מבחן השורש של קושי: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־15:18, 12 בפברואר 2017

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי. אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\gt 1 }[/math] הטור מתבדר

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 }[/math] לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d\gt 1 }[/math] . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d }[/math]

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n_k]{a_{n_k}}\gt \dfrac{d+1}{2}\gt 1 }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ a_{n_k}\gt \left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty }[/math]

לכן בפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math]

ולכן הטור מתבדר.

כעת, נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d\lt 1 }[/math] .

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\lt \dfrac{1+d}{2}\lt 1 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ a_n\lt \left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n }[/math] הוא טור הנדסי מתכנס

לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.

הטורים [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math] הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
 ==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
-יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי:
+יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:
-::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר
-::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס
+:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר
-::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
+:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
+:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
 ===הוכחה===
+נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
-נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
+:<math>\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
-::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
-*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1</math>.
+לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> .
-*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>
+לכן <math>a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}</math>
-*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>
+לכן <math>\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math>
-*לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0</math>
+לכן בפרט <math>a_n\not\to0</math>
 ולכן הטור מתבדר.
+כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> .
-כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.
+לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math>
-*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math>
+לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math>
-*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math>
+אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס
-*אבל <math>\sum \Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס
+לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
-*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
+הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.
-הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.
+[[קטגוריה:אינפי]]