מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 12: שורה 12:




::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
::<math>arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>






'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>
'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>


==תרגילים==
==תרגילים==
שורה 43: שורה 42:
==מספרים מרוכבים==
==מספרים מרוכבים==


נביט באוסף האיברים מהצורה
ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית [[אלגברה לינארית - ארז שיינר#שדה המרוכבים|בקישור הבא]].
 
::<math>a+b\cdot i</math>
 
 
כאשר <math>a,b\in\mathbb{R}</math> והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה '''מספרים מרוכבים'''.
 
 
נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:




::<math>(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i</math>


 
'''תרגיל''' חשבו את <math>z\cdot \overline{z}</math>
::<math>(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i</math>
 
 
 
שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>
 
 
 
בנוסף לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> נגדיר את '''הצמוד המרוכב''':
 
::<math>\overline{z}=a-bi</math>
 
 
 
'''תרגיל''' חשב את <math>z\cdot \overline{z}</math>


'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math>
'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math>
שורה 80: שורה 55:




'''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>.
'''תרגיל''' הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>.


'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
שורה 90: שורה 65:




'''תרגיל''' חשב את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>
'''תרגיל''' חשבו את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>




שורה 109: שורה 84:




'''תרגיל''': הוכח כי <math>|z|\geq |Re(z)|</math>
'''תרגיל''': הוכיחו כי <math>|z|\geq |Re(z)|</math>
 


'''תרגיל''': הוכח את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>


'''תרגיל''': הוכיחו את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>


==המישור המרוכב==
==המישור המרוכב==
שורה 130: שורה 104:
::<math>r=|z|</math>
::<math>r=|z|</math>


 
::אם <math>a>0</math> אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math>
::<math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math>
::אם <math>a<0</math>אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi</math>
::אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\varphi=\frac{\pi}{2}</math>
::אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\varphi=-\frac{\pi}{2}</math>





גרסה אחרונה מ־12:04, 11 באוגוסט 2022

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


[math]\displaystyle{ arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math]


[math]\displaystyle{ arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi] }[/math]


[math]\displaystyle{ arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math]


תרגיל: הוכח כי [math]\displaystyle{ sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2} }[/math]

תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

  • [math]\displaystyle{ |cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ sin(x^2+1)\lt 0 }[/math]


  • [math]\displaystyle{ sin(ax)\gt 0 }[/math]


  • [math]\displaystyle{ arcsin(|x-1|)\gt \frac{\pi}{4} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ sin(2x) \lt 2sin(x) }[/math]


  • [math]\displaystyle{ \sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 \lt 0 }[/math]


מספרים מרוכבים

ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית בקישור הבא.


תרגיל חשבו את [math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z} }[/math]

פתרון [math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z} = a^2+b^2 }[/math]


הערה: נסמן [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]


תרגיל הוכיחו שלכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] קיים מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z^{-1} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ z\cdot z^{-1} = 1 }[/math].

פתרון: [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]


הערה: באופן כללי נסמן [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{1}{z} }[/math]



תרגיל חשבו את הביטוי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]



הגדרה: עבור מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math]

החלק הממשי [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math]
החלק המדומה [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]


לדוגמא:


[math]\displaystyle{ Im(a-bi) = -b }[/math]


תרגיל: הוכיחו כי [math]\displaystyle{ |z|\geq |Re(z)| }[/math]


תרגיל: הוכיחו את אי-שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| }[/math]

המישור המרוכב

Complex plane.png


כל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] מתאים לנקודה [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] במישור המרוכב.

ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.


מתקיים:


[math]\displaystyle{ r=|z| }[/math]
אם [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big) }[/math]
אם [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math]אזי [math]\displaystyle{ \varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi }[/math]
אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2} }[/math]
אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \varphi=-\frac{\pi}{2} }[/math]


[math]\displaystyle{ z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi) }[/math]


הצורה [math]\displaystyle{ rcis(\varphi) }[/math] נקראת הצורה הפולארית של המספר המרוכב, ואילו [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] היא הצורה הקרטזית.