(←דוגמא) |
(←תקציר ההרצאות) |
||
(18 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:מערכי לימוד]] | ||
=מבחנים לדוגמא= | =מבחנים לדוגמא= | ||
− | *[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא | + | *[[מדיה:20ForierTestA.pdf|מועד א' תש"ף]] |
+ | **[[מדיה:20ForierTestASol.pdf|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]] | ||
+ | *[[מדיה:20ForierTestB.pdf|מועד ב' תש"ף]] | ||
+ | *[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ט]] | ||
+ | **[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]] | ||
+ | *[[מדיה:19ForierTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]] | ||
+ | **[[מדיה:19ForierTestASol.pdf|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]] | ||
+ | *[[מדיה:19ForierTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]] | ||
+ | **[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]] | ||
=תקציר ההרצאות= | =תקציר ההרצאות= | ||
− | *ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [ | + | *ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [https://samyzaf.com/technion/fourier/fourier.pdf 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס]. |
+ | |||
+ | עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא [https://samyzaf.com/ באתר של סמי זערפני]. | ||
+ | |||
==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה== | ==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה== | ||
===הקדמה - גלים=== | ===הקדמה - גלים=== | ||
שורה 72: | שורה 84: | ||
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math> | **<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math> | ||
*שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו. | *שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו. | ||
+ | *כמו כן קל לחשב <math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx=0</math> | ||
שורה 214: | שורה 227: | ||
**נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> | **נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> | ||
**קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>. | **קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>. | ||
− | **ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t) | + | **ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0</math> |
===גרעין דיריכלה=== | ===גרעין דיריכלה=== | ||
שורה 333: | שורה 346: | ||
*כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים: | *כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים: | ||
− | :<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = | + | :<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = |
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math> | -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math> | ||
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי: | *לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי: | ||
שורה 348: | שורה 361: | ||
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math> | :<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math> | ||
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>. | *שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>. | ||
− | |||
=====דוגמא 2===== | =====דוגמא 2===== | ||
שורה 420: | שורה 432: | ||
*כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו: | *כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו: | ||
− | :<math>f(x) | + | :<math>f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math> |
*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו: | *אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו: | ||
:<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math> | :<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math> | ||
שורה 444: | שורה 456: | ||
*נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא: | *נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא: | ||
− | :<math>\frac{x^3}{3} | + | :<math>\frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math> |
− | + | ||
=====דוגמא 2===== | =====דוגמא 2===== | ||
שורה 813: | שורה 824: | ||
:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math> | :<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math> | ||
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math> | :<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור <math>s=0</math>, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך. | ||
==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה== | ==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה== | ||
שורה 847: | שורה 861: | ||
*התמרת הנגזרת: | *התמרת הנגזרת: | ||
− | *נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי f רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי: | + | *נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי <math>f'</math> רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי: |
*<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math> | *<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math> | ||
**הוכחה: | **הוכחה: | ||
שורה 1,190: | שורה 1,204: | ||
:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math> | :<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math> | ||
*עבור <math>n\neq m</math>: | *עבור <math>n\neq m</math>: | ||
− | :<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{ | + | :<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math> |
*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math> | *אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math> | ||
*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>. | *שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>. | ||
שורה 1,219: | שורה 1,233: | ||
*(השיוויון נכון בזכות המחזוריות) | *(השיוויון נכון בזכות המחזוריות) | ||
*ולכן נקבל: | *ולכן נקבל: | ||
− | :<math> | + | :<math>v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math> |
גרסה אחרונה מ־08:15, 16 במאי 2022
מבחנים לדוגמא
תקציר ההרצאות
- ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.
עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא באתר של סמי זערפני.
הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה
הקדמה - גלים
- מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
- לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
- אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
- מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
- למדנו במד"ר על המשוואה
המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
- זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
- הפתרון הכללי למד"ר הוא
.
- הקבוע
קובע את התדר של כל גל.
- הקבועים
קובעים את האמפליטודה של כל גל.
- מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה
, הקבוע
קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
- בפונקציה
- האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי
ניתן להציג כגל יחיד?
- תשובה: כן.
- הוכחה:
- נסמן
- כלומר
- נסמן
- שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא
.
- האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
- בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
- האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
- למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
- במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.
טורי פורייה ומקדמי פוריה
- טור פורייה הוא טור מהצורה
- אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים
?
חישובים להקדמה
- ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- כעת, לכל
נקבל:
- עבור
נקבל:
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש
.
- באופן דומה, לכל
נקבל:
- עבור
נקבל:
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש
.
- עבור
נקבל:
כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
- ולבסוף, עבור
נקבל
- שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
- כמו כן קל לחשב
- הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה
מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה
מקדמי הטור
- כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
- כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
- לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
- שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור
.
- באופן דומה נקבל כי
- הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
- השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
- באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור
.
- לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
- תהי פונקציה
, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה
על ידי:
- לכל
ולכל
נגדיר
.
- ברור ש
, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
- ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת
- תהי פונקציה
- לדוגמא, ההמשך המחזורי של
:
דוגמא
- נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של
- שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.
.
- שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.
- שימו לב כי לכל
מתקיים כי
- סה"כ אם ההמשך המחזורי של
שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
- נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב
.
- ונקבל את הסכום המפורסם
הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה
מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים
- פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
- 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
- 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
- למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
- פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.
- E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין
מעל השדה
, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
- לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
היא מכפלה פנימית מעל E.
- בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
- כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
- נביט בנורמה המושרית
- כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
- יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
- ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.
- תהי קבוצה אורתונורמלית סופית
, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
- לכל וקטור
נגדיר את ההיטל של
על W על ידי
- נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:
- מתקיים כי
- הוכחה:
- המעבר האחרון נכון כיוון ש
אורתונורמלית.
- מתקיים כי
- הוכחה:
- נזכור כי
.
- לכן קיבלנו כי
- מסקנה מיידית:
אי שיוויון בסל
- כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית
.
- לכל
מתקיים כי
- הוכחה:
- ראינו שלכל n מתקיים כי
.
- כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי
ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.
- בפרט נובע כי
למת רימן לבג
- ראינו כי
היא קבוצה אורתונורמלית ב
(כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
- כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
- לכל
הגדרנו
, ו
- נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
- כלומר:
- למת רימן-לבג: תהי
רציפה למקוטעין בקטע
, אזי:
- הוכחה:
- נגדיר את שתי הפונקציות
ו
- קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי
.
- ביחד נקבל כי
גרעין דיריכלה
- גרעין דיריכלה הוא הפונקציה
- טענה:
בכל נקודה
- הוכחה:
- נכפל ב
ונקבל בצד שמאל:
- נבחין בזהות הטריגונומטרית
- ובפרט
- ביחד נקבל
- נשים לב כי הפונקציה
מתאפסת בנקודות
, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
- זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
- כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי
כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות
.
- נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
- ראשית, לכל
מתקיים:
- לכן נקבל:
הסכומים החלקיים של טור פוריה
- תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה
שהיא מחזורית
:
- נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
- זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
- שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.
- טענה: תהי
פונקציה מחזורית
. אזי לכל
מתקיים כי:
- כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך
.
- הוכחה:
- נבצע הצבה
באינטגרל השני ונקבל:
- ביחד נקבל כי:
- נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
- כיוון שגרעין דיריכלה ו
הן מחזוריות, נקבל:
הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה
סימונים והגדרות
- נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב
.
- נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב
.
- שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.
- נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י
.
- נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י
.
- שימו לב: ייתכן ש
אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.
דוגמא:
- נביט בפונקציה
- מתקיים כי
, ו
.
- כמו כן מתקיים כי
.
כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.
משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה
- תהי
פונקציה מחזורית
, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
- אזי לכל
הטור עם מקדמי הפוריה של
מתכנס:
- בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.
הוכחה
- תהי נקודה
.
- נביט בפונקציה
- כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש
רציפה למקוטעין בקטע
.
- לפי למת רימן-לבג נובע כי:
- כלומר:
- כיוון ש
- נובע כי:
- באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
- ולכן סה"כ נקבל כי:
דוגמאות
דוגמא 1
- תהי
ההמשך המחזורי של
.
- כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
- כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל
מתקיים כי
.
- כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
- לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה
, מתקיים כי:
.
- בפרט, לכל נקודה
מתקיים כי:
- עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
- קל לראות שאכן לכל
נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).
- נציב לדוגמא
ונקבל:
- לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
- שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של
.
דוגמא 2
- כעת, תהי
ההמשך המחזורי של
.
- הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
- הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות
.
- בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל
(כיוון שהנגזרת של
היא
).
- סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).
- כלומר קיבלנו שלכל
מתקיים כי:
- שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של
, נקבל את טור הפורייה של
.
- האם זה מפתיע?
דוגמא 3
- תהי
ההמשך המחזורי של הפונקציה
- שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.
- נחשב את מקדמי הפורייה:
- סה"כ שלכל
מתקיים כי:
- שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל
בקטע
.
- באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.
טור הנגזרת
- תהי
רציפה בקטע
כך שהנגזרת שלה
רציפה למקוטעין בקטע.
שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים
- שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
- כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
- בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
- אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
- לדוגמא:
- כלומר קיבלנו כי
, כאשר
חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת
- נסמן את מקדמי הפורייה של
ב
- נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב
:
- כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
- אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
- במקרה המיוחד בו
מתקיים כי
ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
דוגמאות
דוגמא 1
- נזכר בטור הפורייה של
:
- נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של
, נסמנם ב
.
- לכל
נקבל כי:
- כמו כן נחשב את המקדם הראשון:
- נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של
הוא:
דוגמא 2
- נחשב את טור הפורייה של
.
- נסמן את טור הפורייה של
ב:
- כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
- מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:
- כאשר
- ביחד נקבל את המשוואות:
- נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:
- ולכן
- סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של
הינו:
- כיוון שלהמשך המחזורי של
יש אי רציפות קפיצתית ב
, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע
- כלומר, אם נציב
נקבל:
- נפשט:
הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל
תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה
- תהי
רציפה בקטע
המקיימת
, כך ש
רציפה למקוטעין.
- אזי טור הפורייה של
מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.
- לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
- נסמן את טור הפורייה ב
- ברור כי
- לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.
- נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב
.
- כבר חישבנו ש:
- לכן ביחד נקבל כי
- לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:
- לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור
מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של
.
- (זכרו שמותר להניח כי
על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
- (זכרו שמותר להניח כי
- לכן
חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
- לכן סה"כ
חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.
- סה"כ קיבלנו כי
מתכנס.
- לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר
ו
מתכנסים, כפי שרצינו.
שיוויון פרסבל
- נביט במערכת האורתונורמלית
, ותהי
.
- ידוע לנו כי
, ולכן
- נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב
.
היא ההיטל של
על הקבוצה האורתונורמלית
- אכן
- אכן
- נזכור כי
- לכן
.
- לכן
- כמו כן, נזכור כי
- לכן
- לכן
- אי שיוויון בסל אומר כי
- כלומר:
- משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:
- אם נוכיח ש
, נסיק כי
וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.
הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש
- תהי
רציפה בקטע
המקיימת
, כך שהנגזרת שלה
רציפה למקוטעין.
- נסמן
- הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר
.
- לכן
דוגמא
- הפונקציה
מקיימת את דרישות המשפט.
- נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
- לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
- ולכן:
הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי
- תהי
, אנחנו מעוניינים להוכיח כי
.
- נבנה סדרת פונקציות
רציפות בקטע
המקיימות
, כך שהנגזרות שלהן
רציפות למקוטעין, המקיימות:
- יהי
, נבחר
כך ש
.
- נסמן ב
את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של
.
- ראינו כי
.
- כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
- כמו כן,
- קיים מקום החל ממנו לכל
מתקיים כי
.
- לכן החל ממקום זה
כפי שרצינו.
בניית סדרת הפונקציות
- f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
- לכן ניתן לבחור חלוקה
הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש
לכל זוג נקודות
.
- נבחר נקודות כלשהן
בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע
.
- כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
- לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל
כך ש
- כעת נגדיר סדרת פונקציות
להיות
, פרט לשינויים הבאים:
- עבור
שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים
.
- נגדיר
.
- נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע
.
- עבור
- עבור
קטנה מספיק,
.
- סה"כ נקבל כי
מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
- אכן מתקיים כי
יחידות טור פורייה
הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?
- תהיינה
בעלות אותם מקדמי פורייה.
- אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?
- מקדמי הפורייה של
הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:
- לכן
.
- שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש
פרט למספר סופי של נקודות.
האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?
- קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע
, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
- יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
- מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך לא כל מקדמי הטור הם אפס.
הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים
תופעת גיבס
- ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
- כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.
- נביט בטור פורייה של הפונקציה x:
- נסמן ב
את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:
- כעת,
- לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:
- (הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
- כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
- אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה
, נקבל בערך
.
- לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.
טור הסינוסים וטור הקוסינוסים
- עבור פונקציה
הרציפה בקטע
ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה
הזוגית בקטע
, או ל
האי זוגית בקטע
.
- את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע
. זה נקרא טור הקוסינוסים של הפונקציה
.
- הוכחה:
רציפה ב
, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש
.
- את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע
. זה נקרא טור הסינוסים של הפונקציה
.
- אם
אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע
.
- הוכחה:
רציפה כיוון ש
, ומתקיים כי
.
- חישוב המקדמים:
- עבור טור הקוסינוסים:
- עבור טור הסינוסים:
דוגמאות
- נחשב טור קוסינוסים של
:
- הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע
:
- לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את
בשני הצדדים ונקבל:
- נציב למשל
ונקבל את השיוויון:
- נחשב טור סינוסים של
:
- הטור מתכנס בקטע
:
- נחשב טור סינוסים של
.
- שימו לב:
.
- לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע
:
- לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את
בשני הצדדים ונקבל:
- שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.
הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה
משוואת החום על טבעת
- נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה
:
(תנאי התחלה)
(תנאי שפה)
(תנאי שפה)
- כאשר
, ו
- על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.
- נחפש פתרון מהצורה
.
- נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
- נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
- כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
- נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:
- כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
- שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
- עבור
:
, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי
(הקבוע יבלע בקבוע של
)
- עבור
- עבור
:
(הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב
)
- עבור
- ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור
הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
- גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
- צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).
- לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
- כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים
.
- נציב כעת בתנאי ההתחלה
ונקבל בעצם את טור הפורייה:
- אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
- מדוע זה יהיה פתרון?
- נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
- בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור
לכל
ולכל
.
- לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.
התמרת פורייה
טור פורייה המרוכב
- לא קשה לוודא כי
מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:
- תהי
, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
- כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
- נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב
.
- נשים לב כי עבור
נקבל:
- כעת עבור
מתקיים:
- (שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)
- כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!
הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות
- טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע
.
- בהנתן גל
, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
- (שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו
).
- מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל
נמצא את ה'אמפליטודה':
.
- כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה
נקראת התמרת פורייה של הפונקציה
.
- הערה - המקדם
לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.
- הערות כלליות:
- נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב
.
מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
- לעומת זאת,
מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
- לכל תדר
יש שני גלים שמייצגים אותו,
.
- כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.
- נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב
- נסמן ב
את אוסף הפונקציות
הרציפות למקוטעין ב
, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס
.
- לכל
התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
- הוכחה:
מתכנס.
- כיוון שהאינטגרל המגדיר את
מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.
דוגמאות
- נמצא את
עבור
.
- שימו לב - השתמשנו בעובדה ש
חסומה, ואילו
כאשר
.
- לכן סה"כ קיבלנו כי
- נמצא את התמרת הפורייה של
- שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור
, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.
הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה
תכונות ההתמרה
- תהי
אזי
רציפה במ"ש ב
.
- הוכחה:
- יהי
. כיוון ש
מתכנס, קיים
עבורו
- עבור
מתקיים כי
- כמובן ש
ולכן בתחום
האינטגרל הנ"ל קטן מ
.
- נותר להוכיח שעבור
מספיק קרובים מתקיים כי
- נראה כי
.
הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
- אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
- לכן
- כיוון ש
והפונקציה
חסומה בתחום זה, עבור
מספיק קטן נקבל את הדרוש.
- רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
- אם
ממשית וזוגית, גם
ממשית וזוגית.
- הזזה במרחב הזמן:
- אם
, אזי
- אם
אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב
משנה את הזוית).
- הזזה במרחב התדר:
- באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.
- התמרת הנגזרת:
- נניח
ונניח כי
רציפה ומתקיים כי
, אזי:
- הוכחה:
- נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
.
- כיוון ש
חסומה, יחד עם הנתון נובע כי
.
- לכן סה"כ קיבלנו כי
- נגזרת ההתמרה:
- תהי
רציפה כך ש
אזי:
- הוכחה:
- אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
- נסמן
- ברור ש
, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של
.
- עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
- אכן
מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל
מתכנס, והרי
ואכן אינו תלוי בs.
- נסמן
דוגמאות
- ראינו כי
- לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
- נסמן
.
- כעת
לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
- מצד שני,
לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
- ביחד נקבל כי
, ולכן
.
- נפתור את המד"ר:
- נכפול בגורם אינטגרציה
ונקבל
- לכן
- נציב
, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.
- נכפול בגורם אינטגרציה
הרצאה 8 - התמרה הפוכה
- בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
- כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
- האמפליטודה של כל תדר מרוכב
היא התמרת הפורייה
, ולכן אנחנו מצפים לקבל:
- משפט ההתמרה ההפוכה:
- תהי
, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
- שימו לב שהאינטגרל
לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.
- תהי
דוגמא
- ראינו ש
- כיוון ש
רציפה וגזירה, וכיוון ש
לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
- כלומר
- נציב
ונקבל:
- ולכן
, ומכאן
- נזכור בנוסף שראינו כי
.
- לכן נובע כי
דוגמא
- נביט ב
(הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).
הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה
- כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.
למת רימן-לבג
- ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
- כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:
- תהי
, אזי
- (כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)
- נוכיח את הלמה:
- צ"ל כי
- נשים לב כי
.
- לכן מספיק לנו להוכיח כי
(ההוכחה עבור סינוס דומה).
- כיוון ש
האינטגרל
מתכנס.
- לכן קיים
עבורו
.
- לכן
- לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור
מספיק גדול מתקיים
- (עבור
ו
כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)
- נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
- כיוון ש
רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב
.
- לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות
עבורה מתקיים
(האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
- כמו כן מתקיים:
- כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
- סה"כ
- מתקיים כי
- עבור
מספיק גדול מתקיים כי
- מתקיים כי
- סה"כ קיבלנו כי עבור
מספיק גדול מתקיים
טענת עזר
- תהי
ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
- נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.
- נגדיר את הפונקציה
- כיוון ש
נובע שגם
הרי
עבור
.
- לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי
- בפרט מתקיים גבול הסדרה:
- אבל
- לכן נותר להוכיח כי
- נגדיר את הפונקציה
.
- אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של
נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
- לכן הפוקנציה
רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
- אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של
- כעת נשים לב כי:
- לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל
.
דוגמא
- טענה:
- הוכחה:
- ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
- לכן מתקיים כי
- נבצע הצבה
ונקבל כי:
- עבור
, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא
הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה
- נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
- נציב
ונקבל:
כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.
הצדקת החלפת סדר האינטגרציה
- נביט בסדרה
, שמתכנסת כמובן ל
- מתקיים כי
- (נתון כי
)
- (נתון כי
- לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
- לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
- שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.
הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי
- תהיינה
פונקציות, נגדיר את הקונבולוציה ביניהן להיות:
.
- מוטיבציה לדוגמא:
- אם
הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
- הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.
- אם
- הקונבולוציה היא אבלית:
- שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
- ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner
- משפט הקונבולוציה:
- תהיינה
רציפות וחסומות אזי
- הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):
משוואת החום על מוט אינסופי
- אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא
, היא מקיימת את המשוואה
.
- נניח גם כי תנאי ההתחלה הם
(זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).
- נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:
- נגזור לפי המשתנה t:
- (נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
- כיוון ש
נקבל כי:
- נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת
- ולכן נקבל כי:
- זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:
- נציב את תנאי ההתחלה
ונקבל כי
- לכן בעצם מתקיים כי
- קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.
- נחפש את ההתמרה ההפוכה של
- נזכור כי
- נסמן פונקציה זו ב
- לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:
- ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי
- שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
- לכן
- שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.
הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון
משפט הדגימה של שנון
- תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים
לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
- בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה
בנקודות
אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
- מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
- במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
- כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.
- עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
- בהנתן פונקציה עם מחזור
נגדיר את התדר של המחזור להיות
.
- דוגמאות:
- התדר של
הוא
- התדר של
הוא
- באופן כללי, התדר של
הוא
כיוון ש
- התדר של
הוא
כיוון ש
- התדר של
- משפט הדגימה של שנון:
- תהי
רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי
, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר
ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
- שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש
לכל
.
הוכחת משפט הדגימה
- כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע
, ניתן לקבוע כי
- ובפרט האינטגרל מתכנס.
- לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי
- כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר
:
- נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:
- נבצע הצבה
ונקבל:
- אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע
) של הפונקציה
.
- כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור
מתקיים כי
(זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
- לכן
נקבעת על ידי ערכיה בקטע
, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
- לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).
הערות
- שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
- מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
- נקבל פונקציה שאינה שייכת ל
, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
- בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.
הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה
DFT - Discrete Fourier transform
- תהי סדרת נקודות
, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות
המוגדרת ע"י:
- שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של
.
- התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של
.
משמעות ההתמרה
- תהי פונקציה f. נדגום ממנה
נקודות בתדר
, כלומר נתון לנו:
- נסמן נקודות אלה ב
- אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:
- כיוון שהתדר של
הוא
נובע כי הגלים הללו הם בתדרים
- שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.
- נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.
- נביט בפונקצית הגל
.
- נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
- נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
- לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:
- זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:
- נבחן את הקבוצה
.
- עבור
:
- אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית
עבור
- שימו לב ש
ולכן
.
- כמו כן, שימו לב ש
- לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:
- כלומר גילינו כי
קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
- לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים
- לבסוף, נשים לב כי:
- כלומר
התמרת פורייה הבדידה ההפוכה
- מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים
לסדרת הדגימות
.
- ולכן:
מסקנות לגבי גלים ממשיים
- פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?
- ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:
- (השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
- ולכן נקבל:
- כלומר פירוק הפונקציה לגלים
נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים
.
- כאשר המקדם של
שווה למקדם של
.
- שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.
- לדוגמא:
- נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
- אם נפרק את f לגלים
נקבל
- אם נפרק את f לגלים
נקבל
- במצב זה, אם דגמנו בתדר
נקבל את התדרים
שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).
- עבור n ספציפי מתקיים כי:
- מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי
וגם
הם ממשיים.
- כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.
- הערה: אם N זוגי, אז הגל
נותר בודד.
- לדוגמא עבור
נקבל במקום הגלים
את
- נשים לב כי במקרה זה
הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.