מרחב ניצב: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 12: שורה 12:
===משפט הפירוק הניצב===
===משפט הפירוק הניצב===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math>
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math>
===0===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math>


===1===
===1===
שורה 39: שורה 42:


לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>
לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>
ג.
נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>.
לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math>
ד.
כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>.
כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים
::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math>
כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math>


===2===
===2===
שורה 48: שורה 69:


ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math>
ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math>
'''פתרון:'''
א. '''הפרכה''':
<math>U=\{0\},W=V</math>
ב. '''הוכחה''':
<math>\supseteq</math>
נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>.
יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן:
::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math>
כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math>
ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math>
<math>\subseteq</math>
נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>.
יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math>
לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math>
סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>
ג. '''הפרכה''':
<math>U=\{0\},W=V</math>


===3===
===3===
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math>
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math>
'''הפרכה:'''
<math>U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}</math>

גרסה אחרונה מ־16:21, 25 בדצמבר 2012

הגדרה

יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math]. אזי הקבוצה


[math]\displaystyle{ S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:\lt v,s\gt =0\} }[/math]


הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל [math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] המרחב הניצב ל-S

תרגילים

משפט הפירוק הניצב

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב הוכיחו כי [math]\displaystyle{ U\oplus U^\perp = V }[/math]

0

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ (S^\perp)^\perp=S }[/math]

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. [math]\displaystyle{ \{0\}^\perp=V }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ V^\perp = \{0\} }[/math]

ג. אם [math]\displaystyle{ S_1\subseteq S_2\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ S_2^\perp\subseteq S_1^\perp }[/math]

ד. לכל קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp }[/math]


פתרון:

א.

[math]\displaystyle{ \{0\}^\perp = \{v\in V|\lt v,0\gt =0\}=V }[/math]


ב.

[math]\displaystyle{ V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:\lt w,v\gt =0\} }[/math]

אם כך, נניח [math]\displaystyle{ w\in V^\perp }[/math], כיוון [math]\displaystyle{ w\in V }[/math] מתקיים ביחד [math]\displaystyle{ \lt w,w\gt =0 }[/math] ולפי אי שליליות [math]\displaystyle{ w=0 }[/math]

לכן סה"כ [math]\displaystyle{ V^\perp=\{0\} }[/math]


ג.

נניח [math]\displaystyle{ w\in S_2^\perp }[/math] לכן לכל [math]\displaystyle{ s\in S_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt s,w\gt =0 }[/math].

לכן בפרט, לכל [math]\displaystyle{ s\in S_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ s\in S_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lt s,w\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w\in S_1^\perp }[/math]


ד.

כיוון ש [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S) }[/math], לפי סעיף קודם ברור כי [math]\displaystyle{ span(S)^\perp \subseteq S^\perp }[/math].

כעת, אם [math]\displaystyle{ w\in S^\perp }[/math] אזי לכל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \lt a_1s_1+...+a_kS_k,w\gt =a_1\lt s_1,w\gt +...+a_k\lt s_k,w\gt =0 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ w\in span(S)^\perp }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ span(S)^\perp \supseteq S^\perp }[/math]

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:

א. [math]\displaystyle{ (U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp }[/math]

ב.[math]\displaystyle{ (U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ (U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp }[/math]


פתרון:


א. הפרכה:

[math]\displaystyle{ U=\{0\},W=V }[/math]


ב. הוכחה:

[math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ v\in U^\perp\cap W^\perp }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math] לכן:

[math]\displaystyle{ \lt v,u+w\gt =\lt v,u\gt +\lt v,w\gt =0 }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ v\in U^\perp }[/math] וגם [math]\displaystyle{ v\in W^\perp }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ v\in (U+W)^\perp }[/math]


[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ v\in (U+W)^\perp }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] לכן בפרט [math]\displaystyle{ u\in U+W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ v\in U^\perp }[/math] ובאופן דומה [math]\displaystyle{ v\in W^\perp }[/math]

סה"כ [math]\displaystyle{ v\in U^\perp\cap W^\perp }[/math]



ג. הפרכה:

[math]\displaystyle{ U=\{0\},W=V }[/math]

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים כך ש [math]\displaystyle{ U\oplus W = V }[/math]. הוכיחו/הפריכו [math]\displaystyle{ U^\perp = W }[/math]


הפרכה: [math]\displaystyle{ U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\} }[/math]