משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11

אינטגרבליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]).

גרף (1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

1. אינטגרבליות לפי דרבו
2. אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על הראשונה.

אינטגרבליות לפי דרבו

תהי T חלוקה. נסמן [math]\displaystyle{ M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x) }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ \overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i }[/math].

כמו כן נגדיר

[math]\displaystyle{ \overline I=\inf\{\overline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline I=\sup\{\underline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math].

דוגמה 1

הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ומצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה [math]\displaystyle{ \Delta x\le\frac1n }[/math] (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות [math]\displaystyle{ 0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1 }[/math]. ז"א [math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)} }[/math].

1. רוחב המלבן
2. אורך המלבן

(נשים לב כי [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:

[math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n }[/math]

...

אם נראה כי [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

עבור [math]\displaystyle{ \overline I }[/math] נרשום: [math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i= }[/math]...

באופן דומה [math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12 }[/math]

מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא [math]\displaystyle{ \tfrac12 }[/math]. הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה [math]\displaystyle{ \Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I }[/math]

---

יש טעות, היא תתוקן בהמשך.

דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום [math]\displaystyle{ y=9-x^2 }[/math] ומעל לקטע [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x_k^\star }[/math] פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון: תזכורת: חייבים [math]\displaystyle{ x_k^\star }[/math] בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math], נבחר חלוקה המקיימת [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math]. (לדוגמה: בחרנו חלוקה [math]\displaystyle{ \Delta x=\frac3n }[/math].

כאשר [math]\displaystyle{ k\in\{0,1,2,\dots\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=\frac{3k}{n} }[/math]). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

[math]\displaystyle{ \underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2) }[/math]

---

ד[math]\displaystyle{ |f| }[/math]וגמה 3: הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

פתרון: הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases} }[/math]. ברור כי [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.

הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.

הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.

דוגמה 4: הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ [c,d]\subseteq[a,b] }[/math] f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [c,d] }[/math] אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

הוכחה: רוצים להראות כי לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] יש חלוקה [math]\displaystyle{ T_\varepsilon }[/math] המקיימת ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ש-[math]\displaystyle{ \overline S(T_c)-\underline S(T_c)\lt \varepsilon }[/math]. נתון כי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [c,d] }[/math] ולכן יש חלוקה [math]\displaystyle{ T_{\varepsilon'} }[/math] שם מתקיים [math]\displaystyle{ \overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})\lt \varepsilon }[/math]. נשים לב כי[math]\displaystyle{ T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b }[/math].

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. [math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'}) }[/math] ובאופן דומה: [math]\displaystyle{ \underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'}) }[/math].

... [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 5: חשב [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right) }[/math]

פתרון: נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה [math]\displaystyle{ e^x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. [math]\displaystyle{ e^x }[/math] פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא: [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}} }[/math]. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx }[/math].

לפי המשפט היסודי זה שווה ל-[math]\displaystyle{ [e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1 }[/math] (הפונקציה הקדומה של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] היא [math]\displaystyle{ e^x }[/math]).

משפט: תנאי הכרחי שפונקציה [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תהיה אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא ש-f חסומה בקטע.

משפט:' אם f חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 6: קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.

1. [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left[0,\frac\pi2\right] }[/math]

1. פתרון: נראה כי f לא חסומה. [math]\displaystyle{ \lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty }[/math]. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

1. [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad x\ne0\\0\quad x=0\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math].

1. פתרון: נשים לב כי[math]\displaystyle{ -1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1 }[/math]. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ולכן f אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]