משפט לייבניץ: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(7 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:


תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס
 
*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math>
*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
*השארית <math>R_k=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\leq a_{k+1}</math>


===הוכחה===
===הוכחה===
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.


יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילון.
יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .


*<math>|S_m-S_n|=|(-1)^ma_m+...+(-1)^{n+1}a_{n+1}|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-...| </math>
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|</math>
 
נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
 
::<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>


נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
לכן
לכן
 
:<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>
::<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>
 
כלומר
כלומר
 
:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
::<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
 
וכן הלאה עד שנקבל
וכן הלאה עד שנקבל
:<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math>


::<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math>
וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).
 
 
וכיוון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון (ללא תלות ב-m).


לפי טיעון דומה, <math>\left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן


לפי טיעון דומה, <math>|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|=|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-...|\leq a_{k+1}</math> ולכן
:<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}</math>


::<math>|R_k|=\lim_{K\rightarrow \infty}|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|\leq a_{k+1}</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>


כפי שרצינו.
[[קטגוריה:אינפי]]

גרסה אחרונה מ־17:51, 9 ביולי 2022

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

  • הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n }[/math] מתכנס
  • השארית [math]\displaystyle{ R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ |R_k|\le |a_{k+1}| }[/math]

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math], צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] .

  • [math]\displaystyle{ \Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg| }[/math]

נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

[math]\displaystyle{ -a_{m-1}\lt a_m-a_{m-1}\lt 0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ a_{m-2}-a_{m-1}\lt a_m-a_{m-1}+a_{m-2}\lt a_{m-2}+0 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ 0\lt a_m-a_{m-1}+a_{m-2}\lt a_{m-2} }[/math]

וכן הלאה עד שנקבל

[math]\displaystyle{ \Big|S_m-S_n\Big|\lt a_{n+1} }[/math]

וכיון ש- [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] (ללא תלות ב- [math]\displaystyle{ m }[/math]).

לפי טיעון דומה, [math]\displaystyle{ \left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1} }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ |R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1} }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]