הפולינום האופייני: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

[math]\displaystyle{ f_A(x):=|xI-A| }[/math]

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] .

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

כל התנאים הבאים שקולים:

[math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]

לפי ההגדרה:

קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]

מעבר אגפים:

קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]

(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)

קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]

לפי ההגדרה:

קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]

משפט מלינארית 1:

המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

[math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]

לפי הגדרה:

[math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]

משפט

[math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו שורש של הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 ==הגדרה==
-תהי A מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות:
+תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות:
+:<math>f_A(x):=|xI-A|</math>
-::<math>f_A(x):=\Big|xI-A\Big|</math>
+קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> .
-קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.
 ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
-התנאים הבאים שקולים:
+כל התנאים הבאים שקולים:
+*<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math>
-*x ע"ע של המטריצה A
+לפי ההגדרה:
-*קיים v שונה מאפס כך ש Av=xv
+*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math>
-*קיים v שונה מאפס כך ש Av-xv=0
+מעבר אגפים:
-*קיים v שונה מאפס כך ש <math>(A-xI)v=0</math>
+*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>
-*קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית <math>(A-xI)v=0</math>
+(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
-*<math>N(A-xI)\neq 0</math>
+*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
-*<math>\Big|A-xI\Big|=0</math>
+לפי ההגדרה:
+*קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
+משפט מלינארית 1:
+*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
+משפט מלינארית 1:
+*<math>|A-xI|=0</math>
+לפי הגדרה:
 *<math>f_A(x)=0</math>
-אם כך: x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A
+===משפט===
+<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> .