המשפט היסודי של החדוא

להרחבה

המשפט היסודי של החדו"א

המשפט היסודי של החדו"א, או משפט ניוטון-לייבניץ, נותן דרך לחישוב האינטגרל המסוים, ולמעשה, מראה את הקשר ההדוק הקיים בין האינטגרל המסוים לבין האינטגרל הלא-מסוים.

הניסוח:

תהי $f$ פונקציה אינטגרבילית על הקטע $[a,b]$ , ונגדיר $F(x):=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ . אזי:

• הפונקציה $F$ רציפה.
• בכל נקודה $x_0$ שבה $f$ רציפה, $F$ גזירה, וכן $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$ .

מסקנה מהמשפט היא שאם $f$ רציפה, הפונקציה $F$ שהגדרנו היא פונקציה קדומה שלה (ובפרט, יש ל- $f$ פונקציה קדומה).

אם הפונקציה $f$ רציפה, מקבלים את נוסחת ניוטון-לייבניץ: אם $F$ פונקציה קדומה של $f$, אזי $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$ .