(←ב) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(8 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]] | ||
=המבחן של פרופ' זלצמן= | =המבחן של פרופ' זלצמן= | ||
==שאלה 1== | ==שאלה 1== | ||
− | תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה | + | תהי סדרה <math>a_n</math> , ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | + | על־מנת להוכיח כי <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> . | |
− | נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל | + | נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\varepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו. |
− | לכן, עבור <math>\ | + | לכן, עבור <math>\frac1n</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac1n</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac2n</math> (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2n</math> מ־<math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> |
− | נבחר איברים כאלה | + | |
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
שורה 15: | שורה 15: | ||
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)</math> |
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: | נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: | ||
− | <math>\ | + | <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1</math> |
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. | ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. | ||
− | קל לראות | + | קל לראות כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}</math> |
− | קל לראות | + | קל לראות כי <math>e^\frac{1}{\log(n)}\to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}</math> |
− | בערך מוחלט זה קטן | + | בערך מוחלט זה קטן מ־<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור |
+ | <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''. | ||
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
− | ציטוט משפטים | + | ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה |
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
− | זהה וסווג נקודות | + | זהה וסווג נקודות אי־רציפות: |
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>(x^2-1)sin(\ | + | <math>(x^2-1)\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math> |
− | נקודות | + | נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0,1</math> . ב־<math>0^+</math> , <math>\frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty</math> . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־<math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''. |
− | בנקודה 1 אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת | + | בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־<math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־<math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות סליקה. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>f(x)= | + | <math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math> |
− | נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה | + | נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־<math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו־<math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>tan(\frac{1}{log(x^2)})</math> | + | <math>\tan\left(\frac{1}{\log(x^2)}\right)</math> |
− | + | ב־<math>0</math> , הלוגריתם שואף ל־<math>-\infty</math> ולכן <math>\frac{1}{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות '''סליקה'''. | |
− | + | ב־<math>\pm1</math> הלוגריתם שואף ל־<math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac{1}{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. | |
− | במקומות בהם <math>\frac{1}{log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> | + | במקומות בהם <math>\frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math> |
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
− | האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים | + | האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים? |
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>e^{-| | + | <math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math> |
− | הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>| | + | הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>log(2+cos(x))</math> בכל הממשיים. | + | <math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים. |
− | <math>2+cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו | + | <math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math> . בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>cos( | + | <math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math> |
− | ניקח שתי סדרות ששואפות | + | ניקח שתי סדרות ששואפות ל־<math>0</math> , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math> |
==שאלה 6== | ==שאלה 6== | ||
שורה 83: | שורה 84: | ||
==שאלה 7== | ==שאלה 7== | ||
− | תהי f גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> | + | תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> |
===א=== | ===א=== | ||
− | הוכח שאם קיים הגבול <math>\ | + | הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> . |
− | לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\ | + | לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש־ <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל. |
− | נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\ | + | נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\ | + | מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math> |
− | כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^ | + | כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac1x\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־ <math>0</math> , נוכיח שהיא גם גזירה ב־<math>0</math> . |
+ | :<math>f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0</math> | ||
+ | לכן ערך הנגזרת ב־<math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב־<math>x_0=0</math>? | ||
+ | |||
+ | הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־<math>2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . לכן גבולה ב־<math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו. | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 8== | ||
+ | תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־<math>(-1,1)</math> . הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת־קטע סגור של <math>(-1,1)</math> . | ||
+ | |||
+ | ===הפרכה=== | ||
+ | למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה | ||
+ | :<math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math> | ||
+ | היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac2x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> . נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to-\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> . |
גרסה אחרונה מ־11:59, 29 באוגוסט 2018
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
תהי סדרה , ותהי
קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך:
סגורה
הוכחה
על־מנת להוכיח כי סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם
היא נקודת הצטברות של
אזי היא גם גבול חלקי של
.
נניח נקודת הצטברות של
, לכן לכל
קיים גבול חלקי הקרוב ל־
עד כדי
, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־
עד כדי
. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־
עד כדי
(המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין
ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק
מ־
ולכן היא ודאי מתכנסת ל־
כפי שרצינו.
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות כי מונוטונית באזור
(נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן
והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־
ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.
ב
קל לראות כי ולכן הטור מתבדר.
ג
בערך מוחלט זה קטן מ־ . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור
שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 3
ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה
שאלה 4
זהה וסווג נקודות אי־רציפות:
א
נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר . ב־
,
. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול.
ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־
גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות
הנה ממין שני.
בנקודה אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־
כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־
וזו נקודת אי־רציפות סליקה.
ב
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־ . אזי עבור
מתקיים
ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור
מתקיים
ולכן
הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא
מצד אחד ו־
מהצד השני). באופן דומה לכל
טבעי מתקיים ש
הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
ג
ב־ , הלוגריתם שואף ל־
ולכן
ולכן הגבול כולו הוא
וזו נקודת אי־רציפות סליקה.
ב־ הלוגריתם שואף ל־
ולכן מצד אחד
שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות ממין שני.
במקומות בהם הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה
שאלה 5
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?
א
בקטע
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע ולכן סה"כ הגבולות הם
כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בכל הממשיים.
רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע
. בקטע הזו
רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ג
בקטע
ניקח שתי סדרות ששואפות ל־ , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת
ועל השניה
, וזה יסתור רציפות במ"ש.
,
שאלה 6
נגזרות
שאלה 7
תהי גזירה בקטע
ותהי נקודה
א
הוכח שאם קיים הגבול אזי מתקיים
.
לפי הגדרה . ברור כי
ומכיון ש־
רציפה אזי גם
. לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.
נגזור את המונה והמכנה לקבל ולכן קיבלנו את מה שרצינו.
ב
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־
, נוכיח שהיא גם גזירה ב־
.
לכן ערך הנגזרת ב־ הוא
. מהו גבול הנגזרת ב־
?
הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־ . לכן גבולה ב־
לא קיים (
ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.
שאלה 8
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־ . הוכח/הפרך:
חסומה על כל תת־קטע סגור של
.
הפרכה
למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה
היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה . נביט בסדרה השואפת לאפס
עליה מקבלים
ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור
.