מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־17:40, 16 בפברואר 2017

דוגמא

מצא עבור אלו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים אי-השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x^2-1|+|x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון

1

מצא עבור אלו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיימים אי-השוויונות הבאים

[math]\displaystyle{ x^2+2x+1\le0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)\gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ -3x^2+6x-1\ge0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x^2+1)(x^2-1)x^2\le0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)\gt 0 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ n\in\N }[/math] . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של [math]\displaystyle{ n }[/math] .

[math]\displaystyle{ |x|\le7 }[/math]

[math]\displaystyle{ |2x-1|\lt 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-1)|x-1|\gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x}\gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ |x-1|\gt |x^2-1| }[/math]

[math]\displaystyle{ |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|\gt 2x }[/math]

2

נגדיר שתי פונקציות

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 0\\0&x=0\\-x^2&x\lt 0\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x-1&x\gt 1\\|x|+x&x\le1\end{cases} }[/math]

מצא עבור אלו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיימים אי-השוויונות הבאים:

[math]\displaystyle{ g(x)\le0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x+1)\gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ g\big(f(x)\big)\ge 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)\gt x }[/math]

[math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)|\lt x }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+==דוגמא==
+מצא עבור אלו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא:
+*<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
+'''[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1|פתרון]]'''
 ==1==
-מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים
+מצא עבור אלו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים
+*<math>x^2+2x+1\le0</math>
-*<math>x^2+2x+1\leq 0</math>
+*<math>(1-x)(x+6)>0</math>
-*<math>(1-x)(x+6)> 0</math>
+*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>
-*<math>-3x^2 +6x - 1 \geq 0 </math>
+*<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2\le0</math>
-*<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0</math>
 *<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math>
-כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
+כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .
-*<math>|x|\leq 7</math>
+*<math>|x|\le7</math>
 *<math>|2x-1|<7</math>
+*<math>(x-1)|x-1|>1</math>
+*<math>\frac{|x|}{x}>1</math>
+*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
+*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>
+==2==
+נגדיר שתי פונקציות
+:<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}</math>
+:<math>g(x)=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}</math>
+מצא עבור אלו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
+*<math>g(x)\le0</math>
+*<math>f(x+1)>0</math>
+*<math>g\big(f(x)\big)\ge 0</math>
+*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math>
+*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math>