הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"
שורה 85: | שורה 85: | ||
{{משל}} | {{משל}} | ||
− | '''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)</math> | + | '''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)</math> |
+ | |||
+ | '''פתרון:''' נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא: | ||
+ | <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>. | ||
+ | |||
+ | לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>). | ||
+ | |||
+ | '''משפט:''' תנאי הכרחי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע. | ||
+ | |||
+ | ''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמה 6:''' קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית. | ||
+ | |||
+ | # <math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\frac\pi2\right]</math> | ||
+ | :# '''פתרון:''' נראה כי f לא חסומה. <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}} | ||
+ | |||
+ | #<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad x\ne0\\0\quad x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>. | ||
+ | :# '''פתרון:''' נשים לב כי<math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}} |
גרסה מ־16:55, 20 בפברואר 2011
אינטגרבליות
מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על ).
(1)
נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
- אינטגרבליות לפי דרבו
- אינטגרבליות לפי רימן
היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
אינטגרבליות לפי דרבו
תהי T חלוקה. נסמן ו-
. נגדיר
וכן
.
חלוקה
חלוקה
דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה מתחילה בקטע
. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
פתרון:
דרך 1: חישוב ע"י משולש.
דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות . ז"א
.
- רוחב המלבן
- אורך המלבן
(נשים לב כי פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
...
אם נראה כי נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
עבור נרשום:
...
באופן דומה
מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא .
הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה
יש טעות, היא תתוקן בהמשך.
דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום ומעל לקטע
כאשר
פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
פתרון: תזכורת: חייבים בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
נחלק את הקטע , נבחר חלוקה המקיימת
. (לדוגמה: בחרנו חלוקה
.
כאשר מתקיים
). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
דוגמה 3: הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-
אז f אינטגרבילית ב-
.
פתרון: הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה . ברור כי
אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.
הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.
הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.
דוגמה 4: הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- ולכל
f אינטגרבילית ב-
אז f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה: רוצים להראות כי לכל יש חלוקה
המקיימת ב-
ש-
. נתון כי f אינטגרבילית ב-
ולכן יש חלוקה
שם מתקיים
. נשים לב כי
. נסמן
ו-
.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. ובאופן דומה:
.
...
דוגמה 5: חשב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracnn לא מוכרת): \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)
פתרון: נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה בקטע
.
פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:
. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן
.
לפי המשפט היסודי זה שווה ל- (הפונקציה הקדומה של
היא
).
משפט: תנאי הכרחי שפונקציה תהיה אינטגרבילית ב-
הוא ש-f חסומה בקטע.
משפט:' אם f חסומה בקטע ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-
.
דוגמה 6: קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.
-
בקטע
- פתרון: נראה כי f לא חסומה.
. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית.
- פתרון: נראה כי f לא חסומה.
בקטע
.
- פתרון: נשים לב כי
. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-
ולכן f אינטגרבילית.
- פתרון: נשים לב כי