משפט המימדים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (3 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]] | חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]] | ||
=משפט | =משפט הממדים= | ||
יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי: | ||
:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math> | |||
:<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math> | |||
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> . | |||
כיון ש־<math>U\cap W\sube U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>W</math> . | |||
נסמן את הבסיסים | נסמן את הבסיסים <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> . | ||
נסמן את איחוד הבסיסים | נסמן את איחוד הבסיסים <math>B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+W</math> . | ||
===B פורש את U+W=== | ===B פורש את U+W=== | ||
יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים | |||
יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים | :<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math> | ||
ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math> | |||
ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math> | |||
===B בת"ל=== | ===B בת"ל=== | ||
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> : | |||
:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math> | |||
נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math> | |||
ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math> | |||
ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math> | |||
לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> . | |||
כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים: | |||
:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math> | |||
ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> . | |||
כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> , | |||
אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי. | |||
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל. | |||
<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math> | ===ספירת ממדים וסיכום=== | ||
מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: | |||
:<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math> | |||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
גרסה אחרונה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018
חזרה למשפטים בלינארית
משפט הממדים
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ U,W }[/math] תת־מרחבים של [math]\displaystyle{ V }[/math] . אזי:
- [math]\displaystyle{ \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]
הוכחה
נסמן את הבסיס ל־[math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k\} }[/math] .
כיון ש־[math]\displaystyle{ U\cap W\sube U,W }[/math] , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־[math]\displaystyle{ U }[/math] ובאופן דומה לבסיס ל־[math]\displaystyle{ W }[/math] .
נסמן את הבסיסים [math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\} }[/math] .
נסמן את איחוד הבסיסים [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\} }[/math] , ונוכיח כי [math]\displaystyle{ B }[/math] הנו בסיס ל־[math]\displaystyle{ U+W }[/math] .
B פורש את U+W
יהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math] . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
- [math]\displaystyle{ u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m }[/math]
ברור אם כך כי [math]\displaystyle{ u+w\in\text{span}(B) }[/math]
B בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי [math]\displaystyle{ B }[/math] :
- [math]\displaystyle{ a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0 }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m }[/math]
ברור משני אגפי המשוואה כי [math]\displaystyle{ v\in U\and v\in W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v\in U\cap W }[/math]
לכן ל־[math]\displaystyle{ v }[/math] יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, [math]\displaystyle{ v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k }[/math] .
כמו כן, ל־[math]\displaystyle{ v }[/math] יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math] ולכן מתקיים:
- [math]\displaystyle{ v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ b_1=\cdots=b_p=0 }[/math] .
כעת קיבלנו כי [math]\displaystyle{ a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0 }[/math] ,
אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math] ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי [math]\displaystyle{ B }[/math] הנו הטריוויאלי ולכן [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל.
ספירת ממדים וסיכום
מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
- [math]\displaystyle{ \dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]