88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/הופכית: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==נגזרת של פונקציה הופכית== תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה חח"ע ועל (כאשר A,B קבוצות של מספרים מ...") |
|||
| (גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות|חזרה לפונקציות]] | |||
==נגזרת של פונקציה הופכית== | ==נגזרת של פונקציה הופכית== | ||
| שורה 10: | שורה 12: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
::<math>\Big( f^{-1}\Big)'(x_0):=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{x-x_0}</math> | |||
כמו כן, | |||
::<math>\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}=\lim_{x\rightarrow f^{-1}(x_0)}\frac{x-f^{-1}(x_0)}{f(x)-f\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}= | |||
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{f(f^{-1}(x))-f\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}=\Big( f^{-1}\Big)'(x_0) | |||
</math> | |||
גרסה אחרונה מ־15:10, 9 בינואר 2012
נגזרת של פונקציה הופכית
תהי [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math] פונקציה חח"ע ועל (כאשר A,B קבוצות של מספרים ממשיים). אזי הפונקציה ההופכית
- [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\rightarrow A }[/math]
מוגדרת היטב ומתקיים
- [math]\displaystyle{ \Big( f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)} }[/math]
הוכחה
- [math]\displaystyle{ \Big( f^{-1}\Big)'(x_0):=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{x-x_0} }[/math]
כמו כן,
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}=\lim_{x\rightarrow f^{-1}(x_0)}\frac{x-f^{-1}(x_0)}{f(x)-f\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}= \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{f(f^{-1}(x))-f\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}=\Big( f^{-1}\Big)'(x_0) }[/math]