אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

חומרי עזר

• מבחנים ובחנים עם פתרונות

סרטונים ותקצירי הרצאות

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

$v\cdot w=|v||u|\cos (\theta )$

מכפלה פנימית

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ או $\mathbb{F}=\mathbb{C}$

מכפלה פנימית היא מכפלה $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{F}$ המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל $x,y\in V$ ולכל $c\in \mathbb{F}$ מתקיים כי:

• אדטיביות $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
• כפל בסקלר $⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩$
• הרמיטיות $⟨y,x⟩=\overline{⟨x,y⟩}$
• אי שליליות $⟨x,x⟩\ge 0$ וכן $⟨x,x⟩=0$ אם ורק אם $x=0$

$⟨a{v}_1+b{v}_2,c{w}_1+d{w}_2⟩=a\bar{c}⟨v_1,w_1⟩+a\bar{d}⟨v_1,w_2⟩+b\bar{c}⟨v_2,w_1⟩+b\bar{d}⟨v_2,w_2⟩$

נורמה ונורמה מושרית

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ או $\mathbb{F}=\mathbb{C}$

נורמה היא פונקציה $||\cdot ||:V\to \mathbb{R}$ המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל $x,y\in V$ ולכל $c\in \mathbb{F}$ מתקיים כי:

• אי שליליות $||x|\ge 0$ וכן $||x||=0$ אם ורק אם $x=0$
• כפל בסקלר $||cx||=|c|\cdot ||x||$
• אי שיוויון המשולש $||x+y||\le ||x||+||y||$

מכפלה פנימית מושרית

• האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

• האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

• משפט הפירוק הניצב
• בא"נ והיטלים
• אי שיוויון בסל
• משפט פיתגורס
• גרם שמידט