(←ה) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]] | ||
[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]] | [[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]] | ||
==1== | ==1== | ||
− | תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\ | + | תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא התכנסות הסדרה <math>a_n\to0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק. |
− | + | טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט. | |
− | טור מתכנס בתנאי | + | |
==2== | ==2== | ||
===א=== | ===א=== | ||
− | ברור כי <math>max\{a_n,b_n\}\ | + | ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | + | כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן | |
− | <math>\ | + | <math>\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0</math> |
− | ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\ | + | ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט. |
===ג=== | ===ג=== | ||
הוכחה: | הוכחה: | ||
− | + | כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\dfrac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר. | |
===ד=== | ===ד=== | ||
הפרכה: | הפרכה: | ||
− | <math>a_n=(-1)^n | + | <math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\dfrac1n</math> מתבדר. |
==3== | ==3== | ||
שורה 33: | שורה 33: | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
− | + | <math>2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n</math> | |
− | <math>2^n+(-1)^n2^n\ | + | |
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס | ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס | ||
− | <math>2\ | + | <math>2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math> |
− | + | ||
− | + | ||
+ | ולכן מתכנס. | ||
===ג=== | ===ג=== | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]] | ||
− | |||
===ד=== | ===ד=== | ||
− | |||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]] | ||
שורה 54: | שורה 50: | ||
נפעיל את מבחן המנה: | נפעיל את מבחן המנה: | ||
− | <math>\ | + | <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math> |
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל: | נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<math> | <math> | ||
− | \frac{2-\sqrt{2+ | + | \begin{align} |
− | + | \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\ | |
+ | \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1 | ||
+ | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
ולכן הטור מתכנס. | ולכן הטור מתכנס. | ||
שורה 80: | שורה 65: | ||
==4== | ==4== | ||
===א=== | ===א=== | ||
+ | מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ. | ||
− | + | ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''. | |
− | + | ||
− | ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי''' | + | |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | הטור מתבדר שכן סכום | + | הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\ | + | הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> . |
גרסה אחרונה מ־05:32, 19 ביוני 2017
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור הוא התכנסות הסדרה
. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור מתכנס, כלומר הטור
מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה
לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור
מתבדר.
ד
הפרכה:
מתכנס לפי לייבניץ, אבל
מתבדר.
3
א
ב
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
ולכן מתכנס.
ג
ד
ה
נפעיל את מבחן המנה:
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
ולכן הטור מתכנס.
4
א
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי.
ב
הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.
ג
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור .