אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(8 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:


*[[88-113Exams| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]
*[[88-113Exams| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]
 
* [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/LA2ExtOutline.pdf תקציר מפורט של הקורס של פרופ' בועז צבאן]. ההרצאות בנושא צורת ג'ורדן מסוכמות בפירוט בחוברת [[מדיה:JordanAll.pdf|הסיפור המלא]].
*[[88-113 אלגברה לינארית 2]]


=סרטונים ותקצירי הרצאות=
=סרטונים ותקצירי הרצאות=
שורה 11: שורה 12:
===מכפלה סקלרית===
===מכפלה סקלרית===


<math>v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)</math>
<math>v\cdot w = |v||w|\cos(\theta)</math>


<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>
<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>
שורה 37: שורה 38:
<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>
<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>


===נורמה ונורמה מושרית===
===נורמה===


יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>
שורה 52: שורה 53:


<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>
<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>
===נורמה מושרית===
יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.
הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא:
:<math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math>
שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -
מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש.
====הנורמה המושרית היא אכן נורמה====
נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.
תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.
כמו כן, נקבל כי <math>||v||=0</math> אם ורק אם <math>\langle v,v\rangle=0</math> אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, <math>v=0_V</math>
כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי
:<math>||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||</math>
לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.
צריך להוכיח כי:
:<math>||v+w||\leq ||v||+||w||</math>
כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:
:<math>||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2</math>
נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:
:<math>||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math>
:<math>=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>
כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>||v||^2+||w||^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:
מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי
:<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math>
ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי
:<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>
מכאן נובע כי
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} </math>
כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי <math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
אם <math>v=0_V</math> או <math>w=0_V</math> התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.
אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים <math>\frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||}</math> באי שיוויון העזר ונקבל:
:<math>Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}</math>
ולכן
:<math>Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math>
:<math>\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math>
וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
===אי שיוויון קושי-שוורץ===
בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי
:<math>|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||</math>
====הוכחה====
נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:
:<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||</math>
ולכן
:<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,  w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||</math>
כלומר
:<math>|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||</math>
כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>|\langle v,w \rangle|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.


===מכפלה פנימית מושרית===
===מכפלה פנימית מושרית===

גרסה אחרונה מ־16:47, 16 בדצמבר 2024

חומרי עזר

סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

[math]\displaystyle{ v\cdot w = |v||w|\cos(\theta) }[/math]

מכפלה פנימית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

מכפלה פנימית היא מכפלה [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} }[/math] המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

  • אדטיביות [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle }[/math]
  • כפל בסקלר [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]
  • הרמיטיות [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
  • אי שליליות [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle \geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]



[math]\displaystyle{ \langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math]


נורמה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

  • אי שליליות [math]\displaystyle{ ||x|\geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ ||x||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
  • כפל בסקלר [math]\displaystyle{ ||cx|| = |c|\cdot ||x|| }[/math]
  • אי שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ ||x+y||\leq ||x||+||y|| }[/math]



נורמה מושרית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math].

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י הנוסחא:

[math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math]

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי [math]\displaystyle{ 0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R} }[/math] ולכן מותר להוציא שורש.


הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0 }[/math] ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי [math]\displaystyle{ ||v||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \langle v,v\rangle=0 }[/math] אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math]


כעת, יהי סקלר [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{C} }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ ||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v|| }[/math]


לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

צריך להוכיח כי:

[math]\displaystyle{ ||v+w||\leq ||v||+||w|| }[/math]

כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

[math]\displaystyle{ ||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2 }[/math]

נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

[math]\displaystyle{ ||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle = }[/math]
[math]\displaystyle{ =||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2 }[/math]

כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את [math]\displaystyle{ ||v||^2+||w||^2 }[/math] משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]


נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:


מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

[math]\displaystyle{ \langle v-w, v-w\rangle\geq 0 }[/math]

ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

[math]\displaystyle{ 0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2 }[/math]

מכאן נובע כי

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} }[/math]


כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי [math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

אם [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math] או [math]\displaystyle{ w=0_V }[/math] התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.

אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים [math]\displaystyle{ \frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||} }[/math] באי שיוויון העזר ונקבל:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2} }[/math]

וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]


אי שיוויון קושי-שוורץ

בהנתן מרחב מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ V }[/math] יחד עם הנורמה המושרית, לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ |\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]


הוכחה

נציב את הוקטורים [math]\displaystyle{ v, \langle v,w \rangle w }[/math] באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w|| }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ |\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w|| }[/math]

כעת אם [math]\displaystyle{ \langle v,w \rangle=0 }[/math] אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב[math]\displaystyle{ |\langle v,w \rangle| }[/math] ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

מכפלה פנימית מושרית

  • האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
  • האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

  • משפט הפירוק הניצב
  • בא"נ והיטלים
  • אי שיוויון בסל
  • משפט פיתגורס
  • גרם שמידט

פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

פרק 4 - צורת ז'ורדן

פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי

פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה