פתרון משוואה ממעלה 3

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c=0 }[/math] ניתן להציב [math]\displaystyle{ x=y-\frac{a}{3} }[/math] .

המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math] עבור מספרים [math]\displaystyle{ p,q }[/math] כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- [math]\displaystyle{ y }[/math] כי [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] הוא פתרון אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=y_0-\frac{a}{3} }[/math] הוא פתרון של המשוואה ב- [math]\displaystyle{ x }[/math] .

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math] .

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם [math]\displaystyle{ p=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ q=0 }[/math]), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] .

שיטה ראשונה (טארטאגליה)

נחפש [math]\displaystyle{ u,v }[/math] כך שיתקיים

[math]\displaystyle{ u^3+v^3=-q }[/math]

[math]\displaystyle{ uv=-\frac{p}{3} }[/math] .

טענה: במצב זה, [math]\displaystyle{ y=u+v }[/math] הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

[math]\displaystyle{ y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q }[/math] [math]\displaystyle{ =(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0 }[/math]

מש"ל.

כדי למצוא [math]\displaystyle{ u,v }[/math] נשים לב ש- [math]\displaystyle{ u^3\cdot v^3=-\frac{p^3}{27} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ u^3,v^3 }[/math] הם שורשים של המשוואה הריבועית [math]\displaystyle{ t^2+p^3/27-q=0 }[/math] . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math] ואז נבחר [math]\displaystyle{ u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2} }[/math] .

שיטה שניה (מאוחרת יותר)

נציב [math]\displaystyle{ y=\alpha\cos(\theta) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}} }[/math] . אם נשתמש בזהות [math]\displaystyle{ \cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta) }[/math] נקבל:

[math]\displaystyle{ y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta) }[/math] [math]\displaystyle{ =\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q }[/math]

לכן, מספיק למצוא [math]\displaystyle{ \theta }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \cos(3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^3} }[/math] כדי ש- [math]\displaystyle{ y=\alpha\cos(\theta) }[/math] יהיה פתרון. בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] מרוכב כדי לחלץ את [math]\displaystyle{ 3\theta }[/math] ואז נצטרך להפעיל [math]\displaystyle{ \cos }[/math] מרוכב על [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).