שיחה:88-230 סמסטר א' תשעא

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

• ארכיון 1

שאלות

תרגיל

ארז, התרגיל הוא ליום ראשון, מחר כבר יום חמישי והתרגיל לא נמצא באתר.. יש מצב להאריך את ההגשה ליום שלישי או משהו?

על איזה תרגיל מדובר? --ארז שיינר 23:47, 3 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 --זיתוני 07:45, 4 בנובמבר 2010 (IST)

אני לא רואה שום תרגיל 4 השבוע --ארז שיינר 11:47, 4 בנובמבר 2010 (IST)

אנשים - די כבר לשאול שאלות קיטבג!

שאלה

ארז, אם אני רוצה לסתור דיפנרציאביליות בנק', מספיק למצוא שני וקטורים שונים (למשל (1,1) ו(0,0)) שבהם ערך הנגזרת המכוונת שונה, או להראות שפשוט הביטוי f(a+vt) לא גזיר עבור v מסוימת?

תשובה

1. הנגזרות המכוונות לא צריכות להיות שונות בפונקציה דיפרנציאבילית, כך שזה לא משנה

2. אין נגזרת בכיוון (0,0). ובכלל, נגזרת מכוונת היא לפי וקטור מנורמל.

3. אני לא מבין מה הכוונה שהביטוי אינו גזיר.

אפשר להראות שפונקציה אינה דיפ' אם הנגזרות החלקיות שלה לא קיימות, או אינה רציפה בנקודה ודוגמאות אחרות שראינו בכיתה. --ארז שיינר 00:35, 8 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 5 בתרגיל 4

h הוא וקטור לא מוגדר עבור g (צריכים 3 מימדים), האם יש תיקון. שאלה נוספת: נגזרת לפי וקטור זה לפי ההגדרה של נגזרת כיוונית (הגבול עם t רק ש-h זה הוקטור המדובר ולא הכיוון שלו) הוא הנגזרת הכיוונית? תודה.

g פונקציה מ- R^2 לR^3. לכן אין בעייה. נגזרת לפי וקטור היא הנגזרת עם הנוסחא כפי שאמרת. נגזרת כיוונית היא הנגזרת לפי וקטור מנורמל. --ארז שיינר 22:25, 13 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 5, שאלה 2

מבקשים למצוא את [math]\displaystyle{ \partial u/\partial y }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (t,t^2) }[/math] לכל ערך של [math]\displaystyle{ t }[/math]. ברם, עבור [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] לא ניתן לקבוע מהי הנגזרת (מקבלים מכלל השרשרת 0=0). האם הכוונה הינה ללא t=0?

האם יש יותר מאופציה אחת לערך הנגזרת בנקודה? --ארז שיינר 12:55, 24 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

בתרגול, התבקשנו למצוא את ערכי Y המקסימלים והמינימלים של עקומה נתונה. בהתחלה השווינו את הנגזרת לפי Y ל0, ואז בדקנו לפי משפט הפונק' הסתומה. למה לא קיבלנו למעשה את הנק' שמצאנו לפי הפונק' הסתומה בהשוואה הראשונה של הנגזרת ל0? כלומר, נק' מינימום ומקסימום חייבות לאפס את הנגזרת, לא? (לא כ"כ הבנתי את התהליך....) ועוד שאלה - מה היינו עושים אם הנק' הקיצונית ביותר הייתה מתקבלת דווקא בהשוואת fy ל0 ולא ע"י שימוש במשפט הפונק' הסתומה? איך היינו יכולים לוודא שזו אכן נק' קיצון ולא אוכף?

?

תשובה

אנסח את התרגיל הזה באלגוריתם מסודר:

• יש למצוא את הערך המקסימלי שy מקבל על העקומה.
• ניתן לחלק את העקומה ל2:
  • ערכי העקומה סביבם לא ניתן להפעיל את משפט הפונקציה הסתומה
    • אותם נבדוק אחד אחד
  • ערכי העקומה סביבם ניתן להפעיל את משפט הפונקציה הסתומה
    • אם ערך מקסימלי גלובלי של y מתקבל בנקודה כזו, בוודאי הוא מקסימום מקומי, ולכן הנגזרת של הפונקציה הסתומה בסביבה זו חייבת להיות אפס
• לכן, ערך הy המקסימלי מתקבל בהכרח על נקודה בה לא מתקיים משפט הפונקציה הסתומה או נקודה בה הנגזרת של הפונקציה הסתומה הוא אפס
• בודקים את כל הנקודות הנ"ל ומחפשים בינהם את ערך הy הכי גדול שמתקבל - הוא חייב להיות ערך המקסימום הגלובלי (כי אין לו מקום אחר להסתתר בו).

--ארז שיינר 15:29, 26 בנובמבר 2010 (IST)

סבבה, הבנתי, אבל.. נק' שמאפסת את הנגזרת לפי Y היא בהכרח קיצון מקומי? (במקרה הראשון, ערכי העקומה סביבם לא ניתן להפעיל את משפט הפונקציה הסתומה). כלומר, אם

הייתי מקבלת ערך במקרה הראשון שגדול יותר מכל נק' שמצאתי דרך משפט הפונקציה הסתומה, האם זה אומר שהיא בוודאות מקסימום? (היא יכולה גם להיות אוכף או משהו כזה..)

אם הוא לא היה מקסימום, כלומר היה נקודות גבוהות ממנו בסביבה שלו, נכון? ואז הן היו צריכות להופיע מתישהו בחישובים שלנו. זה גם מסתמך, בלי שאמרנו מפורשות, על העובדה שקיים מקסימום בכלל (זה מתוך קומפקטיות של העקומה). --ארז שיינר 19:37, 26 בנובמבר 2010 (IST)

תודה רבה! :)

תרגיל 5 שאלה 1

מה הכוונה בספירת היחידה? והאם הכוונה היא למצוא על מישור משיק לספירת היחידה בכל נק' שעליה?

ספירת היחידה- כל הנקודות במרחק 1 מהראשית. וכן, משיק בכל נקודה עליה. --ארז שיינר 18:50, 25 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

ארז, אני מבין שהתרגיל של השבוע מפצה על שני התרגילים שלא היו.. :S בכל מקרה, בשאלה 4, נניח והנחתי בשלילה שF כן דיפרנציאבילית ב(0,0), איך אני יכול לומר שזה גורר שגם G דיפ' ב0?

דווקא יצאו מעט שאלות, ורובן טכניות ופשוטות. בכל אופן אני לא מבין את השאלה - באמצעות כלל השרשרת כמו שבקשנו. --ארז שיינר 18:55, 25 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

הכוונה ב1 היא בהתחלה להגדיר פונקציה g(x,y) שמתארת את הספירה? כלומר, לקחת את Z כg(x,y(?

הכוונה ב1 היא בדיוק מה שרשום שם. הדרך שציינת הינה דרך אחת לפתור את התרגיל (כמובן שצריך לדאוג למצוא מישור משיק בכל נקודה של הספירה, ולא רק בחלק מהנקודות). --ארז שיינר 15:22, 26 בנובמבר 2010 (IST)

• יש דרך הרבה יותר נוחה לפתור את זה, נכון. ובכל זאת, אם בחרתי להשתמש בדרך הקודמת.. הגדרתי את g(x,y) להיות sqrt(1-x^2-y^2) qq. אבל השימוש בפונקציה הזו, יוצאת לי בדיוק אותה תוצאה שיצאה לי בדרך הנוחה יותר.
• אבל בדרך הזו, אני צריכה גם לקחת את מינוס השורש. יוצאת לי תוצאה שונה.. וזה מסתבך עם התחום הגדרה, הפונק' לא דיפרנציאבילית עבור z=0 ובכלל, היא דיפרנציאבילית עבור X וY בתוך מעגל היחידה בלבד. מה עושים במקרה כזה?

x וy מעניינים רק על מעגל היחידה, לא? אם הבעייה היא עם הקצוות, איך ניתן לטפל בבעייה זו? וצריך לטפל באופן פרטני בנקודות הבעייתיות שנשארות. (אפשר להשתמש בטיעונים גיאומטריים) --ארז שיינר 19:42, 26 בנובמבר 2010 (IST)

באיזה טיעונים גאומטריים אפשר להשתמש? וזה עדיין לא ממש פותר לי את הבעיה. אם אני לוקחת את מינוס השורש, יוצא משטח משיק אחר. (כי המינוס משפיע על הנגזרת לפי X ולפי Y, אבל בחלק של z-z0 לא נוסף לי מינוס.)

נו ברור שיצא מישור אחר, מדובר על נקודות אחרות בספירה. הרי הספירה היא לא גרף של שום פונקציה אחת. ואילו תכונות גיאומטריות יש לספירה? למשל, סימטריות. האם חייבים לחלק לפי ציר y? --ארז שיינר 16:35, 27 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

אני יודע שזה לא קשור לפורום של אינפי אבל על זה של מבוא לחישוב אף אחד לא מסתכל... רק אני חושב שהשיעורים שנתנו הפעם הם מוגזמים או שזו גם דעתם של רבים? כי מכמה ילדים שדיברתי איתם הגענו למסקנה שהש.ב לא מותאמים לרמה שלנו בכלל ואם הרוב חושבים כך אולי אפשר לדבר עם נטליה ולעשות משהו בנדון...

שאלה

בתרגיל 6.. מספיק להראות שהפונק' שמצאתי דיפרנציבאילית בנקודה?

כן, אם זה מספיק להוכחת התרגיל הקודם, אין עם זה בעייה --ארז שיינר 19:44, 26 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

בכיתה הגדרנו את משוואות המישור המשיק כך: z-zo=מכפלה פנימית של הגרדיאנט ב(xi-ai). האם אפשר להשתמש בהגדרה זו כדי לפתור את תרגיל 5 מהתרגיל, או שצריך את ההגדרה מהתרגול? בתרגול הגדרנו את המישור המשיק אחרת.. (אפשר להגיע לשקילות בהגדרות באמצעות התרגיל שפתרנו בכיתה, אבל האם יש צורך לחזור עליו?)

אפשר להשתמש בהגדרה הנוחה יותר, לכן עשינו את התרגיל הזה בתרגול, מותר להשתמש בו באופן כללי. --ארז שיינר 13:46, 27 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

למתי התרגיל?

מחר. --ארז שיינר 23:51, 27 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

למה צריך לדרוש עבור טיילור עם פנאלו שהפונק' תהיה גזירה ברציפות עד סדר n+1? מספיק עד סדר n לא?

יכול להיות שטעיתי בזה. תסתכלו במשפט מההרצאה. --ארז שיינר 15:45, 29 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל

ארז, אם יש תרגיל השבוע, בבקשה תעלה אותו בקרוב כי לחלקנו יש חופש ממש עמוס ואנחנו צריכים לדעת איך לתכנן את הזמן שלנו.

אוקיי, אני אעלה מחר (או היום, שישי בכל אופן) --ארז שיינר 04:35, 3 בדצמבר 2010 (IST)

טור טיילור עם שארית פיאנו

מה בדיוק אומרת התיאוריה ואיך רושמים את האיבר D^k(x0)/dx1dx2...dxk?

תשובה

אני לא מבין מה השאלה ומה זה הסימון הזה, אבל אני אשלים סימונים שצריך לתרגיל.

[math]\displaystyle{ D^{(a_1,...,a_n)}f=\frac{\partial^{a_1+...+a_n}f}{\partial^{a_1}x_1\cdots\partial^{a_n}x_n} }[/math]

[math]\displaystyle{ d^rf_{x_0}(h)=\sum_{i_1+...+i_n=r}\frac{r!}{i_1!\cdots i_n!}D^{(i_1,...,i_n)}f(x_0)h_1^{i_1}\cdots h_n^{i_n} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h=(h_1,...,h_n) }[/math]

פולינום טיילור בצורת פיאנו הינו [math]\displaystyle{ p(x)=f(x_0)+...+\frac{1}{r!}d^rf_{x_0}(h)+o(||h||^r) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h=x-x_0 }[/math].

שאלה

למתי תרגיל 6?

ליום ראשון בעוד שבוע --ארז שיינר 14:51, 4 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 6 שאלה 1

בתרגיל 6 שאלה 1 סעיף ג', במכנה אמור להיות [math]\displaystyle{ \partial x^2 \partial y^4 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \partial x^2 \partial x^4 }[/math]?

פורסם תיקון. --ארז שיינר 14:50, 4 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה 5

סעיף ב' טריוויאלי לפי אריתמטיקה, לא? אני לא ממש מבין מה אני צריך להוכיח פה. צריך הוכחת אפסילונים-דלתות או משהו?.. שני הכיוונים ברורים מאריתמטיקה והוצאת קבוע. ואגב, הכוונה היא לx->0 כמו שאר הסעיפים?

כן, זה סעיף קל.

המייל של אירנה

מישהו יודע מהו המייל של אירנה?

שאלה 5

בסעיף ג, אני חושב שהכי פשוט לפתור לפי סנדביץ', ולא צריך את הבינום...

שאלה 1

ארז,אולי תתן רמז איך להוכיח שהסכום של (xy)בחזקת i (מ5 עד אינסוף) הוא "או" של h^8? (:

(לא ארז) אפשר להעביר לקואורדינטות פולריות, כמו שעשינו בתרגול לאיזה טור הגעת לפני שטענת שהוא שואף ל0? (אחרי שהצבת את הקואורדינטות הפולאריות)

זה פשוט סכום של סדרה הנדסית -

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1-xy} = \sum_{n=0}^{\infty}(xy)^n = 1 + xy + (xy)^2 + (xy)^3 + ... }[/math]

אם רוצים פולינום טיילור מסדר 8, אוספים את כל האיברים שחזקתם אינה עולה על 8. (למשל, xy).

(בשביל מה לעשות מעבר לקואורדינטות פולריות?..)

תרגיל 6 שאלה 6

לא ממש הבנתי מה צריך לעשות בשאלה הזו. אפשר לחשב את הפיתוח לפי ההגדרה (נגזרות חלקיות) ואז לרשום את השארית בתור מכפלה של טורים מאינפי 2, אבל לא ברור לי אם זאת הכוונה בתרגיל, ואם צריך לרשום את השארית בצורה כזו או יותר פשוטה? צריך גם להוכיח שהיא (o(h^3?

למיטב הבנתי, ניתן לרשום -

[math]\displaystyle{ e^{2x} \ln(1+y) = (1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+...) \cdot(y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+...) }[/math]

שכן, [math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} }[/math]

צריך פשוט לאסוף את כל האיברים שחזקתם לא גדולה מ-2. והשארית, בצורת Peano, הינה [math]\displaystyle{ o(||\vec{r}|| ^2) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \vec{r}\equiv (x,y) }[/math]

בעיה בהגשת תרגיל

לא יכולתי להגיע היום לשיעור מכיוון שהייתי בצבא. מתי אפשר להגיש את התרגילים ואיך? תודה.

שאלה

טרמינולוגיה: "הוכח שהמערכת מגדירה פונקציות דיפרנציאביליות.....", כלומר התנאי שf (הפונקציה הנתונה) תהיה שייכת לc^r(u) עבור r=1? (כי אז גם פונקצית ה"פי" המתקבלת מהמשפט תהיה שייכת לc(r), וזה מספיק לדיפרנציבאיליות?). כלומר, בסוג התרגילים האלו, צריך להוכיח שf שייך לc^1(u) qq?

כן, זה מספיק להוכיח שפונקציה דיפרנציאבילית ברציפות על מנת להוכיח שהיא דיפ'

שאלה

יש מצב שבתרגיל 3 יש רק נקודה a אחת שמקיימת את זה?

שאלה כללית לגבי שארית Peano

לא הבנתי למה אנו נדרשים להוכיח כל הזמן שהשארית (בצורת Peano) הינה [math]\displaystyle{ o(||h||^n) }[/math], הרי ניתן להראות שזוהי תכונה של טור טיילור, כאשר הפונקציה מקיימת [math]\displaystyle{ f \in C^n[K] }[/math], ו-[math]\displaystyle{ K }[/math] הוא ריבוע (מלבן).

אם נסתמך על כלל לופיטל ל-n משתנים, נקבל כי - [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow x_0} R_n(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-p_n(x)}{||x-x_0||^n} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{D(f(x)-p_n(x))}{D(||x-x_0||^n)}= ... = 0 }[/math].

כאן, [math]\displaystyle{ x=(x_1,x_2,...,x_k) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x_0=(x_{0_1},x_{0_2},...,x_{0_k}) }[/math]. [math]\displaystyle{ p_n }[/math] זהו פולינום טיילור מסדר n, ו-[math]\displaystyle{ R_n }[/math] זו השארית. [math]\displaystyle{ D=\partial_{x_1}+\partial_{x_2}+...+\partial_{x_k} }[/math] זהו אופרטור הגזירה (לפי כל המשתנים).

מכל-מקום, אם [math]\displaystyle{ f \not\in C^n[K] }[/math] הרי אין כל טעם לדבר על טור טיילור, [math]\displaystyle{ p_n(x) }[/math], שהרי המקדמים אינם מוגדרים היטב! ([math]\displaystyle{ a_{\alpha}=\frac{D^{\alpha}f(x_0)}{\alpha!} }[/math])

לסיכום -- האם יש צורך להראות שאכן השארית בטור טיילור (כאשר מתקיימים התנאים להלן) הינה שארית Peano..??

אגב, את כלל לופיטל ל-n משתנים ניתן להוכיח בצורה דומה למשתנה אחד, כדלקמן:

תהיינה [math]\displaystyle{ f(\bold{x}), g(\bold{x}) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית ומוגדרת בריבוע (מלבן) [math]\displaystyle{ K }[/math]. כאן, [math]\displaystyle{ \bold{x}=(x_1,x_2,...,x_n) }[/math]. ([math]\displaystyle{ \bold{x} \in \R^n }[/math])

תהי [math]\displaystyle{ \bold{x}_0 \in K }[/math] כך שבנקודה הזו מתקיים -

[math]\displaystyle{ \lim_{\bold{x} \rightarrow \bold{x}_0} f(\bold{x}) = \lim_{\bold{x} \rightarrow \bold{x}_0} g(\bold{x}) = 0 }[/math]

נוכל אפוא להגדיר את הפונקציות [math]\displaystyle{ f }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(\bold{x}_0)=g(\bold{x}_0)=0 }[/math].

דבר זה לא ישפיע, כמובן, על ערך גבול המנה במקודה, אך כך הפונקציות תהיינה רציפות בנקודה.

עפ"י משפט הערך הממוצע נוכל לרשום -

[math]\displaystyle{ \frac{f(\bold{x})}{g(\bold{x})} = \frac{f(\bold{x})-f(\bold{x}_0)}{g(\bold{x})-g(\bold{x}_0)} = \frac{\partial_{x_1}f(\xi)\cdot \Delta x_1+...+\partial_{x_n}(\xi)\cdot \Delta x_n}{\partial_{x_1}g(\eta)\cdot \Delta x_1 +...+ \partial_{x_n}\cdot \Delta x_n} }[/math]

היכן ש-[math]\displaystyle{ \Delta x_\mu = x_\mu - {x_0}_\mu }[/math] ([math]\displaystyle{ \forall 1 \le \mu \le n }[/math])

כאשר, [math]\displaystyle{ \xi=\xi(\bold{x}) }[/math] וכן, [math]\displaystyle{ \eta=\eta(\bold{x}) }[/math].

כמו-כן, ממשפט הערך הממוצע ידוע כי [math]\displaystyle{ \xi = \bold{x}_0 + t\cdot (\bold{x} - \bold{x}_0) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \eta = \bold{x}_0 + s\cdot (\bold{x}-\bold{x}_0) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t,s \in [0,1] }[/math] (דהיינו, הנקודות נמצאות על הישר המבחר את [math]\displaystyle{ \bold{x}_0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \bold{x} }[/math]).

אם נבחר, פרט, סדרת נקודות [math]\displaystyle{ {\bold{x}_n} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \Delta x_\mu }[/math] הוא קבוע (לכל אינדקס [math]\displaystyle{ \mu }[/math]), אזי נקבל כי -

[math]\displaystyle{ \frac{f(\bold{x}_n)}{g(\bold{x}_n)} = \frac{Df(\xi(\bold{x}_n))}{Dg(\eta(\bold{x}_n))} }[/math]

כיוון ש-[math]\displaystyle{ \bold{x}_n \rightarrow \bold{x}_0 }[/math], וברור כי [math]\displaystyle{ \xi(\bold{x}_n),\eta(\bold{x}_n) \rightarrow \bold{x}_0 }[/math], וכן הנחנו שהגבול של מנת הנגזרות קיים, אזי

שלכל סדרה הגבול יתכנס גם לערך זה, וממילא קיבלנו את נכונות המשפט! מ.ש.ל!

הגשת תרגיל 7

לקבוצה של אגרונובסקי לא היה היום (ראשון- 19/12) תרגול אלא הרצאה. התרגול ייערך ביום שלישי. לא הגשתי היום את התרגול, אוכל להגיש אותו ביום שלישי?

הסילבוס של הקורס

ארז אתה יכול לפרסם כאן את הסילבוס של הקורס, באתר של המחלקה יש סילבוס של אינפי מתקדם אבל אין של אינפי 3

סילבוס מאתר מערכת השעות. לא יודע אם זה הרשמי או מה. --ארז שיינר 18:15, 3 בינואר 2011 (IST)

שאלה

ארז, תרגיל 8 שהעלית מיועד גם לקבוצה של אגרונובסקי?

התרגיל מיועד למי שלמד אינטגרציה והחלפת משתנים. ייתכן והקבוצה של אגרונובסקי תלמד בהמשך ואז תגיש את התרגיל. לפני שלמדתם בתרגיל, אין צורך להגיש. --ארז שיינר 13:21, 5 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 8 שאלה 5

יכול להיות שהאינטגרל בשאלה 5 לא חסום?

בתחום הנתון? למה לא חסום? --ארז שיינר 21:48, 7 בינואר 2011 (IST)

הנקודה (0,0) נמצאת בשפה של התחום הנתון ויש סביבה שלה שנמצאת בתחום, והפונקציה שואפת לאינסוף בנקודה

יותר מדויק, לכל M גדול נקח את הנקודה (1/2M , 1/2M) (הM במכנה). היא נמצאת בתחום והערך של הפונקציה בנקודה גדול מM

אתה צודק, פספסתי את זה. האינטגרל החוזר, בכל אופן, מוגדר היטב (האינטגרל לפי x מוגדר בכל נקודה פרט לאפס ואז האינטרגל השני מוגדר). תחליפו משתנים ותפתרו את זה, זה יצא בסדר. --ארז שיינר 23:17, 8 בינואר 2011 (IST)

שיעורי בית

מתי יעלו פתרונות לשיעורי הבית? המבחן לא כל כך רחוק כבר...

בשבוע הקרוב --ארז שיינר 21:46, 7 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 8

ארז אנחנו בבעיה, יש לנו תרגיל גם להגיש בתורת הקבוצות/מבוא לחישוב. ובנוסף ללמוד למבחן באינפי+מבוא לחישוב/תורת הקבוצות+תורת המספרים/חקר ביצועים. האם תוכל בבקשה בבקשה לעשות שהתרגיל האחרון לא יהיה להגשה, וכך גם יוכלו לעלות פתרונות?

מצטרף - או לפחות אולי לתת הארכה..

הארכה אפשר, אבל לבטל אותו אי אפשר. גם ככה יש מעט תרגילים. מי שהגיש הכל יכול לא להגיש את זה. --ארז שיינר 21:45, 7 בינואר 2011 (IST)

אבל למתי אפשר לקבל הארכה?

עד התרגיל חזרה שבטח יהיה שבוע אחרי. --ארז שיינר 23:31, 8 בינואר 2011 (IST)

שאלה

למה לא קיים לפונקציה הבאה גבול ב0,0: f(x,y) = 0 if xy=0, 1, otherwise כלומר, איך מראים את זה?

לוקחים שני מסלולים: (x,0) ו(x,x) (כשx שואף ל0). הראשון שואף ל0 והשני שואף ל1.

אממ, כשלוקחים את המסלול (x,x), מותר לדרוש שx יהיה שונה מ0?

נראה לי שכן, מסתכלים על סביבה מנוקבת

שאלה

איפה אפשר להגיש את התרגיל? (אם אני לא מגיע לשיעור חזרה)

לתת למישהו שיגיש בשיעור החזרה. --ארז שיינר 18:35, 10 בינואר 2011 (IST)

שאלה

באיזה שעה יהיה השיעור חזרה? האם תהיה אפשרות שהוא יגמר לפני 6?

רשמתי בדף ההודעות, לא סביר שזה יסתיים לפני שש (קבעתי מאוחר בגלל שיש מבחנים). --ארז שיינר 12:53, 12 בינואר 2011 (IST)

שאלה

כשאני מחשב מינימום של פונקציה עם תנאים (כופלי לגרנז'), אני צריך לוודא שזה אכן מינימום ולא אוכף או מקסימום עם ההסיאן?

ההסיאן לא בהכרח הכי יעיל לקיצון עם אילוצים מכיוון שיכול להיות שהנקודה אינה מינימום כללי אלא רק מינימום בהתחשב באילוץ. יש לבדוק האם הדיפרנציאל השני חיובי (שלילי) לחלוטין באיזור הנקודה בהתחשב באילוצים. --ארז שיינר 12:56, 12 בינואר 2011 (IST)

ההסיאן הוא מטריצה מייצגת של תבנית ריבועית. כדי לטפל בבעיות עם אילוצים, אפשר לצמצם את התבנית למרחב המשיק לאילוצים; לפעמים התבנית המצומצמת היא חיובית או שלילית לחלוטין, גם כשהתבנית המקורית אינה מוחלטת. עוזי ו. 13:57, 12 בינואר 2011 (IST)

שאלה

ארז ביום שני יש גם בגרות באנגלית וגם מבחן בתורת המספרים. יש סיכוי לשנות את התרגול??

לכן זה בשעה 17:00, אחרי הדברים האלה. יש בנוסף תרגול למחרת, אני לא רואה עוד אופציות. --ארז שיינר 14:10, 12 בינואר 2011 (IST)

למה התרגול חזרה הוזז מלכתחילה מיום ראשון? פרופסור אגרנובסקי עושה שיעור חזרה ביום ראשון בין 2 ל-4 בכל מקרה

כי יום ראשון זה יום לפני הבחינה בתורת המספרים (לא ארז)

שאלה

האם תתרגל חומר של אינפי 4, או שהתרגול יהיה רלוונטי גם לתלמידי אגרנובסקי?

בהשלמה אני עושה אינטגרלים קוויים, בחזרה אני אעשה חזרה על כל החומר. --ארז שיינר 03:23, 13 בינואר 2011 (IST)

מבחן- קבוצה של פרופסור אגרונובסקי

האם מישהו יכול לכתוב כאן מה מבנה הבחינה, הבחירה במבחן, איזה משפטים צריך לדעת להוכיח, מבחן משותף או לא וכו... בקיצור- כל מה שידוע על המבחן. (הקבוצה של אגרונובסקי)

-2 מתוך 3 - חלק זה יכול לכלול שאלות הוכחה מבין המשפטים שהוא נתן (7 משפטים) אך יכול להכיל דברים אחרים גם

-4 מתוך 6 - שאלות בנושא קיצון, אנטגרלים, רציפות ובעצם על כל החומר

המשפטים שצריך להוכיח הוא חילק בדף, בגדול

1. נגזרות קיימות ורציפות בסביבה גוררות דיפרנציאביליות בנקודה

2. נוסחת טיילור עם שארית לגרנז'

3. גרדיאנט מגדיר כוון של עליה של פונקציה בנקודה בקצב מקסימלי

4. נתון משטח, להוכיח שהגרדיאנט הוא וקטור-נורמל למישור משיק, לבנות משוואה של המישור המשיק

5. תנאי הכרחי של קיצון מקומי בעזרת דיפרנציאל ראשון

6. תנאי מספיק של קיצון מקומי בעזרת דיפרנציאל שני

7. הנזגרות החלקיות של פרמטריזציה לפי הפרמטרים מהווים בסיס למישור המשיק (המשפט ב-R3)

המבחן לא משותף ומי שצריך לעבור קבוצה למבחן צריך אישור ממלי ו\או מהבוחנות, נשלח מייל

ארז! אתה יכול בבקשה להעלות כבר את הפתרונות לתרגילים?!?!?!

שאלה

בבעיות קיצון עם אילוצים, יש משהו שלא כ"כ ברור לי: הרבה פעמים כדי לחלץ את x,y,z מהמשוואת המורכבות, יש לחלק בדלתא, או בביטויים כמו x-z וכו'. האם מותר לעשות את זה?

ומה השיטה לבדוק האם מדובר במקסימום או מינימום? האם כדאי להציב בפונקציה ולראות למשל, שאם עבור נק' אחת יוצא ערך חיובי ועבור נקודה שניה יוצא ערך שלילי, אז ברור שהערך הראשון -> מקסימום והשני ->מינימום? (בהנחה שיצאו שני ערכים למשל)

או לגזור את L פעמיים..?

שאלה נוספת: בבעיות קיצון עם אילוצים כאשר מגבילים את התחום לכדור למשל, צריך לבדוק בתוך הכדור ובשפה שלו בנפרד, נכון?

כשמחלקים בביטוי כמו [math]\displaystyle{ \ x-z }[/math] מניחים במובלע ש-[math]\displaystyle{ \ x\neq z }[/math]; אם יש בזה צורך, כדאי לנתח בנפרד את ההתנהגות של הפונקציה בקבוצה הפתוחה [math]\displaystyle{ \ x\neq z }[/math], ובקבוצה הסגורה [math]\displaystyle{ \ x=z }[/math] (זה, כמובן, אילוץ).

ההתנהגות של הפונקציה בסביבה של נקודה חשודה תלויה בתבנית הריבועית [math]\displaystyle{ \ D^2f }[/math]: אם היא חיובית לחלוטין זו נקודת מינימום (במובן החזק), ואם זו נקודת מינימום (במובן החלש) אז התבנית חיובית. (אם התבנית אינה חיובית אז הנקודה אינה נקודת מינימום; בכך שהתבנית חיובית סתם אין די כדי לכפות על הנקודה להיות נקודת מינימום).

אם האילוץ הוא מהצורה [math]\displaystyle{ \ g(x)\geq 0 }[/math] יש לבדוק בנפרד את התחום הפתוח [math]\displaystyle{ \ g(x)\gt 0 }[/math] ואת התחום הסגור [math]\displaystyle{ \ g(x)=0 }[/math]. עוזי ו. 20:23, 16 בינואר 2011 (IST)

תודה רבה. אז בעצם, בקצרה, כדי לבדוק אם הנקודה שהתקבלה היא מינימום חזק/מקסימום חזק, צריך לחשב את מטריצת הHesse של F (ולא L)?

שאלה

נתונה הפונקציה f(x,y) = Ax^2 + 2Bxy + cy^2, וצריך למצוא נק' קיצון מקומיות תחת האילוץ x^2+y^2=1. לא ממש הצלחתי לפתור את התרגיל בעזרת לגרנז'. עזרה, מישהו?

מבחן אצל אגרנובוסקי

מישהו יכול לפרט מה בדיוק צריך בהוכחה 2,4 ויהיה ממש נחמד אם מישהו יעלה את ההוכחות עצמן

שאלה ממבחן וסתם שאלה

האם באמת קיימת פונקציה דיפרנציאבילית מR2 לR2 כך שהיעקוביאן שלה לא מתאפס והיא איננה חח"ע? והאם מישהו יכול להסביר מה המשמעות של התאפסות היעקוביאן בנקודה מסוימת? איך זה משפיע על התנהגות הפונקציה בנקודה?

לקבוצה של אגרנובסקי הנחמד, נצטרך לדעת איך הופכים כל משטחים לצורה קנונית? ולדעת את השמות שלהם?

(לא ארז) אם הבנתי נכון, לפי משפט הפונקציה ההפוכה שלמדנו (בהרצאה ובתרגול), אם פונקציה היא דיפרנציאבילית (ממחלקה C1) והדטטרמיננטה של מטריצת היעקובי שלה לא מתאפסת, הפונקציה היא דיפאומורפיזם בסביבת הנקודה, ודיפאומורפיזם גורר חח"ע (ועל).

כלומר, אם התנאים שהעלת מתקיימים, הפונקציה בהכרח חח"ע (והפיכה). המשמעות של התאפסות היעקוביאן, בנקודה מסויימת, עבור פונקציה דיפרנציאבילית, היא שה'נגזרת' של הפונקציה בנקודה היא 0, וזהו תנאי הכרחי לנקודת קיצון, כלומר הנקודה היא או מקסימום או מינימום או איזהשהו סוג של אוכף.

תודה על התשובה אבל א. דיפ' זה לא C1, נגזרות חלקיות רציפות זה C1 (חזק יותר מדיפ'). ב. המשפט מבטיח הפיכות מקומית, לא גלובלית -- אז גם אם המשפט היה עובד בנסיבות האלה עדיין הפונקציה לאו דווקא חח"ע באופן כללי. ג. התכוונתי ליעקוביאן כדטרמיננטה (כמו בשאלה הראשונה) לכן הנגזרות לאו דווקא מתאפסות, העמודות יכולות להיות פשוט תלויות לינארית.

א. נכון, אבל יכול להיות שזה לא משפיע. ב. אם יש הפיכות מקומית בכל נקודה (בכל R2, במקרה הזה) אז בכל סביבה (שנרצה) הפו' חח"ע, אז היא גם חח"ע גלובלית. ג. צודק.

א. יכול להיות, אבל זה מה שהמשפט דורש. ב. אני חושב שזה יותר מורכב מזה. אם תמיד הסביבה המובטחת לנו מהמשפט בתמונה היא אחת קבועה למשל, אין לנו באמת הפיכות גלובלית, רק הפיכות בין הסביבה הקבועה לכל סביבה אחרת.

א. נכון, זה באמת בעייה. ב. אם, אבל, תנאי המשפט כן מתקיימים בכל R2, אז לכל נקודה, קיימת סביבה של הנקודה שבא הפונקציה הפוכה, ולכן כן יש הפיכות בכל R2. אם בשלילה הייתה נקודה שבא הפונקציה לא הפיכה, ניקח את הנקודה הזאת, והיא מקיימת את תנאי המשפט (אם באמת הם מתקיימים בכל R2), ואז קיימת סביבה שבה הפונקציה הפיכה, כלומר הפונקציה הפיכה בכל R2 ואין שום נקודה שבה זה יכול להתהפך משום מה.

לקבוצה של אגרנובסקי הנחמד, נצטרך לדעת איך הופכים כל משטחים לצורה קנונית? ולדעת את השמות שלהם?

הוא אמר שאת השמות צריך לדעת ולגבי הפיכה וצורה קנונית, לא עשינו את זה בהרצאות

הוכחות למבחן

מישהו יכול להעלות את המשפטים שצריך לדעת להוכיח במבחן (הקבוצה של פרופסור אגרנובוסקי) ואת ההוכחות שלהם בבקשה?

תרגיל 8

מה עם פתרונות לתרגיל 8??

יועלו עוד מעט.

שתי שאלות

ראיתי שאלה במבחן של אגרנובסקי: שמבקשת לפתור את האינטגרל הבא לפי משפט גרין: (x^2+2y)dx +(4x-3y^2)dy) והתחום הוא האליפסה: x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 הצבתי בנוסחא של משפט גרין אבל אני לא מבין מה הטווח של האינטגרלים. אשמח לעזרה כאן.

והדבר השני, לא הבנתי למה בפיתרון של שאלה 5 בתרגיל 8, את התחומים של הזווית והרדיוס. אשמח אם מישהו יסביר לי, תודה

שאלה

דבר ראשון, לקבוצה של אגרונובסקי, ראיתי הרבה שאלות במבחנים שלו "זהה את הגרף הבא ושרטט אותו (בערך)" אנחנו אמורים לדעת לפתור שאלות כאלה?

דבר שני, ראיתי שאלה למצוא את המקסימום של קו ישר כלשהו על מעגל היחידה. מצאתי את נקודות הקיצון, אך אני לא יודע איך אני יכול לקבוע את סוגן, מכיוון שמטריצת ההסה של קו ישר היא 0, (כי לקו עצמו אין נקודות קיצון)... מה עליי לעשות? ברור כי אחת מהן היא מקס' והשני מינ', אבל איך אני יכול להסביר את זה?

(לא ארז)תמצא את הערך שלהן f(a), f(b) qq תראה מי הקטנה ומי הגדולה (תציב נקודות בסביבה ותראה שהן קטנות/גדולות מהערך בנקודה ההיא) ואז תקבע אם זה מקסימום /מינימום. (הוא אמר שזו הפרקטיקה בתרגילים מהסוג הזה)

הוכחות (אגרנובוסקי)

יש מצב מישהו מעלה את ההוכחות למשפטים שצריך לדעת להוכיח למבחן, זה ממש יעזור, תודה.

תרגיל 8

לקבוצה של אגרונובסקי, כל תרגיל 8 כלול בחומר למבחן, ואם לא אז איזה שאלות כן?

תשובה ל2 שאלות

x=arcos טטה y=brsin טטה אר בין 0 ל1 טטה בין 0 ל2 פאי

ציוני תרגיל

מתי יפורסמו ציוני התרגילים?

פתרון למבחן

ארז מתי יעלו פתרון למבחן? כן אם אפשר בבקשה של שתי הקבוצות זה ממש חשובב

שאלה

מה עם ציוני התרגיל???

עוד לא התקבלו כולם. או שנפרסם מחר רשימה חלקית, או שנחכה לציונים המלאים.--ארז שיינר 18:02, 30 בינואר 2011 (IST)

תרגילי בית

מה הייתה חובת ההגשה בתרגילי בית בקורס?

פיתרון למבחן

מתי יעלה פיתרון למבחן?