שדה: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־17:28, 4 בספטמבר 2020

קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות

[math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]

(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)

2. קומוטאטיביות/חילופיות

[math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]

3. אסוציאטיביות

[math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) }[/math]

4. קיום אברים נייטרליים

קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים

[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a }[/math]

בנוסף מתקיים [math]\displaystyle{ 0\ne1 }[/math]

5. קיום אבר נגדי לחיבור-

לכל אבר [math]\displaystyle{ a }[/math] קיים אבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math] .

לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)

6. קיום איבר הופכי לכפל

לכל אבר [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math] קיים אבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math] .

שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b} }[/math] .

7. דיסטריבוטיביות/פילוג

[math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]

שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
+<videoflash>3SAV7M1gJxM</videoflash>
 קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:
-#'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
-#'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
+. '''סגירות'''
-#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>
+:<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>
-#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>
+:(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
-#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
+. '''קומוטאטיביות/חילופיות'''
-#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math>
+:<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>
-#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
+. '''אסוציאטיביות'''
+:<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
+. '''קיום אברים נייטרליים'''
+:קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים
+:<math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a</math>
+:בנוסף מתקיים <math>0\ne1</math>
+. '''קיום אבר נגדי לחיבור-'''
+:לכל אבר <math>a</math> קיים אבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math> .
+:לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
+. '''קיום איבר הופכי לכפל'''
+:לכל אבר <math>a\ne0</math> קיים אבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math> .
+:שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה <math>a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b}</math> .
+. '''דיסטריבוטיביות/פילוג'''
+:<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
+:שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.