88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־13:01, 10 בפברואר 2017

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)

דוגמאות

[math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,\ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\ldots }[/math]

משפט

סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{3n} }[/math]

פתרון

נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\le0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\ a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align} }[/math]

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\gt 0 }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ a_1=\alpha,b_1=\beta }[/math] . כעת נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

[math]\displaystyle{ \begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align} }[/math]

הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון

אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולים בהתאמה מאברי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם אי-שליליים.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0 }[/math]

אם כך, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת. כמו כן

[math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ b_2\le b_n\le a_n\le a_2 }[/math]

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

תרגיל.

יהי [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה

[math]\displaystyle{ \begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2} }[/math]

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}\lt 0 }[/math]

(זה נכון כיון ש- [math]\displaystyle{ c^2\lt c\cdot1=c }[/math] לפי הנתון [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] .)

נניח, אם כן, כי [math]\displaystyle{ a_n-a_{n-1}\lt 0 }[/math] ונוכיח כי [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\lt 0 }[/math] . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל [math]\displaystyle{ a_n^2\lt a_{n-1}^2 }[/math] .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}\lt 0 }[/math]

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.

טענה חשובה אך קלה לבדיקה: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} }[/math] . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי [math]\displaystyle{ L }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \lim a_n=L }[/math] . נביט בנוסחת הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2} }[/math]

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right] }[/math]

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

[math]\displaystyle{ \begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align} }[/math]

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- [math]\displaystyle{ a_1=c\lt 1\lt 1+\sqrt{1-c} }[/math] ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו [math]\displaystyle{ L=1-\sqrt{1-c} }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
 ==סדרות מונוטוניות==
-<font size=4 color=#3c498e>
+<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
-'''הגדרה.'''
+סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)
-</font>
-סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)
-'''דוגמאות.'''
+;דוגמאות
-*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...</math>
+*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\ldots</math>
-*<math>0,0.9,0.99,0.999,...</math>
+*<math>0,0.9,0.99,0.999,\ldots</math>
-*<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>
+*<math>1,\frac12,\frac13,\ldots</math>
-'''משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
+;משפט
+סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
-<font size=4 color=#a7adcd>
+<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
-'''תרגיל.'''
-</font>
-הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}</math>
+הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{3n}</math>
+;פתרון
+נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
-'''פתרון.'''
+:<math>\displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\
-נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\leq 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
+a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align}</math>
-::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math>
+לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת.
-::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>
+<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
+יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math> . כעת נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
-לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.
+:<math>\begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align}</math>
+הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.
-<font size=4 color=#a7adcd>
+;פתרון
-'''תרגיל.'''
+אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאברי <math>b_n</math> (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''.
-</font>
-יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
+:<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0</math>
-::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>
-::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math>
-הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.
-'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.
-::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>
 אם כך, מתקיים כי
-::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
+:<math>a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
 ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
-::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
+:<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
 ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
 נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
-::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math>
+:<math>b_2\le b_n\le a_n\le a_2</math>
 ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
+<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
+יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה
-<font size=4 color=#a7adcd>
+:<math>\begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases}</math>
-'''תרגיל.'''
-</font>
-יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה
-:<math>a_1=c</math>
-ונוסחאת הנסיגה
-:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
 הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
+;פתרון
+נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
-'''פתרון.'''
+:<math>a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
-נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות:
-:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>
 נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
+עבור <math>n=1</math> :
-עבור n=1:
+:<math>a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}<0</math>
-:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math>
+(זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot1=c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .)
-(זה נכון כיוון ש <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math>.)
+נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> .
-נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. כיוון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי השיוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math>.
 לפי החישוב לעיל מתקיים:
-::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>
+:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>
 כפי שרצינו.
+על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
-על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על ידי אפס (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
-טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math>. זה נכון כיוון שגבול סדרה נקבע על פי המקום אליה האיברים שואפים באינסוף, ולא על פי מתי היא מתחילה.
+טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
-'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיוון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש <math>\lim a_n = L</math>. נביט בנוסחאת הנסיגה
+'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n=L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה
-::<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+:<math>a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}</math>
-נפעיל גבול על שני הצדדים (כיוון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
+נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
-::<math>\lim a_{n+1}=\lim \frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>
+:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right]</math>
 לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
-::<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math>
+:<math>\begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align}</math>
-::<math>L^2-2L+c=0</math>
-::<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math>
-כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיוון ש <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא ייתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
+כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
-לכן סה"כ, גבול הסדרה הינו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>
+לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>