=0 }[/math]
    • [math]\displaystyle{ (\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math]

תהי f גזירה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ותהי g הגזירה ב[math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]:

• [math]\displaystyle{ (g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} }[/math]
• תהי סדרה [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n\to x_0 }[/math].
• רוצים לומר ש[math]\displaystyle{ \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) }[/math].
• אמנם [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(x_0) }[/math] בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש[math]\displaystyle{ f(x_n)\neq f(x_0) }[/math] ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
• אם יש תת סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] של [math]\displaystyle{ x_n }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f(a_n)=f(x_0) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math].
• לכן [math]\displaystyle{ g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0 }[/math].
• כמו כן, [math]\displaystyle{ \frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0 }[/math].
• לכן בכל מקרה קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) }[/math]
• סה"כ [math]\displaystyle{ (g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) }[/math].

נגזרת של חזקה

• עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1} }[/math]
• דוגמא: חישוב הנגזרת של [math]\displaystyle{ x^x }[/math]

נגזרת מנה

תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש [math]\displaystyle{ g(x)\neq 0 }[/math]:

• נזכור כי [math]\displaystyle{ (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2} }[/math]
• אזי בנקודה x מתקיים: [math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2} }[/math]

פונקציות הופכיות ונגזרתן

• פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
  • פונקציה [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to [c,d] }[/math] הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
  • הפונקציה ההופכית היא [math]\displaystyle{ f^{-1}:[c,d]\to[a,b] }[/math] ומתקיים כי [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]

• טענה: אם [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to [c,d] }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f^{-1}:[c,d]\to[a,b] }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math].
  • הוכחה:
  • תהי [math]\displaystyle{ y_0\neq y_n\to y_0 }[/math], צ"ל ש [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0) }[/math]
  • יהי גבול חלקי [math]\displaystyle{ x_n=f^{-1}(y_n)\to L }[/math].
  • אזי [math]\displaystyle{ f(x_n)=y_n\to y_0 }[/math].
  • מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(L) }[/math].
  • לכן [math]\displaystyle{ f(L)=y_0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=f^{-1}(y_0) }[/math].

• טענה: תהי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to [c,d] }[/math] הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' [math]\displaystyle{ a\lt x_0\lt b }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(x_0)\neq 0 }[/math].

אזי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה בנק' [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] ומתקיים כי

[math]\displaystyle{ (f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math] או בנוסח אחר-

[math]\displaystyle{ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} }[/math]

• • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ (f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)} }[/math]
  • תהי [math]\displaystyle{ f(x_0)\neq y_n\to f(x_0) }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ x_n=f^{-1}(y_n) }[/math].
  • אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)} }[/math]

• דוגמא חשובה:
• [math]\displaystyle{ tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R} }[/math] הפיכה וההופכית שלה נקראית [math]\displaystyle{ arctan }[/math].
• [math]\displaystyle{ tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)} }[/math]
• [math]\displaystyle{ arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2} }[/math]

פרק 6 - חקירה

משפטי חקירת פונקציות

• משפט ערך הביניים.
• תהי f רציפה ב[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(1)=2 }[/math], הוכיחו שקיימת נק' [math]\displaystyle{ c\in [0,1] }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f(c)=\frac{1}{c} }[/math]
  • נעביר אגף ונביט בפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=f(x)-\frac{1}{x} }[/math] שצריך למצוא שורש שלה.
  • [math]\displaystyle{ h(1)\gt 0 }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty }[/math] ולכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ 0\lt d\lt 1 }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ h(d)\lt 0 }[/math].
  • לפי משפט ערך הביניים בקטע [math]\displaystyle{ [d,1] }[/math] קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

• משפטי ויירשטראס.
  • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
  • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.

• משפט פרמה.
  • אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
  • ההפך אינו נכון.
• משפט רול.
  • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
  • לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
• משפט לגראנז'.
  • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
• משפט לגראנז' המוכלל.
  • שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.

• הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
  • ראשית, כיוון ש[math]\displaystyle{ g'(x)\neq 0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] נובע לפי רול כי [math]\displaystyle{ g(a)\neq g(b) }[/math] ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
  • [math]\displaystyle{ h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ h(a)=h(b)=0 }[/math] ולכן לפי רול קיימת נק' [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ h'(c)=0 }[/math] וזה מה שרצינו להוכיח.
  • (שימו לב שמותר לחלק ב[math]\displaystyle{ g'(c) }[/math].)
  • עבור [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

קשר בין הנגזרת לפונקציה

• פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
• פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.

כלל לופיטל

• כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
• כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.