המספר e: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(12 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:


==המספר e==
==המספר e==
לסדרה <math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.


הוכחנו בהרצאה כי לסדרה <math>a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n</math> יש גבול ממשי. '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n</math>


::<math>e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math>


'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>


'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math>


<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>


<font size=4 color=#a7adcd>
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n</math>
'''תרגיל.'''
</font>


חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n</math>


;פתרון
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.


'''פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
:<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math>




::<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=</math>
כיון ש- <math>\dfrac{-n}{n-1}\to-1</math> אנו מקבלים כי


<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e</math>


::<math>=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>
==תכונות==
הסדרה <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי:


:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>


כיוון ש <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)</math> אנו מקבלים כי
;הוכחה:


<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math>
נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.


==תכונות ==
מובן מאליו כי
 
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
 
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
 
'''הוכחה:'''
 
e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.


כמו כן:
כמו כן:
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>


::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math>
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.




לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.
===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת===


נסמן
נסמן
 
:<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
::<math>a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
 
רוצים להוכיח
רוצים להוכיח
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
כלומר
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
נפתח את אי-השוויון:


::<math>a_{n+1}<a_n</math>
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>


כלומר
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>


::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+2}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>


נפתח את אי השיוויון:
נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>.


::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
לכן
:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>




::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)<\Big(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\Big)^{n+1}=\Big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
=\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
</math>


לכן מספיק להוכיח כי
:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>


 כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
נסמן
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
רוצים להוכיח
:<math>a_{n+1}>a_n</math>
כלומר רוצים להוכיח כי
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>


::<math>\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+...>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
צריך להוכיח
:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>


לכן מספיק להוכיח כי
כעת
:<math>
\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
</math>
:<math>
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
</math>
:<math>
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
</math>


::<math>1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>


אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>


::<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>


ולבסוף
:<math>
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
</math>
:<math>
=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1
</math>


==דוגמאות==
==דוגמאות==
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>


<font size=4 color=#a7adcd>
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
'''תרגיל.'''
</font>
 
מצא את גבול הסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
 
::<math>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}</math>


לכן לפי משפט אם <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\rightarrow L</math>.
:<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math>


לכן הגבול הינו:
לכן לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .


::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>
לכן הגבול הנו:
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>

גרסה אחרונה מ־08:14, 5 בנובמבר 2018

חזרה לסדרות

המספר e

לסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math] יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

[math]\displaystyle{ e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math]

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי [math]\displaystyle{ e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n} }[/math]

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n} }[/math]


תרגיל.

חשב את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n }[/math]


פתרון

נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

[math]\displaystyle{ \begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\ &=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align} }[/math]


כיון ש- [math]\displaystyle{ \dfrac{-n}{n-1}\to-1 }[/math] אנו מקבלים כי

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e }[/math]

תכונות

הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math] מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n\lt e\lt \left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} }[/math]
הוכחה

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n\lt \left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} }[/math]

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1 }[/math]

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.


נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת

נסמן

[math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} }[/math]

רוצים להוכיח

[math]\displaystyle{ a_{n+1}\lt a_n }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}\lt \left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} }[/math]

נפתח את אי-השוויון:

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}\lt \left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1{n+1}\right)\lt \left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1} }[/math]


נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt -1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon }[/math].

לכן

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)} }[/math]


לכן מספיק להוכיח כי

[math]\displaystyle{ 1+\dfrac1{n+1}\lt 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)} }[/math]

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

[math]\displaystyle{ 1\lt \dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n} }[/math]

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

נסמן

[math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]

רוצים להוכיח

[math]\displaystyle{ a_{n+1}\gt a_n }[/math]

כלומר רוצים להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1 }[/math]

צריך להוכיח

[math]\displaystyle{ \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\gt 1 }[/math]

כעת

[math]\displaystyle{ \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}= \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n= \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right) }[/math]


שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt -1 }[/math] ולכל n מתקיים [math]\displaystyle{ \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon }[/math]


ולבסוף

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)= \left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)\gt 1 }[/math]

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}} }[/math]

לכן לפי משפט אם [math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to L }[/math] .

לכן הגבול הנו:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e }[/math]