(←טור הנגזרת) |
(←תקציר ההרצאות) |
||
(137 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:מערכי לימוד]] | ||
=מבחנים לדוגמא= | =מבחנים לדוגמא= | ||
+ | *[[מדיה:20ForierTestA.pdf|מועד א' תש"ף]] | ||
+ | **[[מדיה:20ForierTestASol.pdf|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]] | ||
+ | *[[מדיה:20ForierTestB.pdf|מועד ב' תש"ף]] | ||
+ | *[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ט]] | ||
+ | **[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]] | ||
+ | *[[מדיה:19ForierTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]] | ||
+ | **[[מדיה:19ForierTestASol.pdf|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]] | ||
+ | *[[מדיה:19ForierTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]] | ||
+ | **[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]] | ||
=תקציר ההרצאות= | =תקציר ההרצאות= | ||
− | *ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [ | + | *ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [https://samyzaf.com/technion/fourier/fourier.pdf 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס]. |
+ | |||
+ | עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא [https://samyzaf.com/ באתר של סמי זערפני]. | ||
+ | |||
==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה== | ==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה== | ||
===הקדמה - גלים=== | ===הקדמה - גלים=== | ||
שורה 64: | שורה 77: | ||
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math> | **<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math> | ||
*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל: | *עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל: | ||
− | **<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n | + | **<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math> |
**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>. | **שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>. | ||
*עבור <math>n,k\in \mathbb{N}</math> נקבל: | *עבור <math>n,k\in \mathbb{N}</math> נקבל: | ||
שורה 71: | שורה 84: | ||
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math> | **<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math> | ||
*שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו. | *שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו. | ||
+ | *כמו כן קל לחשב <math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx=0</math> | ||
*הערה חשובה: | *הערה חשובה: | ||
**למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math> | **למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math> | ||
− | |||
====מקדמי הטור==== | ====מקדמי הטור==== | ||
שורה 214: | שורה 227: | ||
**נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> | **נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> | ||
**קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>. | **קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>. | ||
− | **ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t) | + | **ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0</math> |
===גרעין דיריכלה=== | ===גרעין דיריכלה=== | ||
− | *גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n( | + | *גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math> |
− | *טענה: <math>D_n( | + | *טענה: <math>D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math> |
**הוכחה: | **הוכחה: | ||
**נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל: | **נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל: | ||
שורה 270: | שורה 283: | ||
*נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה: | *נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה: | ||
− | :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n( | + | :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math> |
:כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל: | :כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל: | ||
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math> | :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math> | ||
שורה 333: | שורה 346: | ||
*כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים: | *כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים: | ||
− | :<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = | + | :<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = |
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math> | -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math> | ||
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי: | *לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי: | ||
שורה 348: | שורה 361: | ||
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math> | :<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math> | ||
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>. | *שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>. | ||
− | |||
=====דוגמא 2===== | =====דוגמא 2===== | ||
שורה 394: | שורה 406: | ||
===טור הנגזרת=== | ===טור הנגזרת=== | ||
− | *תהי <math>f</math> רציפה | + | *תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע. |
+ | ====שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים==== | ||
+ | *שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ: | ||
+ | **כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות. | ||
+ | **בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ. | ||
+ | **אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות. | ||
+ | ***לדוגמא: | ||
+ | ***<math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1</math> | ||
+ | ***כלומר קיבלנו כי <math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}</math>, כאשר <math>(|x|)' = \frac{x}{|x|}</math> | ||
+ | |||
+ | ====חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת==== | ||
*נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math> | *נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math> | ||
*נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>: | *נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>: | ||
+ | |||
:<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math> | :<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math> | ||
− | |||
שורה 410: | שורה 432: | ||
*כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו: | *כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו: | ||
− | :<math>f(x) | + | :<math>f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math> |
*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו: | *אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו: | ||
− | :<math>f'(x) | + | :<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math> |
− | + | ||
− | |||
− | |||
+ | *במקרה המיוחד בו <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> מתקיים כי <math>\alpha_0=0</math> ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט: | ||
+ | :<math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math> | ||
====דוגמאות==== | ====דוגמאות==== | ||
שורה 435: | שורה 456: | ||
*נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא: | *נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא: | ||
− | :<math>\frac{x^3}{3} | + | :<math>\frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math> |
− | + | ||
=====דוגמא 2===== | =====דוגמא 2===== | ||
שורה 467: | שורה 487: | ||
*נפשט: | *נפשט: | ||
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}</math> | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל== | ||
+ | ===תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה=== | ||
+ | *תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך ש <math>f'</math> רציפה למקוטעין. | ||
+ | *אזי טור הפורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה. | ||
+ | *נסמן את טור הפורייה ב | ||
+ | :<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math> | ||
+ | *ברור כי | ||
+ | :<math>\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|</math> | ||
+ | *לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>. | ||
+ | *כבר חישבנו ש: | ||
+ | **<math>\alpha_0=0</math> | ||
+ | **<math>\alpha_n=nb_n</math> | ||
+ | **<math>\beta_n=-na_n</math> | ||
+ | *לכן ביחד נקבל כי <math>\sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math> | ||
+ | *לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים: | ||
+ | :<math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math> | ||
+ | *לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2</math> מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של <math>f'\in E</math>. | ||
+ | **(זכרו שמותר להניח כי <math>f'\in E</math> על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.) | ||
+ | *לכן <math>\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right)</math> חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים. | ||
+ | *לכן סה"כ <math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n}</math> חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ קיבלנו כי <math>\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}</math> מתכנס. | ||
+ | *לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|</math> ו<math>\sum_{n=1}^\infty |b_n|</math> מתכנסים, כפי שרצינו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===שיוויון פרסבל=== | ||
+ | *נביט במערכת האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E</math>, ותהי <math>f\in E</math>. | ||
+ | *ידוע לנו כי <math>a_0=\langle f,1\rangle</math>, ולכן <math>\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב <math>S_n</math>. | ||
+ | *<math>S_n</math> היא ההיטל של <math>f</math> על הקבוצה האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}</math> | ||
+ | **אכן <math>\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נזכור כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math> | ||
+ | **לכן <math>||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2</math>. | ||
+ | *כמו כן, נזכור כי <math>||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2</math> | ||
+ | **לכן <math>||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אי שיוויון בסל אומר כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math> | ||
+ | *כלומר: | ||
+ | :<math>\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx</math> | ||
+ | *משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון: | ||
+ | :<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם נוכיח ש <math>||f-S_n||^2\to 0</math>, נסיק כי <math>||S_n||^2\to ||f||^2</math> וזהו בדיוק שיוויון פרסבל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש==== | ||
+ | |||
+ | *תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין. | ||
+ | *נסמן <math>d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|</math> | ||
+ | *הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר <math>d_n\to 0</math>. | ||
+ | *לכן <math>||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =====דוגמא===== | ||
+ | *הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> מקיימת את דרישות המשפט. | ||
+ | *נזכור כי טור הפורייה שלה הוא: | ||
+ | :<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי: | ||
+ | :<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ולכן: | ||
+ | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>f \in E</math>, אנחנו מעוניינים להוכיח כי <math>||f-S_m||\to 0</math>. | ||
+ | *נבנה סדרת פונקציות <math>f_n</math> רציפות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימות <math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>, כך שהנגזרות שלהן <math>f_n'</math> רציפות למקוטעין, המקיימות: | ||
+ | :<math>||f-f_n||\to 0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>\varepsilon</math>, נבחר <math>n</math> כך ש <math>||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>. | ||
+ | *נסמן ב<math>T_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של <math>f_n</math>. | ||
+ | *ראינו כי <math>\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל: | ||
+ | **<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math> | ||
+ | *כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math> | ||
+ | *קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}</math>. | ||
+ | *לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====בניית סדרת הפונקציות===== | ||
+ | |||
+ | *f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות. | ||
+ | *לכן ניתן לבחור חלוקה <math>P</math> הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש <math>|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}</math> לכל זוג נקודות <math>x,c_k\in [x_{k-1},x_k]</math>. | ||
+ | *נבחר נקודות כלשהן <math>c_k</math> בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע <math>f(c_k)</math>. | ||
+ | *כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון: | ||
+ | **<math>\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon</math> | ||
+ | *לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל <math>g_n</math> כך ש<math>||f-g_n||<\frac{1}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת נגדיר סדרת פונקציות <math>f_n</math> להיות <math>g_n</math>, פרט לשינויים הבאים: | ||
+ | **עבור <math>\delta</math> שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים <math>[x_k-\delta,x_k]</math>. | ||
+ | **נגדיר <math>f_n(-\pi)=g(\pi)</math>. | ||
+ | **נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע <math>[x_0,x_0+\delta]</math>. | ||
+ | *עבור <math>\delta</math> קטנה מספיק, <math>\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ נקבל כי | ||
+ | **<math>f_n</math> מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין. | ||
+ | **<math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math> | ||
+ | **אכן מתקיים כי <math>||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0</math> | ||
+ | |||
+ | ===יחידות טור פורייה=== | ||
+ | |||
+ | ====הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?==== | ||
+ | *תהיינה <math>f,g\in E</math> בעלות אותם מקדמי פורייה. | ||
+ | *אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מקדמי הפורייה של <math>f-g</math> הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל: | ||
+ | :<math>||f-g||^2=0</math> | ||
+ | *לכן <math>f=g</math>. | ||
+ | |||
+ | *שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש<math>f=g</math> פרט למספר סופי של נקודות. | ||
+ | |||
+ | ====האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?==== | ||
+ | *קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, אזי כל מקדמי הטור הם אפס. | ||
+ | *יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס. | ||
+ | *מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך '''לא''' כל מקדמי הטור הם אפס. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים== | ||
+ | ===תופעת גיבס=== | ||
+ | *ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש. | ||
+ | *כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נביט בטור פורייה של הפונקציה x: | ||
+ | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math> | ||
+ | *נסמן ב<math>S_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב: | ||
+ | :<math>S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})</math> | ||
+ | *כעת, | ||
+ | :<math>\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx</math> | ||
+ | *לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא: | ||
+ | :<math>\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56</math> | ||
+ | *(הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.) | ||
+ | *כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף. | ||
+ | *אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה <math>\pi</math>, נקבל בערך <math>-0.089</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :[[קובץ:gibs_x.png|1000px]] | ||
+ | |||
+ | ===טור הסינוסים וטור הקוסינוסים=== | ||
+ | *עבור פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע <math>[0,\pi]</math> ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה <math>f^+</math> הזוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, או ל<math>f^-</math> האי זוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>. זה נקרא '''טור הקוסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>. | ||
+ | *הוכחה: | ||
+ | **<math>f^+</math> רציפה ב<math>[-\pi,\pi]</math>, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש<math>f(-\pi)=f(\pi)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע <math>(0,\pi)</math>. זה נקרא '''טור הסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>. | ||
+ | *אם <math>f(\pi)=f(0)=0</math> אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>. | ||
+ | *הוכחה: | ||
+ | **<math>f^-</math> רציפה כיוון ש<math>f(0)=0</math>, ומתקיים כי <math>f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *חישוב המקדמים: | ||
+ | *עבור טור הקוסינוסים: | ||
+ | **<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx </math> | ||
+ | *עבור טור הסינוסים: | ||
+ | **<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====דוגמאות==== | ||
+ | |||
+ | *נחשב טור קוסינוסים של <math>e^x</math>: | ||
+ | **<math>a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)</math> | ||
+ | **<math>a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}</math> | ||
+ | **הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע <math>[0,\pi]</math>: | ||
+ | :<math>e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx) </math> | ||
+ | *לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל: | ||
+ | :<math>e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נציב למשל <math>x=0</math> ונקבל את השיוויון: | ||
+ | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נחשב טור סינוסים של <math>e^x</math>: | ||
+ | **<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}</math> | ||
+ | **הטור מתכנס בקטע <math>(0,\pi)</math>: | ||
+ | :<math>e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx) </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *נחשב טור סינוסים של <math>f(x)=\pi x - x^2</math>. | ||
+ | *שימו לב: <math>f(0)=f(\pi)=0</math>. | ||
+ | **<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} </math> | ||
+ | **לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>: | ||
+ | :<math>\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)</math> | ||
+ | *לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל: | ||
+ | :<math>\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)</math> | ||
+ | *שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה== | ||
+ | ===משוואת החום על טבעת=== | ||
+ | *נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה <math>u(x,t)</math>: | ||
+ | **<math>u_t-ku_{xx}=0</math> | ||
+ | **<math>u(x,0)=f(x)</math> (תנאי התחלה) | ||
+ | **<math>u(-\pi,t)=u(\pi,t)</math> (תנאי שפה) | ||
+ | **<math>u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)</math> (תנאי שפה) | ||
+ | **כאשר <math>x\in[-\pi,\pi]</math>, ו<math>t\in[0,\infty)</math> | ||
+ | *על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נחפש פתרון מהצורה <math>u(x,t)=X(x)\cdot T(t)</math>. | ||
+ | *נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל: | ||
+ | :<math>X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)</math> | ||
+ | *נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק: | ||
+ | :<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}</math> | ||
+ | *כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים. | ||
+ | *נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי: | ||
+ | :<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת נפתור את ה[[מד"ר תקציר הרצאות|מד"ר]]ים בנפרד: | ||
+ | *שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך. | ||
+ | **עבור <math>\lambda=0</math>: | ||
+ | ***<math>X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}</math>, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי <math>c=0</math> | ||
+ | ***<math>T_0(t)=1</math> (הקבוע יבלע בקבוע של <math>X_0(x)</math>) | ||
+ | |||
+ | **עבור <math>\lambda\neq 0</math>: | ||
+ | ***<math>X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)</math> | ||
+ | ***<math>T=e^{-k\lambda t}</math> (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב<math>X(x)</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור <math>\lambda=n^2</math> הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה. | ||
+ | *גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים. | ||
+ | *צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה: | ||
+ | :<math>u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))</math> | ||
+ | *כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים <math>a_n,b_n</math>. | ||
+ | *נציב כעת בתנאי ההתחלה <math>u(x,0)=f(x)</math> ונקבל בעצם את טור הפורייה: | ||
+ | :<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math> | ||
+ | *אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה. | ||
+ | *מדוע זה יהיה פתרון? | ||
+ | **נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס. | ||
+ | **בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור <math>t\in [a,\infty)</math> לכל <math>a>0</math> ולכל <math>x\in[-\pi,\pi]</math>. | ||
+ | **לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח. | ||
+ | |||
+ | ===התמרת פורייה=== | ||
+ | |||
+ | ====טור פורייה המרוכב==== | ||
+ | *לא קשה לוודא כי <math>\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית: | ||
+ | :<math>\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> | ||
+ | *תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם: | ||
+ | :<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}</math> | ||
+ | *כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא: | ||
+ | :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב<math>a_n,b_n</math>. | ||
+ | |||
+ | *נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל: | ||
+ | :<math>\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math> | ||
+ | *כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים: | ||
+ | :<math>\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =</math> | ||
+ | :<math>= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=</math> | ||
+ | :<math>= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math> | ||
+ | :<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math> | ||
+ | *(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל! | ||
+ | |||
+ | ====הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות==== | ||
+ | *טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>. | ||
+ | *בהנתן גל <math>e^{inx}</math>, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם): | ||
+ | :<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx</math> | ||
+ | *(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו <math>-i</math>). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל <math>e^{isx}</math> נמצא את ה'אמפליטודה': | ||
+ | :<math>\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx</math>. | ||
+ | *כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](s)</math> נקראת '''התמרת פורייה''' של הפונקציה <math>f</math>. | ||
+ | *הערה - המקדם <math>\frac{1}{2\pi}</math> לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הערות כלליות: | ||
+ | **נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב<math>F(s)=\mathcal{F}(f)(s)</math>. | ||
+ | **<math>F(s)</math> מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'. | ||
+ | **לעומת זאת, <math>f(x)</math> מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'. | ||
+ | **לכל תדר <math>s</math> יש שני גלים שמייצגים אותו, <math>e^{\pm isx}</math>. | ||
+ | **כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן ב<math>G</math> את אוסף הפונקציות <math>g</math> הרציפות למקוטעין ב<math>\mathbb{R}</math>, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty</math>. | ||
+ | *לכל <math>f\in G</math> התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים. | ||
+ | **הוכחה: | ||
+ | **<math>\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx</math> מתכנס. | ||
+ | **כיוון שהאינטגרל המגדיר את <math>F(s)</math> מתכנס בהחלט, הוא מתכנס. | ||
+ | |||
+ | =====דוגמאות===== | ||
+ | *נמצא את <math>\mathcal{F}(f)(s)</math> עבור <math>f(x)=e^{-|x|}</math>. | ||
+ | :<math>2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=</math> | ||
+ | :<math>=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}</math> | ||
+ | *שימו לב - השתמשנו בעובדה ש<math>e^{isx}</math> חסומה, ואילו <math>e^{-x}\to 0</math> כאשר <math>x\to \infty</math>. | ||
+ | *לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נמצא את התמרת הפורייה של <math>f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}</math> | ||
+ | :<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math> | ||
+ | :<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור <math>s=0</math>, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה== | ||
+ | ===תכונות ההתמרה=== | ||
+ | *תהי <math>f\in G</math> אזי <math>F(s)=\mathcal{F}[f](s)</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math>. | ||
+ | **הוכחה: | ||
+ | **יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס, קיים <math>R</math> עבורו <math>\frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}</math> | ||
+ | **עבור <math>s_1,s_2</math> מתקיים כי <math>|F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx</math> | ||
+ | **כמובן ש <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2</math> ולכן בתחום <math>|x|>R</math> האינטגרל הנ"ל קטן מ<math>\frac{\varepsilon}{2}</math>. | ||
+ | **נותר להוכיח שעבור <math>s_1,s_2</math> מספיק קרובים מתקיים כי <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math> | ||
+ | **נראה כי <math>|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|</math>. | ||
+ | ***<math>|e^{ix}-e^{iy}|</math> הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה. | ||
+ | ***<math>|x-y|</math> הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן. | ||
+ | ***אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות. | ||
+ | **לכן <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|</math> | ||
+ | **כיוון ש<math>|x|\leq R</math> והפונקציה <math>f</math> חסומה בתחום זה, עבור <math>|s_1-s_2|</math> מספיק קטן נקבל את הדרוש. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *רשימת תכונות נוספות של ההתמרה: | ||
+ | *<math>\mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]</math> | ||
+ | *<math>\mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}</math> | ||
+ | *אם <math>f</math> ממשית וזוגית, גם <math>\mathcal{F}[f](s)</math> ממשית וזוגית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הזזה במרחב הזמן: | ||
+ | *אם <math>g(x)=f(ax+b)</math>, אזי <math>\mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})</math> | ||
+ | *אם <math>a=1</math> אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב<math>e^{isb}</math> משנה את הזוית). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הזזה במרחב התדר: | ||
+ | *<math>\mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)</math> | ||
+ | *באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *התמרת הנגזרת: | ||
+ | *נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי <math>f'</math> רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי: | ||
+ | *<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math> | ||
+ | **הוכחה: | ||
+ | **<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx</math> | ||
+ | **נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי | ||
+ | **<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx</math>. | ||
+ | **כיוון ש<math>e^{-isx}</math> חסומה, יחד עם הנתון נובע כי <math>(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0</math>. | ||
+ | **לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגזרת ההתמרה: | ||
+ | *תהי <math>f\in G</math> רציפה כך ש<math>xf(x)\in G</math> אזי: | ||
+ | *<math>\mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s)</math> | ||
+ | **הוכחה: | ||
+ | **<math>i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)</math> | ||
+ | **אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל: | ||
+ | ***נסמן <math>F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx</math> | ||
+ | ***ברור ש<math>F_n(s)\to F(s)</math>, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של <math>F(s)</math>. | ||
+ | ***עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני. | ||
+ | ***אכן <math>F_n'(s)</math> מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx</math> מתכנס, והרי <math>|xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)|</math> ואכן אינו תלוי בs. | ||
+ | |||
+ | ====דוגמאות==== | ||
+ | |||
+ | *ראינו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math> | ||
+ | *לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי: | ||
+ | **<math>\mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן <math>F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}]</math>. | ||
+ | *כעת <math>\mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF'</math> לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה. | ||
+ | *מצד שני, <math>\mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF</math> לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת. | ||
+ | *ביחד נקבל כי <math>isF = -2iF'</math>, ולכן <math>sF=-2F'</math>. | ||
+ | *נפתור את המד"ר: | ||
+ | **נכפול בגורם אינטגרציה <math>\frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}}</math> ונקבל <math>(e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0</math> | ||
+ | **לכן <math>F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}</math> | ||
+ | **נציב <math>s=0</math> | ||
+ | **<math>2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math>, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 8 - התמרה הפוכה== | ||
+ | |||
+ | *בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה. | ||
+ | *כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל. | ||
+ | *האמפליטודה של כל תדר מרוכב <math>e^{isx}</math> היא התמרת הפורייה <math>F(s)</math>, ולכן אנחנו מצפים לקבל: | ||
+ | **<math>f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *משפט ההתמרה ההפוכה: | ||
+ | **תהי <math>f\in G</math>, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי: | ||
+ | **<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> | ||
+ | **שימו לב שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמא=== | ||
+ | |||
+ | *ראינו ש<math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx</math> | ||
+ | *כיוון ש<math>e^{-x^2}</math> רציפה וגזירה, וכיוון ש <math>e^{-\frac{s^2}{4}}\in G</math> לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי: | ||
+ | **<math>\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}</math> | ||
+ | *כלומר <math>e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds </math> | ||
+ | *נציב <math>t=\frac{s}{2}</math> ונקבל: | ||
+ | **<math>e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}</math> | ||
+ | *ולכן <math>4C^2\pi = 1</math>, ומכאן <math>C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נזכור בנוסף שראינו כי <math>2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>. | ||
+ | *לכן נובע כי <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math> | ||
+ | |||
+ | ===דוגמא=== | ||
+ | *נביט ב<math>f(x)=\begin{cases}1 & |x|<1 \\ 0 & |x|>1\end{cases}</math> | ||
+ | *<math>\mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s}</math> | ||
+ | *<math>\lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2}</math> (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה=== | ||
+ | |||
+ | *כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====למת רימן-לבג==== | ||
+ | *ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס. | ||
+ | *כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>f\in G</math>, אזי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0</math> | ||
+ | *(כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח את הלמה: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *צ"ל כי<math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0</math> | ||
+ | *נשים לב כי <math>e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx)</math>. | ||
+ | *לכן מספיק לנו להוכיח כי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0</math> (ההוכחה עבור סינוס דומה). | ||
+ | *כיוון ש<math>f\in G</math> האינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס. | ||
+ | *לכן קיים <math>M</math> עבורו <math>\int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>. | ||
+ | *לכן <math>|\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}</math> | ||
+ | *לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}</math> | ||
+ | *(עבור <math>M=\pi</math> ו<math>s\in\mathbb{N}</math> כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נשים לב כי בכל קטע מתקיים: | ||
+ | **<math>\lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0</math> | ||
+ | *כיוון ש<math>f</math> רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב<math>[-M,M]</math>. | ||
+ | *לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות <math>h</math> עבורה מתקיים <math>\int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math> (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב). | ||
+ | *כמו כן מתקיים: | ||
+ | **<math>\int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx</math> | ||
+ | **כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס. | ||
+ | *סה"כ <math>\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx</math> | ||
+ | **מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math> | ||
+ | **עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ קיבלנו כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====טענת עזר==== | ||
+ | *תהי <math>f\in G</math> ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי: | ||
+ | :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math> | ||
+ | :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגדיר את הפונקציה <math>g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}</math> | ||
+ | *כיוון ש<math>f\in G</math> נובע שגם <math>g\in G</math> הרי <math>\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|</math> עבור <math>t>\pi</math>. | ||
+ | *לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי <math>\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0</math> | ||
+ | *בפרט מתקיים גבול הסדרה: | ||
+ | **<math>\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0</math> | ||
+ | *אבל <math>\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכן נותר להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math> | ||
+ | *נגדיר את הפונקציה <math>h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>. | ||
+ | **אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של <math>\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math> נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים. | ||
+ | **לכן הפוקנציה <math>h</math> רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות. | ||
+ | *כעת נשים לב כי: | ||
+ | **<math>\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt | ||
+ | = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt</math> | ||
+ | **לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל<math>\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====דוגמא===== | ||
+ | *טענה: | ||
+ | :<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
+ | **ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים. | ||
+ | **לכן מתקיים כי <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx</math> | ||
+ | **נבצע הצבה <math>t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}}</math> ונקבל כי: | ||
+ | ***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt</math> | ||
+ | **עבור <math>f(x)=1</math>, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא <math>\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | ===הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה=== | ||
+ | *<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=</math> | ||
+ | *<math>=\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds</math> | ||
+ | *נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל: | ||
+ | *<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =</math> | ||
+ | *<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =</math> | ||
+ | *<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy</math> | ||
+ | *נציב <math>t=y-x</math> ונקבל: | ||
+ | *<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}</math> | ||
+ | כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הצדקת החלפת סדר האינטגרציה==== | ||
+ | |||
+ | *נביט בסדרה <math>u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy</math>, שמתכנסת כמובן ל<math>\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy</math> | ||
+ | *מתקיים כי <math>|\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|>k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|>k} |f(y)|dy\to 0</math> | ||
+ | **(נתון כי <math>f\in G</math>) | ||
+ | *לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר: | ||
+ | **<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds</math> | ||
+ | **לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי | ||
+ | **<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy</math> | ||
+ | **שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי== | ||
+ | |||
+ | *תהיינה <math>f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> פונקציות, נגדיר את ה'''קונבולוציה''' ביניהן להיות: | ||
+ | **<math>f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מוטיבציה לדוגמא: | ||
+ | **אם <math>f,g</math> הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים? | ||
+ | **הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הקונבולוציה היא אבלית: | ||
+ | **<math>g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה. | ||
+ | *ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *משפט הקונבולוציה: | ||
+ | *תהיינה <math>f,g\in G</math> רציפות וחסומות אזי <math>\mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה): | ||
+ | :<math>\mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx = </math> | ||
+ | :<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx =</math> | ||
+ | :<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy =</math> | ||
+ | :<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy =</math> | ||
+ | :<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy =</math> | ||
+ | :<math>= 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===משוואת החום על מוט אינסופי=== | ||
+ | |||
+ | *אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא <math>u(x,t)</math>, היא מקיימת את המשוואה <math>u_t-ku_{xx}=0</math>. | ||
+ | *נניח גם כי תנאי ההתחלה הם <math>u(x,0)=f(x)</math> (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x: | ||
+ | :<math>U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx</math> | ||
+ | *נגזור לפי המשתנה t: | ||
+ | :<math>U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx</math> | ||
+ | *(נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך) | ||
+ | *כיוון ש<math>u_t-ku_{xx}=0</math> נקבל כי: | ||
+ | :<math>U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx</math> | ||
+ | *נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת <math>\mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f]</math> | ||
+ | *ולכן נקבל כי: | ||
+ | :<math>U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t)</math> | ||
+ | *זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא: | ||
+ | :<math>U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נציב את תנאי ההתחלה <math>t=0</math> ונקבל כי | ||
+ | :<math>A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f]</math> | ||
+ | *לכן בעצם מתקיים כי <math>U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t}</math> | ||
+ | *קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נחפש את ההתמרה ההפוכה של <math>e^{-ks^2 t}</math> | ||
+ | *נזכור כי <math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}}</math> | ||
+ | :<math>\mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}=</math> | ||
+ | :<math>=\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math> | ||
+ | *נסמן פונקציה זו ב<math>p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי: | ||
+ | :<math>\mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p]</math> | ||
+ | *ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי | ||
+ | :<math> u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t)</math> | ||
+ | *שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x. | ||
+ | *לכן | ||
+ | :<math>u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון== | ||
+ | ===משפט הדגימה של שנון=== | ||
+ | *תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים <math>f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),...</math> לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה). | ||
+ | *בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה <math>sin(x)</math> בנקודות <math>2\pi n</math> אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין. | ||
+ | *מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו? | ||
+ | *במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין. | ||
+ | *כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק: | ||
+ | *בהנתן פונקציה עם מחזור <math>t</math> נגדיר את התדר של המחזור להיות <math>\frac{1}{t}</math>. | ||
+ | *דוגמאות: | ||
+ | **התדר של <math>\sin(x)</math> הוא <math>\frac{1}{2\pi}</math> | ||
+ | **התדר של <math>\sin(\pi x)</math> הוא <math>\frac{1}{2}</math> | ||
+ | **באופן כללי, התדר של <math>sin(\pi t x)</math> הוא <math>\frac{t}{2}</math> כיוון ש <math>\sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x)</math> | ||
+ | **התדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> כיוון ש <math>e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *משפט הדגימה של שנון: | ||
+ | *תהי <math>f\in G</math> רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי <math>t</math>, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר <math>2t</math> ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות). | ||
+ | *שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש<math>\mathcal{F}[f](s)=0</math> לכל <math>\frac{|s|}{2\pi}>t</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הוכחת משפט הדגימה==== | ||
+ | *כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע <math>[-2\pi t,2\pi t]</math>, ניתן לקבוע כי | ||
+ | :<math>\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> | ||
+ | *ובפרט האינטגרל מתכנס. | ||
+ | *לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי <math>f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר <math>2t</math>: | ||
+ | :<math>c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z}</math> | ||
+ | *נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל: | ||
+ | :<math>c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds</math> | ||
+ | *נבצע הצבה <math>\frac{s}{2t}=-x</math> ונקבל: | ||
+ | :<math>c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx</math> | ||
+ | *אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע <math>\frac{1}{2\pi}</math>) של הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math>. | ||
+ | *כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור <math>|x|\geq \pi</math> מתקיים כי <math>\mathcal{F}[f](-2tx)=0</math> (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות). | ||
+ | *לכן <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math> נקבעת על ידי ערכיה בקטע <math>(-\pi,\pi)</math>, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל). | ||
+ | *לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הערות==== | ||
+ | *שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות. | ||
+ | *מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי? | ||
+ | *נקבל פונקציה שאינה שייכת ל<math>G</math>, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים. | ||
+ | *בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה== | ||
+ | |||
+ | ===DFT - Discrete Fourier transform=== | ||
+ | |||
+ | *תהי סדרת נקודות <math>a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C}</math>, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות <math>A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י: | ||
+ | :<math>A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של <math>N^2</math>. | ||
+ | *התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של <math>N\log(N)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====משמעות ההתמרה==== | ||
+ | |||
+ | *תהי פונקציה f. נדגום ממנה <math>N</math> נקודות בתדר <math>t</math>, כלומר נתון לנו: | ||
+ | :<math>f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})</math> | ||
+ | *נסמן נקודות אלה ב<math>a_k=f(\frac{k}{t})</math> | ||
+ | |||
+ | *אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים: | ||
+ | :<math>f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x}</math> | ||
+ | *כיוון שהתדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> נובע כי הגלים הללו הם בתדרים <math>0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N}</math> | ||
+ | *שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נביט בפונקצית הגל <math>u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x}</math>. | ||
+ | *נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב: | ||
+ | :<math>v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right)</math> | ||
+ | *נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב: | ||
+ | :<math>v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})</math> | ||
+ | *לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה: | ||
+ | :<math>v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}</math> | ||
+ | *זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה: | ||
+ | :<math>f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נבחן את הקבוצה <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math>. | ||
+ | :<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math> | ||
+ | *עבור <math>n\neq m</math>: | ||
+ | :<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math> | ||
+ | *אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math> | ||
+ | *שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>. | ||
+ | *כמו כן, שימו לב ש<math>q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1</math> | ||
+ | *לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי: | ||
+ | :<math>\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0</math> | ||
+ | *כלומר גילינו כי <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math> קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס. | ||
+ | *לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים <math>B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לבסוף, נשים לב כי: | ||
+ | :<math>\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n</math> | ||
+ | *כלומר <math>B_n = \frac{A_n}{N}</math> | ||
+ | |||
+ | ====התמרת פורייה הבדידה ההפוכה==== | ||
+ | *מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים <math>A_n</math> לסדרת הדגימות <math>a_n</math>. | ||
+ | :<math>v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})</math> | ||
+ | *ולכן: | ||
+ | :<math>a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====מסקנות לגבי גלים ממשיים==== | ||
+ | *פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ראשית, נשים לב לתופעה הבאה: | ||
+ | :<math>v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)})</math> | ||
+ | *(השיוויון נכון בזכות המחזוריות) | ||
+ | *ולכן נקבל: | ||
+ | :<math>v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כלומר פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,...,u_{N-1}</math> נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,u_{-1},...</math>. | ||
+ | *כאשר המקדם של <math>u_{-n}</math> שווה למקדם של <math>u_{N-n}</math>. | ||
+ | *שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לדוגמא: | ||
+ | *נניח שיש לנו 5 דגימות של f. | ||
+ | *אם נפרק את f לגלים <math>u_0,u_1,...,u_5</math> נקבל <math>v=B_0v_0+...+B_4v_4</math> | ||
+ | *אם נפרק את f לגלים <math>u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2</math> נקבל <math>v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2</math> | ||
+ | *במצב זה, אם דגמנו בתדר <math>t</math> נקבל את התדרים <math>0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5}</math> שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *עבור n ספציפי מתקיים כי: | ||
+ | :<math>B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x)</math> | ||
+ | *מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי <math>B_n+B_{N-n}</math> וגם <math>i(B_n-B_{N-n})</math> הם ממשיים. | ||
+ | *כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הערה: אם N זוגי, אז הגל <math>u_{\frac{N}{2}}</math> נותר בודד. | ||
+ | *לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math> | ||
+ | *נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה. |
גרסה אחרונה מ־08:15, 16 במאי 2022
מבחנים לדוגמא
תקציר ההרצאות
- ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.
עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא באתר של סמי זערפני.
הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה
הקדמה - גלים
- מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
- לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
- אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
- מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
- למדנו במד"ר על המשוואה
המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
- זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
- הפתרון הכללי למד"ר הוא
.
- הקבוע
קובע את התדר של כל גל.
- הקבועים
קובעים את האמפליטודה של כל גל.
- מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה
, הקבוע
קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
- בפונקציה
- האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי
ניתן להציג כגל יחיד?
- תשובה: כן.
- הוכחה:
- נסמן
- כלומר
- נסמן
- שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא
.
- האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
- בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
- האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
- למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
- במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.
טורי פורייה ומקדמי פוריה
- טור פורייה הוא טור מהצורה
- אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים
?
חישובים להקדמה
- ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- כעת, לכל
נקבל:
- עבור
נקבל:
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש
.
- באופן דומה, לכל
נקבל:
- עבור
נקבל:
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש
.
- עבור
נקבל:
כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
- ולבסוף, עבור
נקבל
- שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
- כמו כן קל לחשב
- הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה
מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה
מקדמי הטור
- כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
- כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
- לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
- שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור
.
- באופן דומה נקבל כי
- הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
- השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
- באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור
.
- לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
- תהי פונקציה
, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה
על ידי:
- לכל
ולכל
נגדיר
.
- ברור ש
, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
- ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת
- תהי פונקציה
- לדוגמא, ההמשך המחזורי של
:
דוגמא
- נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של
- שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.
.
- שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.
- שימו לב כי לכל
מתקיים כי
- סה"כ אם ההמשך המחזורי של
שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
- נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב
.
- ונקבל את הסכום המפורסם
הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה
מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים
- פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
- 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
- 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
- למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
- פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.
- E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין
מעל השדה
, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
- לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
היא מכפלה פנימית מעל E.
- בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
- כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
- נביט בנורמה המושרית
- כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
- יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
- ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.
- תהי קבוצה אורתונורמלית סופית
, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
- לכל וקטור
נגדיר את ההיטל של
על W על ידי
- נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:
- מתקיים כי
- הוכחה:
- המעבר האחרון נכון כיוון ש
אורתונורמלית.
- מתקיים כי
- הוכחה:
- נזכור כי
.
- לכן קיבלנו כי
- מסקנה מיידית:
אי שיוויון בסל
- כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית
.
- לכל
מתקיים כי
- הוכחה:
- ראינו שלכל n מתקיים כי
.
- כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי
ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.
- בפרט נובע כי
למת רימן לבג
- ראינו כי
היא קבוצה אורתונורמלית ב
(כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
- כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
- לכל
הגדרנו
, ו
- נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
- כלומר:
- למת רימן-לבג: תהי
רציפה למקוטעין בקטע
, אזי:
- הוכחה:
- נגדיר את שתי הפונקציות
ו
- קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי
.
- ביחד נקבל כי
גרעין דיריכלה
- גרעין דיריכלה הוא הפונקציה
- טענה:
בכל נקודה
- הוכחה:
- נכפל ב
ונקבל בצד שמאל:
- נבחין בזהות הטריגונומטרית
- ובפרט
- ביחד נקבל
- נשים לב כי הפונקציה
מתאפסת בנקודות
, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
- זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
- כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי
כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות
.
- נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
- ראשית, לכל
מתקיים:
- לכן נקבל:
הסכומים החלקיים של טור פוריה
- תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה
שהיא מחזורית
:
- נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
- זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
- שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.
- טענה: תהי
פונקציה מחזורית
. אזי לכל
מתקיים כי:
- כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך
.
- הוכחה:
- נבצע הצבה
באינטגרל השני ונקבל:
- ביחד נקבל כי:
- נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
- כיוון שגרעין דיריכלה ו
הן מחזוריות, נקבל:
הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה
סימונים והגדרות
- נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב
.
- נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב
.
- שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.
- נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י
.
- נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י
.
- שימו לב: ייתכן ש
אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.
דוגמא:
- נביט בפונקציה
- מתקיים כי
, ו
.
- כמו כן מתקיים כי
.
כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.
משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה
- תהי
פונקציה מחזורית
, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
- אזי לכל
הטור עם מקדמי הפוריה של
מתכנס:
- בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.
הוכחה
- תהי נקודה
.
- נביט בפונקציה
- כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש
רציפה למקוטעין בקטע
.
- לפי למת רימן-לבג נובע כי:
- כלומר:
- כיוון ש
- נובע כי:
- באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
- ולכן סה"כ נקבל כי:
דוגמאות
דוגמא 1
- תהי
ההמשך המחזורי של
.
- כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
- כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל
מתקיים כי
.
- כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
- לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה
, מתקיים כי:
.
- בפרט, לכל נקודה
מתקיים כי:
- עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
- קל לראות שאכן לכל
נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).
- נציב לדוגמא
ונקבל:
- לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
- שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של
.
דוגמא 2
- כעת, תהי
ההמשך המחזורי של
.
- הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
- הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות
.
- בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל
(כיוון שהנגזרת של
היא
).
- סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).
- כלומר קיבלנו שלכל
מתקיים כי:
- שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של
, נקבל את טור הפורייה של
.
- האם זה מפתיע?
דוגמא 3
- תהי
ההמשך המחזורי של הפונקציה
- שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.
- נחשב את מקדמי הפורייה:
- סה"כ שלכל
מתקיים כי:
- שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל
בקטע
.
- באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.
טור הנגזרת
- תהי
רציפה בקטע
כך שהנגזרת שלה
רציפה למקוטעין בקטע.
שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים
- שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
- כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
- בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
- אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
- לדוגמא:
- כלומר קיבלנו כי
, כאשר
חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת
- נסמן את מקדמי הפורייה של
ב
- נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב
:
- כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
- אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
- במקרה המיוחד בו
מתקיים כי
ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
דוגמאות
דוגמא 1
- נזכר בטור הפורייה של
:
- נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של
, נסמנם ב
.
- לכל
נקבל כי:
- כמו כן נחשב את המקדם הראשון:
- נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של
הוא:
דוגמא 2
- נחשב את טור הפורייה של
.
- נסמן את טור הפורייה של
ב:
- כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
- מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:
- כאשר
- ביחד נקבל את המשוואות:
- נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:
- ולכן
- סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של
הינו:
- כיוון שלהמשך המחזורי של
יש אי רציפות קפיצתית ב
, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע
- כלומר, אם נציב
נקבל:
- נפשט:
הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל
תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה
- תהי
רציפה בקטע
המקיימת
, כך ש
רציפה למקוטעין.
- אזי טור הפורייה של
מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.
- לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
- נסמן את טור הפורייה ב
- ברור כי
- לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.
- נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב
.
- כבר חישבנו ש:
- לכן ביחד נקבל כי
- לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:
- לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור
מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של
.
- (זכרו שמותר להניח כי
על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
- (זכרו שמותר להניח כי
- לכן
חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
- לכן סה"כ
חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.
- סה"כ קיבלנו כי
מתכנס.
- לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר
ו
מתכנסים, כפי שרצינו.
שיוויון פרסבל
- נביט במערכת האורתונורמלית
, ותהי
.
- ידוע לנו כי
, ולכן
- נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב
.
היא ההיטל של
על הקבוצה האורתונורמלית
- אכן
- אכן
- נזכור כי
- לכן
.
- לכן
- כמו כן, נזכור כי
- לכן
- לכן
- אי שיוויון בסל אומר כי
- כלומר:
- משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:
- אם נוכיח ש
, נסיק כי
וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.
הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש
- תהי
רציפה בקטע
המקיימת
, כך שהנגזרת שלה
רציפה למקוטעין.
- נסמן
- הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר
.
- לכן
דוגמא
- הפונקציה
מקיימת את דרישות המשפט.
- נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
- לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
- ולכן:
הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי
- תהי
, אנחנו מעוניינים להוכיח כי
.
- נבנה סדרת פונקציות
רציפות בקטע
המקיימות
, כך שהנגזרות שלהן
רציפות למקוטעין, המקיימות:
- יהי
, נבחר
כך ש
.
- נסמן ב
את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של
.
- ראינו כי
.
- כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
- כמו כן,
- קיים מקום החל ממנו לכל
מתקיים כי
.
- לכן החל ממקום זה
כפי שרצינו.
בניית סדרת הפונקציות
- f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
- לכן ניתן לבחור חלוקה
הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש
לכל זוג נקודות
.
- נבחר נקודות כלשהן
בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע
.
- כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
- לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל
כך ש
- כעת נגדיר סדרת פונקציות
להיות
, פרט לשינויים הבאים:
- עבור
שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים
.
- נגדיר
.
- נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע
.
- עבור
- עבור
קטנה מספיק,
.
- סה"כ נקבל כי
מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
- אכן מתקיים כי
יחידות טור פורייה
הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?
- תהיינה
בעלות אותם מקדמי פורייה.
- אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?
- מקדמי הפורייה של
הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:
- לכן
.
- שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש
פרט למספר סופי של נקודות.
האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?
- קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע
, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
- יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
- מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך לא כל מקדמי הטור הם אפס.
הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים
תופעת גיבס
- ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
- כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.
- נביט בטור פורייה של הפונקציה x:
- נסמן ב
את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:
- כעת,
- לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:
- (הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
- כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
- אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה
, נקבל בערך
.
- לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.
טור הסינוסים וטור הקוסינוסים
- עבור פונקציה
הרציפה בקטע
ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה
הזוגית בקטע
, או ל
האי זוגית בקטע
.
- את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע
. זה נקרא טור הקוסינוסים של הפונקציה
.
- הוכחה:
רציפה ב
, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש
.
- את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע
. זה נקרא טור הסינוסים של הפונקציה
.
- אם
אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע
.
- הוכחה:
רציפה כיוון ש
, ומתקיים כי
.
- חישוב המקדמים:
- עבור טור הקוסינוסים:
- עבור טור הסינוסים:
דוגמאות
- נחשב טור קוסינוסים של
:
- הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע
:
- לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את
בשני הצדדים ונקבל:
- נציב למשל
ונקבל את השיוויון:
- נחשב טור סינוסים של
:
- הטור מתכנס בקטע
:
- נחשב טור סינוסים של
.
- שימו לב:
.
- לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע
:
- לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את
בשני הצדדים ונקבל:
- שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.
הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה
משוואת החום על טבעת
- נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה
:
(תנאי התחלה)
(תנאי שפה)
(תנאי שפה)
- כאשר
, ו
- על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.
- נחפש פתרון מהצורה
.
- נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
- נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
- כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
- נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:
- כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
- שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
- עבור
:
, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי
(הקבוע יבלע בקבוע של
)
- עבור
- עבור
:
(הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב
)
- עבור
- ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור
הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
- גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
- צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).
- לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
- כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים
.
- נציב כעת בתנאי ההתחלה
ונקבל בעצם את טור הפורייה:
- אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
- מדוע זה יהיה פתרון?
- נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
- בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור
לכל
ולכל
.
- לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.
התמרת פורייה
טור פורייה המרוכב
- לא קשה לוודא כי
מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:
- תהי
, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
- כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
- נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב
.
- נשים לב כי עבור
נקבל:
- כעת עבור
מתקיים:
- (שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)
- כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!
הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות
- טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע
.
- בהנתן גל
, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
- (שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו
).
- מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל
נמצא את ה'אמפליטודה':
.
- כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה
נקראת התמרת פורייה של הפונקציה
.
- הערה - המקדם
לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.
- הערות כלליות:
- נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב
.
מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
- לעומת זאת,
מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
- לכל תדר
יש שני גלים שמייצגים אותו,
.
- כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.
- נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב
- נסמן ב
את אוסף הפונקציות
הרציפות למקוטעין ב
, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס
.
- לכל
התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
- הוכחה:
מתכנס.
- כיוון שהאינטגרל המגדיר את
מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.
דוגמאות
- נמצא את
עבור
.
- שימו לב - השתמשנו בעובדה ש
חסומה, ואילו
כאשר
.
- לכן סה"כ קיבלנו כי
- נמצא את התמרת הפורייה של
- שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור
, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.
הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה
תכונות ההתמרה
- תהי
אזי
רציפה במ"ש ב
.
- הוכחה:
- יהי
. כיוון ש
מתכנס, קיים
עבורו
- עבור
מתקיים כי
- כמובן ש
ולכן בתחום
האינטגרל הנ"ל קטן מ
.
- נותר להוכיח שעבור
מספיק קרובים מתקיים כי
- נראה כי
.
הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
- אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
- לכן
- כיוון ש
והפונקציה
חסומה בתחום זה, עבור
מספיק קטן נקבל את הדרוש.
- רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
- אם
ממשית וזוגית, גם
ממשית וזוגית.
- הזזה במרחב הזמן:
- אם
, אזי
- אם
אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב
משנה את הזוית).
- הזזה במרחב התדר:
- באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.
- התמרת הנגזרת:
- נניח
ונניח כי
רציפה ומתקיים כי
, אזי:
- הוכחה:
- נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
.
- כיוון ש
חסומה, יחד עם הנתון נובע כי
.
- לכן סה"כ קיבלנו כי
- נגזרת ההתמרה:
- תהי
רציפה כך ש
אזי:
- הוכחה:
- אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
- נסמן
- ברור ש
, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של
.
- עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
- אכן
מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל
מתכנס, והרי
ואכן אינו תלוי בs.
- נסמן
דוגמאות
- ראינו כי
- לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
- נסמן
.
- כעת
לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
- מצד שני,
לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
- ביחד נקבל כי
, ולכן
.
- נפתור את המד"ר:
- נכפול בגורם אינטגרציה
ונקבל
- לכן
- נציב
, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.
- נכפול בגורם אינטגרציה
הרצאה 8 - התמרה הפוכה
- בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
- כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
- האמפליטודה של כל תדר מרוכב
היא התמרת הפורייה
, ולכן אנחנו מצפים לקבל:
- משפט ההתמרה ההפוכה:
- תהי
, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
- שימו לב שהאינטגרל
לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.
- תהי
דוגמא
- ראינו ש
- כיוון ש
רציפה וגזירה, וכיוון ש
לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
- כלומר
- נציב
ונקבל:
- ולכן
, ומכאן
- נזכור בנוסף שראינו כי
.
- לכן נובע כי
דוגמא
- נביט ב
(הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).
הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה
- כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.
למת רימן-לבג
- ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
- כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:
- תהי
, אזי
- (כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)
- נוכיח את הלמה:
- צ"ל כי
- נשים לב כי
.
- לכן מספיק לנו להוכיח כי
(ההוכחה עבור סינוס דומה).
- כיוון ש
האינטגרל
מתכנס.
- לכן קיים
עבורו
.
- לכן
- לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור
מספיק גדול מתקיים
- (עבור
ו
כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)
- נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
- כיוון ש
רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב
.
- לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות
עבורה מתקיים
(האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
- כמו כן מתקיים:
- כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
- סה"כ
- מתקיים כי
- עבור
מספיק גדול מתקיים כי
- מתקיים כי
- סה"כ קיבלנו כי עבור
מספיק גדול מתקיים
טענת עזר
- תהי
ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
- נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.
- נגדיר את הפונקציה
- כיוון ש
נובע שגם
הרי
עבור
.
- לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי
- בפרט מתקיים גבול הסדרה:
- אבל
- לכן נותר להוכיח כי
- נגדיר את הפונקציה
.
- אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של
נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
- לכן הפוקנציה
רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
- אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של
- כעת נשים לב כי:
- לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל
.
דוגמא
- טענה:
- הוכחה:
- ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
- לכן מתקיים כי
- נבצע הצבה
ונקבל כי:
- עבור
, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא
הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה
- נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
- נציב
ונקבל:
כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.
הצדקת החלפת סדר האינטגרציה
- נביט בסדרה
, שמתכנסת כמובן ל
- מתקיים כי
- (נתון כי
)
- (נתון כי
- לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
- לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
- שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.
הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי
- תהיינה
פונקציות, נגדיר את הקונבולוציה ביניהן להיות:
.
- מוטיבציה לדוגמא:
- אם
הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
- הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.
- אם
- הקונבולוציה היא אבלית:
- שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
- ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner
- משפט הקונבולוציה:
- תהיינה
רציפות וחסומות אזי
- הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):
משוואת החום על מוט אינסופי
- אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא
, היא מקיימת את המשוואה
.
- נניח גם כי תנאי ההתחלה הם
(זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).
- נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:
- נגזור לפי המשתנה t:
- (נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
- כיוון ש
נקבל כי:
- נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת
- ולכן נקבל כי:
- זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:
- נציב את תנאי ההתחלה
ונקבל כי
- לכן בעצם מתקיים כי
- קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.
- נחפש את ההתמרה ההפוכה של
- נזכור כי
- נסמן פונקציה זו ב
- לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:
- ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי
- שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
- לכן
- שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.
הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון
משפט הדגימה של שנון
- תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים
לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
- בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה
בנקודות
אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
- מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
- במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
- כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.
- עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
- בהנתן פונקציה עם מחזור
נגדיר את התדר של המחזור להיות
.
- דוגמאות:
- התדר של
הוא
- התדר של
הוא
- באופן כללי, התדר של
הוא
כיוון ש
- התדר של
הוא
כיוון ש
- התדר של
- משפט הדגימה של שנון:
- תהי
רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי
, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר
ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
- שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש
לכל
.
הוכחת משפט הדגימה
- כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע
, ניתן לקבוע כי
- ובפרט האינטגרל מתכנס.
- לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי
- כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר
:
- נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:
- נבצע הצבה
ונקבל:
- אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע
) של הפונקציה
.
- כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור
מתקיים כי
(זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
- לכן
נקבעת על ידי ערכיה בקטע
, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
- לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).
הערות
- שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
- מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
- נקבל פונקציה שאינה שייכת ל
, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
- בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.
הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה
DFT - Discrete Fourier transform
- תהי סדרת נקודות
, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות
המוגדרת ע"י:
- שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של
.
- התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של
.
משמעות ההתמרה
- תהי פונקציה f. נדגום ממנה
נקודות בתדר
, כלומר נתון לנו:
- נסמן נקודות אלה ב
- אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:
- כיוון שהתדר של
הוא
נובע כי הגלים הללו הם בתדרים
- שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.
- נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.
- נביט בפונקצית הגל
.
- נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
- נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
- לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:
- זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:
- נבחן את הקבוצה
.
- עבור
:
- אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית
עבור
- שימו לב ש
ולכן
.
- כמו כן, שימו לב ש
- לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:
- כלומר גילינו כי
קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
- לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים
- לבסוף, נשים לב כי:
- כלומר
התמרת פורייה הבדידה ההפוכה
- מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים
לסדרת הדגימות
.
- ולכן:
מסקנות לגבי גלים ממשיים
- פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?
- ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:
- (השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
- ולכן נקבל:
- כלומר פירוק הפונקציה לגלים
נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים
.
- כאשר המקדם של
שווה למקדם של
.
- שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.
- לדוגמא:
- נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
- אם נפרק את f לגלים
נקבל
- אם נפרק את f לגלים
נקבל
- במצב זה, אם דגמנו בתדר
נקבל את התדרים
שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).
- עבור n ספציפי מתקיים כי:
- מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי
וגם
הם ממשיים.
- כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.
- הערה: אם N זוגי, אז הגל
נותר בודד.
- לדוגמא עבור
נקבל במקום הגלים
את
- נשים לב כי במקרה זה
הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.