88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(35 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 16: שורה 16:
\end{pmatrix} </math>
\end{pmatrix} </math>


'''הערה''' : המטריצה <math>[T]^E_F</math> היא המטריצה היחידה המקיימת את הטענה הבאה


לכל וקטור <math>v\in V</math> מתקיים ש <math>[T]^E_F[v]_E=[Tv]_F</math>
לכל וקטור <math>v\in V</math> מתקיים ש <math>[T]^E_F[v]_E=[Tv]_F</math>


'''הערה:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי)
'''הערה''': שימו לב שמטריצת מעבר <math>[I]_B^{B'}</math> היא מקרה פרטי של מטריצה מייצגת. היא מייצגת את העתקת הזהות (ומכאן הסימון) <math>I:V\to V</math>
כאשר <math>B,B'</math> שני בסיסים של המרחב.
 
 
 
 
=== דוגמא ===
דוגמא: <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>.
ויהיו
<math>
E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיסים בהתאמה
 
נגדיר <math>T:V\to W</math> ה"ל בעזרת משפט ההגדרה
<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}
b+c\\
a
\end{array}\right)</math>
.
 
מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>
 
'''פתרון:'''
<math>T(1)=\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)</math>
ולכן
<math>[T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)</math>
 
<math>T(x)=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)</math>
ולכן
<math>[T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)</math>
 
<math>T(x^{2})=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)</math>
ולכן
<math>[T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)</math>
 
ולכן, בסך הכל נקבל
<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
'''הערה:''' שימו לב, כפי שראינו בתרגיל זה,  שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי)
 
=== תרגיל (6.12)===
 
תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
 
'''פתרון.'''
 
בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math>  וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>.
 
עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן
 
<math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math>
 
<math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math>
 
ביחד קיבלנו 4 משוואות:
 
<math>a=-a \Rightarrow a=0</math>
 
<math>-b=-b</math>
 
<math>c=2a+c=c</math>
 
<math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math>
 
לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל.
 
לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.
 
ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים.
 
===  תרגיל ===
יהיו <math>V_1, V_2, V_3</math> מרחבים וקטורים עם בסיסים <math>B_1, B_2, B_3</math>בהתאמה.
יהיו <math>T:V_1\to V_2 S:V_2\to V_3</math>  שתי ה"ל אזי מתקיים
<math>[S\circ T]^{B_1}_{B_3}=[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}</math>
 
'''הוכחה''' מ"ל כי לכל <math>v\in V_1 </math> מתקיים <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =[(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> (כי המטריצה המייצגת היא היחידה המקיימת את התנאי הזה)
 
ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי
 
<math>
[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =
 
[S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}=
[S(T(v))]_{B_3} =
 
[(S\circ T)(v)]_{B_3} </math>
 
==== מסקנה ====
יהי <math>V</math> מ"ו, יהיו <math>B,B'</math> שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר <math>[I]_B^{B'}</math> הפיכה ומתקיים <math>([I]_B^{B'})^{-1} =[I]_{B'}^{B} </math> (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך")
 
הוכחה: ישירות מתרגיל הקודם, <math>[I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'}^{B} =[I]_{B}^{B} =I </math>
 
===תרגיל===
יהי <math>V</math> מ"ו, <math>B,C</math> בסיסים, <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכיחו או הפריכו: <math>([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B</math>.
 
====פתרון====
ממש לא. ראשית, מי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B</math>, ואכן: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B</math>.
 
=== תרגיל ===
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו
<math>E=\{-1,2+x,3+x+x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיסים בהתאמה
 
נגדיר <math>T:V\to W</math>
ה"ל באופן הבא (בעזרת משפט ההגדרה)
<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}
b+c\\
a
\end{array}\right)</math>
.
מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>
 
'''פתרון:'''
<math>T(-1)=\left(\begin{array}{c}
0\\
-1
\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)</math>
ולכן
<math>[T(-1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array}\right)</math>
 
<math>T(2+x)=\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)</math>
ולכן
<math>[T(2+x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
2
\end{array}\right)</math>
 
<math>T(3+x+x^{2})=\left(\begin{array}{c}
2\\
3
\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)+3\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)</math>
ולכן
<math>[T(3+x+x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
3
\end{array}\right)</math>
ולכן, בסופו של דבר,
<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1\\
-1 & 2 & 3
\end{array}\right)</math>
 
==== דרך פתרון נוספת ====
לא תמיד קל להביע וקטור כצ"ל של האחרים (בתרגיל הזה זה פשוט נתון..). הנה עוד דרך, נמצא את המטריצות <math>[I]_F^S,[T]_S^E</math>, כאשר <math>S</math> הוא בסיס סטנדרטי (שימו לב שיש פה שניים) ואז נכפול בניהם, ולפי הערה ממקודם נקבל <math> [I]_F^S \cdot [T]_S^E = [T]_F^E</math>.
 
המטריצה <math>[T]_S^E</math> קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי <math>S</math> זה קל
 
<math>
[T]_S^E =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
</math>
 
כעת בשביל לחשב את  <math>[I]_F^S</math> יש לחשב את ההופכית של 
<math>[I]_S^F =
\begin{pmatrix}
1 & 1  \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
</math>
 
שהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך..)
 
<math>[I]_F^S =
\begin{pmatrix}
1 & -1  \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
 
</math>
 
נכפיל את המטריצות ואכן נקבל
 
<math>
 
[T]_F^E= [I]_F^S [T]_S^E =
\begin{pmatrix}
1 & -1  \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
 
 
=
 
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
</math>
 
=== תרגיל חשוב!===
תהא <math>T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}</math> המקיימת כי
<math>T\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)\right\}</math>
ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה
<math>[T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 5 & 6 & 7\\
0 & 0 & 8 & x\\
0 & 0 & 4 & x
\end{array}\right)</math>
(עבור איזה שהן בסיסים <math>B,C</math>) מצאו את <math>x</math>.
 
*קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של <math>[T^{10}]_{S}^{S}</math> הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא  הבסיס הסטנדרטי).
 
*הוכיחו שקיים בסיס <math>D</math> ל <math>\mathbb{R}^{2\times2}</math> כך המטריצה המייצגת מהצורה
<math>[T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *
\end{array}\right)</math>
 
ויש בנוסף שורת אפסים
 
=== תרגיל חשוב! ===
יהא <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> ושני בסיסים <math>B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\}</math> שני בסיסים של <math>V</math>. בנוסף, נסמן <math>S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}</math>  את הבסיס הסטנדרטי של <math>V</math>.
 
*מצאו את מטריצות המעבר <math>[I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S}</math> ומצאו את <math>[I]_{B}^{C}</math>
 
* נגדיר <math>T:V\to V</math> ע"י הכלל <math>T(p(x))=p(x+1)</math>. מצאו את המטריצה <math>[T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C}</math>.
 
 
 
** הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
וגם<math>
[T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
</math>
**הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש
<math>[\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
וגם
<math>[T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>
 
** מצאו לאילו ערכי <math>a</math> קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש
<math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & a
\end{array}\right)</math>


===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם===
===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם===
הנה אלגוריתם שמכליל את הדוגמא הקודמת.


יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:
יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:
שורה 32: שורה 394:


===אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד===
===אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד===
תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.  
תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.  


#נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את <math>[T]^E_S</math>.  
#נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את <math>[T]^E_S</math>.  
שורה 50: שורה 412:




'''פתרון.'''
====פתרון====
דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות  
דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מ <math>B=\{v_1,v_2,v_3\}</math> לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות  


<math>[T]^B_S =\begin{pmatrix}
<math>[T]^B_S =\begin{pmatrix}
שורה 84: שורה 446:
  </math>
  </math>


כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא.
כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.


כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה <math>(-s,t,s,r))</math> ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה <math>S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}</math>. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב <math>[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)</math>.
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 &1 \\
-2 & 1 & 2 & 0 \\
0 &-1 & 0 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 &1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 &-1 & 0 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 &1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 &0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 &0 & 0 &1
\end{pmatrix}
</math>
ולכן בסיס אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא
<math>S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}</math>. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב <math>[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)</math>.




שורה 188: שורה 576:


<math>T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3</math>
<math>T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3</math>
'''תרגיל. (6.12)'''
תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
'''פתרון.'''
בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math>  וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>.
עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן
<math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math>
<math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math>
ביחד קיבלנו 4 משוואות:
<math>a=-a \Rightarrow a=0</math>
<math>-b=-b</math>
<math>c=2a+c=c</math>
<math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math>
לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל.
לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.
ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים.


===מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה===
===מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה===


'''תרגיל.''' נגדיר יחס על המטריצות הריבועיות: A נמצאת ביחס עם B (או "A מתייחסת ל-B") אם B הינה המטריצה המייצגת של ההעתקה <math>T_Av:=Av</math> ביחס לבסיס כלשהו. הראו שזהו יחס שקילויות, והוכיחו שפונקציית הtrace מוגדרת היטב על חבורת המנה
טענה: יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>B=\{v_1,\dots v_n\}</math> בסיס. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> הפיכה.
אזי קיים <math>B'</math> בסיס אחר כך ש <math>[I]^{B'}_B= A</math>  


'''הוכחה.'''
(במילים: המטריצה A היא מטריצת מעבר מאיזה שהוא בסיס אחר לבסיס הנתון)


*רפלקסיביות: A מייצגת את ההעתקה של עצמה ביחס לבסיס הסטנדרטי, שכן <math>Ae_i=C_i(A)</math>
הוכחה: נגדיר  <math>B'=\{v'_1,\dots v'_n\}</math> ע"י <math>v'_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i </math>.
לפי הגדרה מתקיים כי <math>[I]^{B'}_B= A</math>. נותר להוכיח כי אכן <math>B'</math> בסיס.
כיוון ש <math>|B'|=n</math> אזי אם נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל אזי הוא בסיס לפי השלישי חינם.


נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל


*סימטריות: נניח B מייצגת את ההעתקה של A. אזי <math>B=[T_A]^E_E</math>. כפי שהראינו קודם <math>B=[T_B]^S_S</math> לכן <math>[T_B]^S_S=[I]^S_E[T_A]^S_S[I]^E_S=[I]^S_EA[I]^E_S</math> ומכאן נובע <math>A=[I]^E_S[T_B]^S_S[I]^S_E</math>
נניח כי <math>\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =0</math>. צ"ל כי  <math>\forall i \; \alpha_i =0</math>




'''טענה:''' כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מקבוצת העמודות שלה, לבסיס הסטנדרטי (קל להוכיח).
<math>0=\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =\sum_{j=1}^n \alpha_j \sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i =\sum_{i=1}^n \big( \sum_{j=1}^n \alpha_j  A_{i,j} \big) \cdot v_i </math>


כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי לכל <math>i</math> מתקיים כי <math> \sum_{j=1}^n \alpha_j  A_{i,j} =0</math>


לכן נמשיך, נסמן בF את קבוצת העמודות של המטריצה <math>[I]^S_E</math> וסה"כ נקבל <math>A=[I]^S_SF[T_B]^S_S[I]^F_S=[T_B]^F_F</math> כפי שרצינו.
אבל זה בדיוק הקורדינאטה ה <math>i</math> - ית של הכפל <math>(\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A </math>


ולכן <math>(\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A =(0,0,\dots ,0) </math> ע"י הכפלה מימין ב <math>A^{-1}</math> נקבל את הדרוש.




*טרנזיטיביות: נניח <math>B=[T_A]^E_E</math> וגם <math>C=[T_B]^F_F</math> לכן ביחד
בניה:


<math>C=[T_B]^F_F=[I]^S_F[T_B]^S_S[I]^F_S=[I]^S_FB[I]^F_S=[I]^S_F[T_A]^E_E[I]^F_S=</math>
על המטריצות הריבועיות <math>\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר יחס שקילות באופן הבא:
<math>A\approx B</math> אם קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>A=P^{-1}BP</math>.


יחס זה נקרא "הצמדה".


'''טענה:''' יהי בסיס E. אזי כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מבסיס כלשהו לבסיס E. ניקח את הצירופים הלינאריים של איברי E עם הסקלרים מעמודות המטריצה ההפיכה. מכיוון שעמודות המטריצה ההפיכה בת"ל, הקואורדינטות בת"ל ולכן גם הצירופים הלינאריים עצמם בת"ל ולכן מהווים בסיס המקיים את הדרוש.
הוכיחו כי זהו אכן יחס שקילות.


'''טענה מרכזית'''


נמשיך, <math>C=[I]^E_G[T_A]^E_E[I]^G_E=[T_A]^G_G</math> כפי שרצינו.
יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>.  תהא <math>T:V\to V</math> ה"ל.
ונשתמש בסימון <math>\approx</math> כיחס ההצמדה על המטריצות <math>\mathbb{F}^{n\times n}</math> שהגדרנו לעיל.


מתקיים כי


על מנת להוכיח שפונקצית הtrace מוגדרת היטב יש להראות שהיא שווה על כל שתי מטריצות שקולות. אבל זה קל כיוון ש
1. <math>[T]_B \approx [T]_{B'}</math> עבור כל 2 בסיסים <math>B,B'</math>
<math>tr(B)=tr([I]^S_EA[I]^E_S)=tr(A[I]^S_E[I]^E_S)=tr(A)</math>
 
==מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת==
'''הגדרה.''' יהי V מ"ו ויהי U תת מרחב שלו. יהי B בסיס לV. אזי '''מרחב הקואורדינטות''' של U לפי B הינו <math>[U]_B:=\{[u]_B:u\in U\}</math>. כפי שלמדנו העתקת הקואורדינטות הינה איזומורפיזם ולכן בהנתן מרחב קואורדינטות קל למצוא את המרחב המקורי.
 
'''תרגיל.''' תהי A מטריצה ו-f פונקציה המוגדרת על ידי כפל במטריצה f(v)=Av. מצא את הגרעין ואת התמונה של f.
 
'''פתרון.''' קל לראות שהגרעין הינו <math>N(A)</math> והתמונה הינה <math>C(A)</math> (שכן Av הינו צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מv).
 
 
'''מסקנה.''' תהי T העתקה לינארית מV לW, עם E וF בסיסים בהתאמה. אזי מרחב הקואורדינטות של הגרעין הינו <math>[kerT]_E=\{[v]_E:Tv=0\}=\{[v]_E:[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E=0\}=N([T]^E_F)</math>. מרחב הקואורדינטות של התמונה הינו <math>[ImT]_F=\{[Tv]_F:v\in V\}=\{[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E:[v]_E\in\mathbb{F}^n\}=C([T]^E_F)</math>
 
===אלגוריתם למציאת גרעין ותמונה של העתקה לפי המטריצה המייצגת===
# מצא מטריצה מייצגת <math>A=[T]^E_F</math>
# מצא את מרחבי הקואורדינטות של הגרעין והתמונה <math>N(A)=[kerT]_E,C(A)=[ImT]_F</math>
# '''העבר חזרה''' את מרחבי הקואורדינטות לצורה המקורית (ע"י כפל הסקלרים מהקואורדינטות באיברי הבסיס)
 
 
'''תרגיל. (6.14)'''
 
א. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4</math> כך שמתקיים <math>Im(T)=span\{(2,4,5,7),(1,2,1,1)\}</math>
 
דרך נוספת לפתרון: ניתן להגדיר את T לפי משפט ההגדרה באופן הבא:
:<math>T(1,0,0,0)=(2,4,5,7)</math>
:<math>T(0,1,0,0)=(1,2,1,1)</math>
:<math>T(0,0,1,0)=(0,0,0,0)</math>
:<math>T(0,0,0,1)=(0,0,0,0)</math>
 
לאחר מכן קל למצוא את המטריצה המייצגת ולהכפיל אותה בווקטור כללי (כך ששתתקבל הצורה המפורשת של ההעתקה)
 
ב. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3</math> כך ש <math>ker(T)=span\{(1,3,7),(2,5,6)\}</math> וגם <math>Im(T)=span\{(1,2,3)\}</math>
 
 
'''פתרון.'''
 
א. פה אין דרישות רבות לתרגיל, רק דורשים תמונה מסוימת. אם כן, נשלח כל וקטור במרחב לצירוף לינארי של הוקטורים הנתונים, ונדאג לעבור על כל הצירופים האפשריים. <math>T(x,y,z,w)=x(2,4,5,7)+y(1,2,1,1)</math>. קל לראות שהתמונה היא בדיוק כפי שנדרש ע"י הכלה דו כיוונית.
 
ב. נשלים את הוקטורים הנתונים לבסיס ע"י הוקטור <math>(0,0,1)</math>. נסמן <math>w_1=w_2=0</math> ונסמן <math>w_3=(1,2,3)</math>. נמצא את העתקה במפורש לפי האלגוריתם. ברור שהקבוצה הדרושה מוכלת בגרעין, משיקולי מימד היא שווה לו (כי התמונה ממימד אחד לפחות).
 
 
 
'''תרגיל. (6.16)''' תהי <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3</math> העתקה לינארית המוגדרת על ידי <math>T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z)</math>
 
א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T
 
ב. מצא בסיס סדור E ל<math>\mathbb{R}^3</math> כך ש <math>[T]^E_E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}</math>
 
'''פתרון.'''
 
א. נמצא מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי. נראה מה התמונה של איברי הבסיס:
 
<math>T(1,0,0)=(1,0,2)</math>
 
<math>T(0,1,0)=(1,1,0)</math>
 
<math>T(0,0,1)=(0,1,-2)</math>
 
ולכן
 
<math>[T]=[T]^S_S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrix}</math>
 
מעל הבסיס הסטנדרטי, מרחב הקואורדינטות של תת מרחב U הוא U בעצמו. ולכן גרעין ההעתקה הינו <math>N([T])</math> ותמונת ההעתקה הינה <math>C([A])</math>.
 
יוצא ש <math>kerT=span\{(1,-1,1)\}</math> ויוצא <math>ImT=span\{(1,0,2),(1,1,0)\}</math>
 
ב. במקרה שלנו, יצא ש <math>kerT \oplus ImT = \mathbb{R}^3</math>. נגדיר את E להיות בסיס המורכב מאיחוד הבסיסים של הגרעין והתמונה, ונביט במטריצה המייצגת את ההעתקה לפי בסיס זה. מכיוון שהוקטור הראשון הוא בסיס לגרעין, התמונה שלו היא אפס וכך גם הקואורדינטות.
 
כמו כן, נביט בקואורדינטות של כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.
 
 
 
'''תרגיל.'''
יהיו <math>V=\mathbb{Z}_2^3</math> ו<math>W=P(\{1,2,3\})</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>. (זכרו כי החיבור הוקטורי בקבוצת החזקה הינו הפרש סימטרי). תהי העתקה לינארית המוגדרת לפי משפט ההגדרה על ידי
 
<math>T(1,1,0)=\{2,3\}</math>
 
<math>T(0,1,1)=\{1,3\}</math>
 
<math>T(0,0,1)=\{1,2\}</math>
 
מצא את הגרעין ואת התמונה של ההעתקה.
 
'''פתרון.'''
 
שוב אנו נתקלים במרחב יחסית חדש ואנו צריכים למצוא לו בסיס סנדרטי. הבסיס הסטנדרטי למרחב קבוצת החזקה הוא באופן טבעי הנקודונים, שכן כל תת קבוצה הינה הפרש סימטרי של הנקודונים של האיברים שבה. אם כן הבסיס הסטנדרטי הינו <math>S_P=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}</math>. נגדיר בסיס
<math>E=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)\}</math>.


לכן המטריצה המייצגת הינה: <math>[T]^E_{S_P}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}</math>
2.  אם <math>[T]_B \approx A</math> עבור <math>B </math> בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס <math>B'</math>
כך ש <math>[T]_{B'}=A</math>


במילים- המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחידה עד כדי הצמדה.


נמצא את הגרעין. <math>[kerT]_E=N([T]^E_{S_P})=span\{(1,1,1)\}</math>. אלו הקואורדינטות של הבסיס, ולכן הבסיס הוא הצירופים הלינאריים של איברי E עם הקואורדינטות הנ"ל כלומר <math>kerT = span\{(1,1,0)+(0,1,1)+(0,0,1)=(1,0,0)\}</math>. קל מאד לראות שהגרעין '''שונה''' ממרחב הקואורדינטות שלו.
כלומר אם נייצג את <math>T</math> ע"י 2 בסיסים נקבל מטריצות צמודות ומאידך גיסא אם יש מטריצה <math>A</math> הצמודה לאיזה שהוא מטריצה מייצגת של <math>T</math> אז גם המטריצה <math>A</math> מייצגת את <math>T</math>


הוכחה:


נמצא את התמונה. <math>[ImT]_{S_P}=C([T]^E_{S_P})=span\{(0,1,1),(1,0,1)\}</math>.
1. מתקיים בגלל השיוויון <math>[T]^B_B=[I]^{B'}_B[T]^{B'}_{B'}[I]^B_{B'}</math> ומתקיים כי <math>[I]^{B'}_B</math> הופכית של <math>[I]^B_{B'}</math>


2. נתון כי קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>P^{-1}[T]_BP = A</math> מהטענה שהוכחנו לעיל קיים בסיס <math>B'</math> כך ש <math>[I]^{B'}_B= P</math> ואז <math>A=P^{-1}[T]_BP = [I]^B_{B'}[T]_B[I]^{B'}_B=[T]^{B'}_{B'}</math>
כלומר <math>A</math> אכן מייצגת את <math>T</math> לפי הבסיס <math>B'</math>.


אם <math>[v]_{S_P}=(0,1,1)</math> אזי




<math>v=(0\cdot\{1\})\Delta (1\cdot\{2\}) \Delta (1\cdot\{3\})=\{2,3\}</math>
הגדרה:
יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>.  תהא <math>T:V\to V</math> ה"ל.


אזי העקבה של <math>T</math> מוגדרת להיות
<math>trace(T)=trace([T]_B)</math> כאשר <math>B</math> בסיס כלשהוא. (או בקיצור <math>tr([T]_B)</math>)


באופן דומה <math>(1,0,1)</math> תואם ל<math>\{1,3\}</math>
הערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים <math>B,B'</math>  
מתקיים כי <math>trace([T]_{B'})=trace([T]_B)</math>.


למה? לפי הטענה המרכזית קיימת <math>P</math> הפיכה כך ש
<math>[T]_B=P^{-1}[T]_{B'}P</math>
ואז מתקיים <math>tr([T]_B)=tr(P^{-1}[T]_{B'}P)=tr(PP^{-1}[T]_{B'})=tr([T]_{B'})</math>


לסיכום <math>ImT=span\Big\{\{2,3\},\{1,3\}\Big\}=\Big\{\{\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2\}\Big\}</math> וזו התמונה של ההעתקה.
המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות <math>A,B</math> מתקיים כי  <math>tr(AB)=tr(BA)</math>

גרסה אחרונה מ־13:46, 11 באוגוסט 2020

חזרה למערכי התרגול

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] העתקה לינארית, ויהיו [math]\displaystyle{ E,F }[/math] בסיסים ל[math]\displaystyle{ V,W }[/math] בהתאמה. נסמן [math]\displaystyle{ E=\{v_1,...,v_n\} }[/math]. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E. מסמנים


[math]\displaystyle{ [T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix} }[/math]


הערה : המטריצה [math]\displaystyle{ [T]^E_F }[/math] היא המטריצה היחידה המקיימת את הטענה הבאה

לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ [T]^E_F[v]_E=[Tv]_F }[/math]

הערה: שימו לב שמטריצת מעבר [math]\displaystyle{ [I]_B^{B'} }[/math] היא מקרה פרטי של מטריצה מייצגת. היא מייצגת את העתקת הזהות (ומכאן הסימון) [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] שני בסיסים של המרחב.



דוגמא

דוגמא: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math]. ויהיו [math]\displaystyle{ E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\} }[/math] בסיסים בהתאמה

נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל בעזרת משפט ההגדרה [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c} b+c\\ a \end{array}\right) }[/math] .

מצא את [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E} }[/math]


פתרון: [math]\displaystyle{ T(1)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math]


[math]\displaystyle{ T(x)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) }[/math]


[math]\displaystyle{ T(x^{2})=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) }[/math]


ולכן, בסך הכל נקבל [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]

הערה: שימו לב, כפי שראינו בתרגיל זה, שאם ניקח את הוקטורים [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math] ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math] (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי)

תרגיל (6.12)

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 }[/math] העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ [T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

פתרון.

בסיס סדור יכיל שני וקטורים [math]\displaystyle{ v_1=(a,b),v_2=(c,d) }[/math]. לפי הנתונים [math]\displaystyle{ T(a,b)=(a,-b) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ T(c,d)=(c,-d) }[/math].

עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן

[math]\displaystyle{ (a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d) }[/math]

[math]\displaystyle{ (c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d) }[/math]

ביחד קיבלנו 4 משוואות:

[math]\displaystyle{ a=-a \Rightarrow a=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ -b=-b }[/math]

[math]\displaystyle{ c=2a+c=c }[/math]

[math]\displaystyle{ -d = 2b+d \Rightarrow d=-b }[/math]

לכן, עלינו לבחור [math]\displaystyle{ b,c,d }[/math] שיקיימו את המשוואות לעיל וגם יתקיים שהוקטורים [math]\displaystyle{ (a,b),(c,d) }[/math] בת"ל.

לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.

ניקח [math]\displaystyle{ (0,1),(1,-1) }[/math] ואכן תנאי השאלה מתקיימים.

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ V_1, V_2, V_3 }[/math] מרחבים וקטורים עם בסיסים [math]\displaystyle{ B_1, B_2, B_3 }[/math]בהתאמה. יהיו [math]\displaystyle{ T:V_1\to V_2 S:V_2\to V_3 }[/math] שתי ה"ל אזי מתקיים [math]\displaystyle{ [S\circ T]^{B_1}_{B_3}=[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2} }[/math]

הוכחה מ"ל כי לכל [math]\displaystyle{ v\in V_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =[(S\circ T)(v)]_{B_3} }[/math] (כי המטריצה המייצגת היא היחידה המקיימת את התנאי הזה)

ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי

[math]\displaystyle{ [S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} = [S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}= [S(T(v))]_{B_3} = [(S\circ T)(v)]_{B_3} }[/math]

מסקנה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו, יהיו [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר [math]\displaystyle{ [I]_B^{B'} }[/math] הפיכה ומתקיים [math]\displaystyle{ ([I]_B^{B'})^{-1} =[I]_{B'}^{B} }[/math] (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך")

הוכחה: ישירות מתרגיל הקודם, [math]\displaystyle{ [I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'}^{B} =[I]_{B}^{B} =I }[/math]

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו, [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בסיסים, [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] הע"ל. הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ ([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B }[/math].

פתרון

ממש לא. ראשית, מי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: [math]\displaystyle{ [T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B }[/math], ואכן: [math]\displaystyle{ [T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B }[/math].

תרגיל

[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math]. ויהיו [math]\displaystyle{ E=\{-1,2+x,3+x+x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\} }[/math] בסיסים בהתאמה

נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל באופן הבא (בעזרת משפט ההגדרה) [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c} b+c\\ a \end{array}\right) }[/math] . מצא את [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E} }[/math]


פתרון: [math]\displaystyle{ T(-1)=\left(\begin{array}{c} 0\\ -1 \end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(-1)]_{F}=\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right) }[/math]


[math]\displaystyle{ T(2+x)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(2+x)]_{F}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) }[/math]


[math]\displaystyle{ T(3+x+x^{2})=\left(\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+3\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(3+x+x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 3 \end{array}\right) }[/math]

ולכן, בסופו של דבר, [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1\\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right) }[/math]

דרך פתרון נוספת

לא תמיד קל להביע וקטור כצ"ל של האחרים (בתרגיל הזה זה פשוט נתון..). הנה עוד דרך, נמצא את המטריצות [math]\displaystyle{ [I]_F^S,[T]_S^E }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא בסיס סטנדרטי (שימו לב שיש פה שניים) ואז נכפול בניהם, ולפי הערה ממקודם נקבל [math]\displaystyle{ [I]_F^S \cdot [T]_S^E = [T]_F^E }[/math].

המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_S^E }[/math] קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי [math]\displaystyle{ S }[/math] זה קל

[math]\displaystyle{ [T]_S^E = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

כעת בשביל לחשב את [math]\displaystyle{ [I]_F^S }[/math] יש לחשב את ההופכית של [math]\displaystyle{ [I]_S^F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

שהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך..)

[math]\displaystyle{ [I]_F^S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

נכפיל את המטריצות ואכן נקבל

[math]\displaystyle{ [T]_F^E= [I]_F^S [T]_S^E = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

תרגיל חשוב!

תהא [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2} }[/math] המקיימת כי [math]\displaystyle{ T\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right\} }[/math] ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה [math]\displaystyle{ [T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 & 8 & x\\ 0 & 0 & 4 & x \end{array}\right) }[/math] (עבור איזה שהן בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math]) מצאו את [math]\displaystyle{ x }[/math].

  • קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של [math]\displaystyle{ [T^{10}]_{S}^{S} }[/math] הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי).
  • הוכיחו שקיים בסיס [math]\displaystyle{ D }[/math] ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{2\times2} }[/math] כך המטריצה המייצגת מהצורה

[math]\displaystyle{ [T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & * & * & *\\ 0 & * & * & *\\ 0 & * & * & *\\ 0 & * & * & * \end{array}\right) }[/math]

ויש בנוסף שורת אפסים

תרגיל חשוב!

יהא [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] ושני בסיסים [math]\displaystyle{ B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\} }[/math] שני בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math]. בנוסף, נסמן [math]\displaystyle{ S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\} }[/math] את הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ V }[/math].

  • מצאו את מטריצות המעבר [math]\displaystyle{ [I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S} }[/math] ומצאו את [math]\displaystyle{ [I]_{B}^{C} }[/math]
  • נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ע"י הכלל [math]\displaystyle{ T(p(x))=p(x+1) }[/math]. מצאו את המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C} }[/math].


    • הוכיחו/הפריכו: קיימת [math]\displaystyle{ \hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]

וגם[math]\displaystyle{ [T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]

    • הוכיחו/הפריכו: קיימת [math]\displaystyle{ \hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ [\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ [T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) }[/math]

    • מצאו לאילו ערכי [math]\displaystyle{ a }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ \hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ [\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & a \end{array}\right) }[/math]

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם

הנה אלגוריתם שמכליל את הדוגמא הקודמת.

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

  1. מצא את מטריצת המעבר [math]\displaystyle{ [I]^F_S }[/math] (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
  2. הפוך אותה על מנת לקבל את [math]\displaystyle{ [I]^S_F }[/math]
  3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math]
  4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math]
  5. כפול מטריצות על מנת לקבל [math]\displaystyle{ [T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S }[/math]

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס [math]\displaystyle{ E=\{v_1,...,v_n\} }[/math]. רוצים למצוא את [math]\displaystyle{ Tv }[/math] עבור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור כלשהו.

  1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math].
  2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל [math]\displaystyle{ [T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ [T][v]=[Tv] }[/math] מכיוון שכל אלה בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.

דוגמא

תרגיל. יהיו [math]\displaystyle{ V=span\{v_1=(1,0,-1,1),v_2=(-2,1,2,0),v_3=(0,-1,0,1)\} }[/math] ו [math]\displaystyle{ W=\mathbb{R}_3[x] }[/math] מ"ו. תהי העתקה T מV לW המקיימת [math]\displaystyle{ \forall i:Tv_i=w_i }[/math] כאשר

[math]\displaystyle{ w_1=1+x }[/math]

[math]\displaystyle{ w_2=x^3+x^2+x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ w_3=0 }[/math]

מצא את ההעתקה T במפורש.


פתרון

דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מ [math]\displaystyle{ B=\{v_1,v_2,v_3\} }[/math] לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

[math]\displaystyle{ [T]^B_S =\begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[Tv_1]_S & [Tv_2]_S &[Tv_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[w_1]_S & [w_2]_S &[w_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &1 \\ -2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 &0 & 0 &3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix} }[/math] ולכן בסיס אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא [math]\displaystyle{ S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\} }[/math]. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב [math]\displaystyle{ [(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z) }[/math].


כעת נמצא מטריצת מעבר [math]\displaystyle{ [I]^B_{S_V}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]

נהפוכו על מנת לקבל:

[math]\displaystyle{ [I]^{S_V}_B=([I]^B_{S_V})^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]


ביחד אנו מקבלים

[math]\displaystyle{ [T]^{S_V}_S=[T]^{B}_S\cdot [I]^{S_V}_B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]


לכן, [math]\displaystyle{ [T(-x,y,x,z)]_S=[T]^{S_V}_S[(-x,y,x,z)]_{S_V}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\ y+z \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \end{pmatrix} }[/math]


ולכן בסופו של דבר:

[math]\displaystyle{ T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3 }[/math]

מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה

טענה: יהא [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מימד סופי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots v_n\} }[/math] בסיס. תהא [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה. אזי קיים [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס אחר כך ש [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B= A }[/math]

(במילים: המטריצה A היא מטריצת מעבר מאיזה שהוא בסיס אחר לבסיס הנתון)

הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ B'=\{v'_1,\dots v'_n\} }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ v'_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i }[/math]. לפי הגדרה מתקיים כי [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B= A }[/math]. נותר להוכיח כי אכן [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס. כיוון ש [math]\displaystyle{ |B'|=n }[/math] אזי אם נוכיח כי [math]\displaystyle{ B' }[/math] בת"ל אזי הוא בסיס לפי השלישי חינם.

נוכיח כי [math]\displaystyle{ B' }[/math] בת"ל

נניח כי [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =0 }[/math]. צ"ל כי [math]\displaystyle{ \forall i \; \alpha_i =0 }[/math]


[math]\displaystyle{ 0=\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =\sum_{j=1}^n \alpha_j \sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i =\sum_{i=1}^n \big( \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} \big) \cdot v_i }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל נקבל כי לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} =0 }[/math]

אבל זה בדיוק הקורדינאטה ה [math]\displaystyle{ i }[/math] - ית של הכפל [math]\displaystyle{ (\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ (\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A =(0,0,\dots ,0) }[/math] ע"י הכפלה מימין ב [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] נקבל את הדרוש.


בניה:

על המטריצות הריבועיות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר יחס שקילות באופן הבא: [math]\displaystyle{ A\approx B }[/math] אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math].

יחס זה נקרא "הצמדה".

הוכיחו כי זהו אכן יחס שקילות.

טענה מרכזית

יהא [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מימד סופי [math]\displaystyle{ n }[/math]. תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ה"ל. ונשתמש בסימון [math]\displaystyle{ \approx }[/math] כיחס ההצמדה על המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] שהגדרנו לעיל.

מתקיים כי

1. [math]\displaystyle{ [T]_B \approx [T]_{B'} }[/math] עבור כל 2 בסיסים [math]\displaystyle{ B,B' }[/math]

2. אם [math]\displaystyle{ [T]_B \approx A }[/math] עבור [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [T]_{B'}=A }[/math]

במילים- המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה עד כדי הצמדה.

כלומר אם נייצג את [math]\displaystyle{ T }[/math] ע"י 2 בסיסים נקבל מטריצות צמודות ומאידך גיסא אם יש מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הצמודה לאיזה שהוא מטריצה מייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] אז גם המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מייצגת את [math]\displaystyle{ T }[/math]

הוכחה:

1. מתקיים בגלל השיוויון [math]\displaystyle{ [T]^B_B=[I]^{B'}_B[T]^{B'}_{B'}[I]^B_{B'} }[/math] ומתקיים כי [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B }[/math] הופכית של [math]\displaystyle{ [I]^B_{B'} }[/math]

2. נתון כי קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P^{-1}[T]_BP = A }[/math] מהטענה שהוכחנו לעיל קיים בסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B= P }[/math] ואז [math]\displaystyle{ A=P^{-1}[T]_BP = [I]^B_{B'}[T]_B[I]^{B'}_B=[T]^{B'}_{B'} }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ A }[/math] אכן מייצגת את [math]\displaystyle{ T }[/math] לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math].


הגדרה: יהא [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מימד סופי [math]\displaystyle{ n }[/math]. תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ה"ל.

אזי העקבה של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדרת להיות [math]\displaystyle{ trace(T)=trace([T]_B) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס כלשהוא. (או בקיצור [math]\displaystyle{ tr([T]_B) }[/math])

הערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ trace([T]_{B'})=trace([T]_B) }[/math].

למה? לפי הטענה המרכזית קיימת [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כך ש [math]\displaystyle{ [T]_B=P^{-1}[T]_{B'}P }[/math] ואז מתקיים [math]\displaystyle{ tr([T]_B)=tr(P^{-1}[T]_{B'}P)=tr(PP^{-1}[T]_{B'})=tr([T]_{B'}) }[/math]

המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות [math]\displaystyle{ A,B }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/9&oldid=85522"