משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11

אינטגרבליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]).

(1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

1. אינטגרבליות לפי דרבו
2. אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.

אינטגרבליות לפי דרבו

תהי T חלוקה. נסמן [math]\displaystyle{ M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x) }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ \overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i }[/math].

[math]\displaystyle{ \overline I=\inf\{\overline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline I=\sup\{\underline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math]

דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] מתחילה בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון:

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה [math]\displaystyle{ \Delta x\le\frac1n }[/math] (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות [math]\displaystyle{ 0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1 }[/math]. ז"א [math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)} }[/math].

1. רוחב המלבן
2. אורך המלבן

(נשים לב כי [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:

[math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n }[/math]

...

אם נראה כי [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

עבור [math]\displaystyle{ \overline I }[/math] נרשום: [math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i= }[/math]...

באופן דומה [math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12 }[/math]

מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא [math]\displaystyle{ \tfrac12 }[/math]. הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה [math]\displaystyle{ \Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I }[/math]

דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום [math]\displaystyle{ y=9-x^2 }[/math] ומעל לקטע [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x_k^\star }[/math] פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון: תזכורת: חייבים [math]\displaystyle{ x_k^\star }[/math] בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math], נבחר חלוקה המקיימת [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math]. (לדוגמה: בחרנו חלוקה [math]\displaystyle{ \Delta x=\frac3n }[/math].

כאשר [math]\displaystyle{ k\in\{0,1,2,\dots\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=\frac{3k}{n} }[/math]). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

[math]\displaystyle{ \underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2) }[/math]