88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
 
(96 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:


=שיעור ראשון=
=שיעור ראשון=
==שדות==
 
===הגדרה===
==שדות (מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==
קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:
הגדרה: [[שדה]].
#'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
 
#'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>
#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>
#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math>
#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור


===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
 
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0</math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.


====פתרון====
====פתרון====
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.


ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.
יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0\cdot a = 0</math>


לפי תכונה (4) מתקיים ש <math>0+0=0</math>


לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>0</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0=0</math>


לכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a</math>


לכן <math>0\cdot a = (0+0)\cdot a</math>


לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))


לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))


לפי תכונה (5) לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math>


לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math>


לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>
4444
לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>




עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.
עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח.


===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.
===פתרון===
מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.


===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)


====פתרון====
====פתרון====
לכל איבר a בשדה:
יהא a בשדה צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].


כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.


מתכונה (5) <math>a+(-a)=0</math>
===תרגיל 1.3 סעיף ז'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)


====פתרון====
<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>, לכן הם שווים (נגדי יש אחד).


כמו כן, מתכונה (5) <math>(-a)+(-(-a))=0</math>
מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>




נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס <math>a+(-a)=(-a)+(-(-a))</math>
לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>




נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר <math>(a+(-a))+a=((-a)+(-(-a)))+a</math>
לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו.


===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
בד"כ נעשה בהרצאה!
יהא  <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)


לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל <math>a=-(-a)</math> כפי שרצינו.
====פתרון====
נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.
אם <math>a=0</math> סיימנו
אחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל
<math>b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0</math> וסיימנו.


 
===תרגיל 2.3 סעיף א'===
===תרגיל 1.3 סעיף ז'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה.


====פתרון====
====פתרון====
מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.




לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>


===תרגיל===


נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל <math>-a=(-1)\cdot a</math> כפי שרצינו.
הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)


===תרגיל===


===תרגיל 2.3 סעיף א'===
הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה.


====פתרון====
===תרגיל===
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math> ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.


הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.


===תרגיל  2.3 סעיף ג'===
===תרגיל  2.3 סעיף ג'===
יש להוכיח ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math>.
 
עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>


דעו ש<math>\mathbb{Z}_n</math> הינו קבוצה מהצורה <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math> יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.
תרגיל: הוכיחו כי  ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.


====פתרון====
====פתרון====


לפי הנתונים קיימים <math>k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,  
לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,  


<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.
<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.




לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים (שכן k,m mod n שונה מאפס) בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים:
כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה.
 
 
<math>\overline{k}^{-1}\overline{m}^{-1}\cdot 0 = 1</math>
 
 
ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדה.


===תרגיל 2.6===
===תרגיל 2.6===
שורה 115: שורה 131:


====פתרון====
====פתרון====
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. בדומה לתרגיל קודם, אם נכפול בהופכיים שלהם נקבל 1=0 בסתירה.
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!


===תרגיל 3.4===
===תרגיל 3.4===
שורה 141: שורה 157:


*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>
*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>
*<math>\overline{z}z=|z|^2</math>




שורה 146: שורה 165:


===משפט דמואבר===
===משפט דמואבר===
ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math>. משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>
[אפשר לדלג]
 
ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)
 
משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>


===תרגיל 3.8 א'===
===תרגיל 3.8 א'===
שורה 152: שורה 175:


===פתרון===
===פתרון===
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית <math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>. <math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot cis(\theta)</math> מתבצע על ידי 
 
<math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>  
 
ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל


<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>
אצלנו בשאלה


==מערכות משוואות לינאריות==
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה


<math>a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=a_{n+1}</math>
<math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>  


<math>b_1x_1+b_2x_2+...+b_nx_n=b_{n+1}</math>
<math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math>


...
ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>


(סה"כ m משוואות)


ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל


ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמא:
<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>
 
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\  
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
 
 
את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & |5 \\
0 & 1 & -1 & |2 \\
1 & 2 & 1 & |4
\end{pmatrix}</math>
 
ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)
 
===דירוג גאוס ===
איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים מעל לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.
 
הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''.
 
כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.
 
 
===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
פתור את המערכת הבאה  מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.
 
<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>
 
 
====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>
 
נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>
 
נכפול את השורה השנייה ב7
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>
 
נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>
 
ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>
 
===מספר פתרונות===
נביט בצורה המדורגת של המטריצה. אנו רואים שכל משתנה אשר בעמודה שלו יש איבר מוביל תלוי בצורה יחידה במשתנים האחרים, משתנה כזה נקרא '''משתנה מוביל'''. לעומת זאת, משתנה אשר בעמודה שלו אין איבר מוביל יכול לקבל '''כל ערך מהשדה''', משתנה כזה נקרא משתנה חופשי. אם כן, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים. כאשר השדה אינו סופי יש אינסוף פתרונות, וכאשר השדה הוא סופי ניתן לחשב את מספר הפתרונות במדוייק לפי נוסחא זו.
 
===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
a & a^2 & 1 & |2+a \\
a & 3a & 1 & |2-t
\end{pmatrix}</math>
 
 
<math>R_3:R_3-R2</math>
 
<math>R_2:R_2-aR_1</math>
 
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix}</math>
 
 
<math>R_2\leftrightarrow -R_3</math>
 
 
<math>\begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix}</math>
 
 
כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית.
 
 
<math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math>
 
 
<math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math>
 


<math>\begin{pmatrix}
=== תרגיל ===
1 & a & 1 & |1 \\
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix}</math>


במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.
=== תרגיל ===
מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)


פתרון:


נחזור למקרים האחרים:
נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>


*נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:
=== תרגיל ===
חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math>


<math>\begin{pmatrix}
פתרון:
1 & 0 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |t \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>


ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math>


אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>.
===תרגיל (חשוב) ===
**אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
'''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.
**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math>


*נניח a=1:
הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.
<math>\begin{pmatrix}
בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.
1 & 1 & 1 & |1 \\
עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>
0 & -2 & 0 & |1+t \\  
0 & 0 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>


השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.
יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.


*נניח a=3:
הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.
<math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & |1 \\
0 & 0 & 0 & |3+t \\
0 & 0 & -2 & |2
\end{pmatrix}</math>


**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
==== ~מסקנה====
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>
הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>

גרסה אחרונה מ־17:30, 5 ביולי 2021

חזרה למערכי התרגול

שיעור ראשון

שדות (מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)

הגדרה: שדה.


תרגיל 1.3 סעיף ג'

[בד"כ נעשה בהרצאה!]

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכיחו את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

פתרון

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.

יהא [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{F} }[/math]. צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ 0\cdot a = 0 }[/math]


לפי תכונה (4) [ניטרליות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לחיבור] מתקיים ש [math]\displaystyle{ 0+0=0 }[/math]


לכן [math]\displaystyle{ 0\cdot a = (0+0)\cdot a }[/math]


לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש[math]\displaystyle{ 0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a }[/math] (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))


לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר [math]\displaystyle{ 0\cdot a \in\mathbb{F} }[/math] קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל [math]\displaystyle{ 0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a)) }[/math]

4444 לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [math]\displaystyle{ 0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a))) }[/math]


עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0 = 0\cdot a }[/math] בדיוק כפי שרצינו להוכיח.

תרגיל

הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.

פתרון

מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.

תרגיל 1.3 סעיף ו'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכיחו את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a }[/math]. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

פתרון

יהא a בשדה צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ (-a)+a=0 }[/math] [זה הגדרת נגדי].

כיוון החיבור חילופי נקבל כי [math]\displaystyle{ (-a)+a=a+(-a) }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math] לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.

תרגיל 1.3 סעיף ז'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכיחו את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a }[/math]. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

פתרון

[math]\displaystyle{ -a }[/math] זה סימון לנגדי של [math]\displaystyle{ a }[/math]. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- [math]\displaystyle{ (-1)\cdot a }[/math] הוא הנגדי של [math]\displaystyle{ a }[/math], לכן הם שווים (נגדי יש אחד).

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, [math]\displaystyle{ 0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a }[/math]


לפי תכונה (4) קיבלנו [math]\displaystyle{ 0=a+(-1)\cdot a }[/math]


לכן קיבלנו ש- [math]\displaystyle{ (-1)\cdot a }[/math] הוא הנגדי של [math]\displaystyle{ a }[/math] כפי שרצינו.

תרגיל

הוכיחו שבשדה מתקיים כי [math]\displaystyle{ (-1)(-1)=1 }[/math]

תרגיל

בד"כ נעשה בהרצאה!

יהא [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{F} }[/math] שונים מאפס כך ש [math]\displaystyle{ ab=0 }[/math] (באופן שקול: אם [math]\displaystyle{ ab=0 }[/math] אז בהכרח אחד מהם שווה 0)

פתרון

נניח [math]\displaystyle{ ab=0 }[/math]. צ"ל שאחד מהם אפס. אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] סיימנו אחרת [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] ולכן קיים לו הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math]. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל [math]\displaystyle{ b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0 }[/math] וסיימנו.

תרגיל 2.3 סעיף א'

[בד"כ נעשה בהרצאה!]

יש להוכיח שקבוצת הטבעיים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,....\} }[/math] אינה שדה.

פתרון

אין איבר נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \forall n,k\in\mathbb{N}:n+k\gt n }[/math], ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים [math]\displaystyle{ n+0=n }[/math].


תרגיל

הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)

תרגיל

הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.

תרגיל

הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.

תרגיל 2.3 סעיף ג'

[בד"כ נעשה בהרצאה!]

הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\} }[/math].

עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\} }[/math] הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\} }[/math]

תרגיל: הוכיחו כי ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk) ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.

פתרון

לפי הנתונים קיימים [math]\displaystyle{ 0\lt k,m\lt n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ mk=n }[/math]. לפיכך, לפי ההגדרה,

[math]\displaystyle{ \overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0} }[/math].


כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] אינו שדה במקרה זה.

תרגיל 2.6

הסבר מדוע [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] אינו תת שדה של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

פתרון

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת אותן פעולות כמו בשדה. לכן [math]\displaystyle{ (p-1)+1 = p \neq 0 }[/math] ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.

מרוכבים

נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.

תרגיל 3.2

אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=ac+bdi }[/math], האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?

פתרון

לא. ניקח [math]\displaystyle{ (0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0 }[/math] כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!

תרגיל 3.4

הצג את הביטוי הבא בצורה [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] וציין מהם [math]\displaystyle{ Re(z),Im(z),\overline{z},|z| }[/math]. הביטוי הינו: [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]

פתרון

נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה [math]\displaystyle{ \frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} }[/math].


נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1} }[/math] וכעת רשמנו [math]\displaystyle{ (5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}] }[/math]


לפיכך נקבל [math]\displaystyle{ z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i }[/math]


[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i }[/math]

תכונות של מרוכבים

  • [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ \overline{z}z=|z|^2 }[/math]


  • [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]

משפט דמואבר

[אפשר לדלג]

ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה [math]\displaystyle{ z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta) }[/math] כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)

משפט דמואבר אומר ש [math]\displaystyle{ (rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta) }[/math]

תרגיל 3.8 א'

חשב את [math]\displaystyle{ (1+\sqrt{3}i)^{2011} }[/math]

פתרון

דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו [math]\displaystyle{ z=r\cdot cis(\theta) }[/math] מתבצע על ידי [math]\displaystyle{ r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r} }[/math]

אצלנו בשאלה


[math]\displaystyle{ r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2 }[/math]

[math]\displaystyle{ cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{3} }[/math]


ביחד [math]\displaystyle{ z=2cis\frac{\pi}{3} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3} }[/math] מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

[math]\displaystyle{ 2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3} }[/math]

תרגיל

פתרון את המשוואה [math]\displaystyle{ z^5=3+4i }[/math]

תרגיל

מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math] בזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)

פתרון:

נחשוב במרוכבים על האיבר [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] ונכפיל אותו ב [math]\displaystyle{ cis(\theta) }[/math]

תרגיל

חשבו את הסכום [math]\displaystyle{ \cos(1)+\cdots +\cos(n) }[/math]

פתרון:

ניעזר במרוכבים: [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right) }[/math]

תרגיל (חשוב)

לרוב נעשה בהרצאה - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום [math]\displaystyle{ p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5 }[/math] יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.

הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ומשתנה x הוא [math]\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_i }[/math] קבועים מהשדה. בהיתן פולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ואיבר בשדה [math]\displaystyle{ a }[/math] נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה [math]\displaystyle{ p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i }[/math]. עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] אם [math]\displaystyle{ p(a)=0 }[/math]

יהא [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ z\in \mathbb{C} }[/math] שורש של פולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ \bar{z} }[/math] שורש של אותו פולינום.

הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.

~מסקנה

הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math] ניתן לפירוק למכפלה של [math]\displaystyle{ n }[/math] גורמים בדיוק מהצורה [math]\displaystyle{ \left(x-a\right) }[/math]

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/1&oldid=87805"