אלגברה לינארית - ארז שיינר

אלגברה לינארית 1 (קורס 88-112) הוא קורס היסוד הראשון באלגברה לינארית לתלמידי שנה א' במתמטיקה ובמדעי המחשב באוניברסיטת בר-אילן, ועוסק בשדות, מערכות משוואות ליניאריות, מרחבים וקטוריים והעתקות לינאריות. הדף, שחיבר ד"ר ארז שיינר, מכיל תקציר הרצאות מלא לפי פרקים, סרטוני הרצאה, מערכי תרגול ומבחנים עם פתרונות.

חומר עזר

• סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
• מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1
• אינדקס שאלות המבחנים לפי נושא - כל השאלות מכל המבחנים והבחנים, מתויגות לפי פרקי הקורס

סרטוני ותקציר הרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

• שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יחד עם שתי פעולות [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b,a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]
2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c }[/math]
4. נייטרליים: קיימים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a }[/math]
5. נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] קיים נגדי [math]\displaystyle{ -a\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0_{\mathbb{F}} }[/math]
6. הופכיים: לכל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} }[/math] קיים הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1}\in \mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}} }[/math]
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]

• יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}} }[/math]

הוכחה. המספרים בסוגריים הם מספרי התכונות בהגדרת השדה. לפי (4) מתקיים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}} }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}\overset{(4)}{=}a\cdot\left(0_{\mathbb{F}}+0_{\mathbb{F}}\right)\overset{(7)}{=}a\cdot 0_{\mathbb{F}}+a\cdot 0_{\mathbb{F}} }[/math]

לפי (1) [math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math], ולכן לפי (5) קיים לו איבר נגדי [math]\displaystyle{ -\left(a\cdot 0_{\mathbb{F}}\right) }[/math]. נחבר אותו לשני האגפים:

[math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}+\left(-\left(a\cdot 0_{\mathbb{F}}\right)\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(a\cdot 0_{\mathbb{F}}+a\cdot 0_{\mathbb{F}}\right)+\left(-\left(a\cdot 0_{\mathbb{F}}\right)\right) }[/math]

באגף שמאל מתקבל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}} }[/math] לפי (5). באגף ימין נשתמש בקיבוץ (3) ואז שוב ב-(5):

[math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\overset{(3)}{=}a\cdot 0_{\mathbb{F}}+\left(a\cdot 0_{\mathbb{F}}+\left(-\left(a\cdot 0_{\mathbb{F}}\right)\right)\right)\overset{(5)}{=}a\cdot 0_{\mathbb{F}}+0_{\mathbb{F}} }[/math]

ולבסוף לפי (4) (יחד עם החילוף (2)) [math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}+0_{\mathbb{F}}=a\cdot 0_{\mathbb{F}} }[/math], כלומר

[math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}} }[/math]

שימו לב: זו אינה אחת מתכונות השדה, אלא מסקנה שנובעת מהן, ולכן צריך להוכיח אותה. לפי החילוף מתקיים גם [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\cdot a=0_{\mathbb{F}} }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:06:34

• בשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] לאפס אין איבר הופכי, כלומר לא קיים [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\cdot x=1_{\mathbb{F}} }[/math] (אין שדה שבו מותר לחלק באפס)

הוכחה. נב"ש שקיים [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\cdot x=1_{\mathbb{F}} }[/math]. מצד שני, לפי הטענה הקודמת (והחילוף), [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\cdot x=x\cdot 0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}=1_{\mathbb{F}} }[/math], בסתירה לתכונה (4) שלפיה בשדה [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}} }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:17:07

• יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]

הוכחה. אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אז [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] לפי הטענה [math]\displaystyle{ a\cdot 0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}} }[/math] (יחד עם החילוף).

בכיוון השני, נניח ש [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] וש [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math], ונראה ש [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math], לפי (6) קיים לו הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math]. נכפול בו את שני אגפי השוויון:

[math]\displaystyle{ a^{-1}\cdot(a\cdot b)=a^{-1}\cdot 0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}} }[/math]

מצד שני, לפי קיבוץ (3), חילוף (2), הופכיים (6) ונייטרליים (4):

[math]\displaystyle{ a^{-1}\cdot(a\cdot b)=(a^{-1}\cdot a)\cdot b=1_{\mathbb{F}}\cdot b=b }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math].

מכפלה של שני איברים שונים מאפס שתוצאתה אפס נקראת מכפלה של מחלקי אפס. הטענה אומרת שבשדה אין מחלקי אפס. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:43:52

• תכונות נוספות של שדות
  • [math]\displaystyle{ (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a+b=a+c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b = a\cdot c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]

הוכחה. (של התכונה האחרונה) נניח ש [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b=a\cdot c }[/math]. לפי (6) קיים [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math], ונכפול בו את שני האגפים:

[math]\displaystyle{ a^{-1}\cdot(a\cdot b)=a^{-1}\cdot(a\cdot c) }[/math]

לפי קיבוץ (3):

[math]\displaystyle{ (a^{-1}\cdot a)\cdot b=(a^{-1}\cdot a)\cdot c }[/math]

לפי חילוף (2) והופכיים (6) [math]\displaystyle{ a^{-1}\cdot a=1_{\mathbb{F}} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot b=1_{\mathbb{F}}\cdot c }[/math], ולפי (4) [math]\displaystyle{ b=c }[/math].

דוגמה: ניקח את המספרים הממשיים ונחליף בין פעולת החיבור לפעולת הכפל: נגדיר "חיבור" חדש [math]\displaystyle{ a\oplus b=a\cdot b }[/math] ו"כפל" חדש [math]\displaystyle{ a\odot b=a+b }[/math] (כך למשל [math]\displaystyle{ 1\odot 1=2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 3\oplus 5=15 }[/math]). האם [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] עם הפעולות [math]\displaystyle{ \oplus,\odot }[/math] הוא שדה?

לא. חוק הפילוג (7) אינו מתקיים. נשווה את [math]\displaystyle{ 1\odot(1\oplus 1) }[/math] ל-[math]\displaystyle{ (1\odot 1)\oplus(1\odot 1) }[/math]:

[math]\displaystyle{ 1\odot(1\oplus 1)=1\odot(1\cdot 1)=1\odot 1=1+1=2 }[/math]

[math]\displaystyle{ (1\odot 1)\oplus(1\odot 1)=2\oplus 2=2\cdot 2=4 }[/math]

מאחר ש [math]\displaystyle{ 2\neq 4 }[/math], חוק הפילוג נכשל, ולכן זה אינו שדה.

אפשר לראות זאת גם דרך האיברים הנייטרליים: הנייטרלי ל"חיבור" החדש הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 1\oplus a=1\cdot a=a }[/math]), ולאיבר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אין נגדי ביחס ל-[math]\displaystyle{ \oplus }[/math], כי לא קיים [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0\oplus x=0\cdot x=1 }[/math]. ▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 53:32

דוגמה: אילו מקבוצות המספרים המוכרות, עם החיבור והכפל הרגילים, הן שדות: הטבעיים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\} }[/math], השלמים [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots\} }[/math], הרציונאליים [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\mid p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0\right\} }[/math] והממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]?

• [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] אינו שדה: אין בו נגדיים (תכונה 5). למשל לא קיים [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{N} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 1+x=0 }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] אינו שדה: יש בו נגדיים, אבל אין בו הופכיים (תכונה 6). למשל לא קיים [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{Z} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 2\cdot x=1 }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] הם שדות: לכל איבר יש נגדי, לכל איבר שונה מאפס יש הופכי, ושאר התכונות מתקיימות. (זו אינה הוכחה מלאה, כי לא הגדרנו כאן במדויק את קבוצות המספרים הללו.)

▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:18:34

שדות סופיים

📄 דף נושא: שדות סופיים - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

• חוג השאריות [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{0,1,2,\ldots,n-1\} }[/math]: החיבור והכפל מוגדרים כחיבור וכפל רגילים, ואחריהם לוקחים את שארית החלוקה ב-[math]\displaystyle{ n }[/math] (חשבון מודולו [math]\displaystyle{ n }[/math]).
  • למשל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2=\{0,1\} }[/math] ובו [math]\displaystyle{ 1+1=0 }[/math] (כמו כפתור מעלית: לחיצה שנייה מבטלת את הראשונה).

דוגמה: חשבו ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5=\{0,1,2,3,4\} }[/math] את [math]\displaystyle{ 2+3 }[/math], [math]\displaystyle{ 2\cdot 4 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 4\cdot 4 }[/math]. מהו [math]\displaystyle{ 4^{-1} }[/math]?

• [math]\displaystyle{ 2+3=0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ 5 }[/math] מתחלק ב-[math]\displaystyle{ 5 }[/math] בלי שארית.
• [math]\displaystyle{ 2\cdot 4=3 }[/math], כי [math]\displaystyle{ 8=5+3 }[/math].
• [math]\displaystyle{ 4\cdot 4=1 }[/math], כי [math]\displaystyle{ 16=3\cdot 5+1 }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ 4^{-1}=4 }[/math]: האיבר [math]\displaystyle{ 4 }[/math] הוא ההופכי של עצמו. זה לא מפתיע: [math]\displaystyle{ 4+1=0 }[/math], כלומר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math] האיבר [math]\displaystyle{ 4 }[/math] הוא בעצם [math]\displaystyle{ -1 }[/math], ו-[math]\displaystyle{ (-1)\cdot(-1)=1 }[/math]. ▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:39:28

• עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי, [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] הוא שדה אם ורק אם [math]\displaystyle{ n }[/math] מספר ראשוני

הוכחה. נוכיח כאן רק כיוון אחד: אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אינו ראשוני אז [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] אינו שדה. (את הכיוון השני, שפחות קשור לקורס, רואים בדרך כלל בקורסים מתקדמים יותר.)

אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אינו ראשוני, אפשר לכתוב [math]\displaystyle{ n=k\cdot m }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 1\leq k,m\leq n-1 }[/math]. אז [math]\displaystyle{ k,m }[/math] הם איברים של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] השונים מאפס, ובכל זאת ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ k\cdot m=0 }[/math]

כי שארית החלוקה של [math]\displaystyle{ n }[/math] ב-[math]\displaystyle{ n }[/math] היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ k,m }[/math] הם מחלקי אפס.

אבל בשדה אין מחלקי אפס: אילו [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] היה שדה, אז מאחר ש [math]\displaystyle{ k\neq 0 }[/math] היה קיים [math]\displaystyle{ k^{-1} }[/math], וכפל של שני אגפי [math]\displaystyle{ k\cdot m=0 }[/math] ב-[math]\displaystyle{ k^{-1} }[/math] היה נותן [math]\displaystyle{ m=k^{-1}\cdot 0=0 }[/math], בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ m\neq 0 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:42:09

דוגמה: האם ל-[math]\displaystyle{ 8 }[/math] יש הופכי ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12} }[/math]?

נכפול את [math]\displaystyle{ 8 }[/math] בכל איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12} }[/math] השונים מאפס (החישוב מודולו [math]\displaystyle{ 12 }[/math]):

[math]\displaystyle{ 1\cdot 8=8,\quad 2\cdot 8=4,\quad 3\cdot 8=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 4\cdot 8=8,\quad 5\cdot 8=4,\quad 6\cdot 8=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 7\cdot 8=8,\quad 8\cdot 8=4,\quad 9\cdot 8=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 10\cdot 8=8,\quad 11\cdot 8=4 }[/math]

התוצאה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אינה מתקבלת אף פעם (וגם [math]\displaystyle{ 0\cdot 8=0 }[/math]), ולכן ל-[math]\displaystyle{ 8 }[/math] אין הופכי, ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12} }[/math] אינו שדה, כצפוי כי [math]\displaystyle{ 12 }[/math] אינו ראשוני. שימו לב ש [math]\displaystyle{ 3\cdot 8=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 8 }[/math] הוא מחלק אפס, וכפי שראינו בהוכחה לעיל, למחלק אפס אין הופכי. ▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:49:08

שדה המרוכבים

📄 דף נושא: מספרים מרוכבים - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

הגדרת המספרים המרוכבים

• [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] עם פעולות אלה הוא שדה. האפס שלו הוא [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{C}}=(0,0) }[/math] והיחידה שלו היא [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{C}}=(1,0) }[/math]

הוכחה. רוב התכונות טכניות: מציבים זוגות כלליים ובודקים, תוך שימוש בכך ש-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] הוא שדה. נראה את העיקר:

• סגירות, חילוף וקיבוץ של החיבור נובעים מיד מהתכונות המתאימות ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], כי החיבור מתבצע בכל קואורדינטה בנפרד.
• נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ (0,0)+(a,b)=(a,b) }[/math]. נגדיים: [math]\displaystyle{ (a,b)+(-a,-b)=(0,0) }[/math].
• נייטרלי לכפל: [math]\displaystyle{ (1,0)\cdot(a,b)=(1\cdot a-0\cdot b,\ 1\cdot b+0\cdot a)=(a,b) }[/math], וכמובן [math]\displaystyle{ (1,0)\neq(0,0) }[/math].
• סגירות וחילוף של הכפל: התוצאה היא זוג של ממשיים, והנוסחה אינה משתנה כשמחליפים את [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (c,d) }[/math]. קיבוץ הכפל ופילוג: בדיקה ישירה (ארוכה אך פשוטה) לפי הנוסחאות.
• הופכיים: זו התכונה המאתגרת. לכל [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]; ראו בהמשך, בתכונות של המספרים המרוכבים, את הנוסחה ואת הוכחתה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 1:59:10

• נסמן
  • [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]
• נובע כי [math]\displaystyle{ a+b\cdot i =(a,b) }[/math]

הוכחה. לפי הסימונים ולפי הגדרת הפעולות:

[math]\displaystyle{ a+b\cdot i=(a,0)+(b,0)\cdot(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(a,0)+(b\cdot 0-0\cdot 1,\ b\cdot 1+0\cdot 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(a,0)+(0,b)=(a,b) }[/math]

לכן מעתה אפשר לכתוב כל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] בצורה [math]\displaystyle{ a+bi }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:16:04

• הסימון [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math] אינו יוצר סתירה: על ציר ה-x הפעולות של [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] מתנהגות בדיוק כמו הפעולות של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (a,0)+(c,0)=(a+c,0) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (a,0)\cdot(c,0)=(ac,0) }[/math]. לכן ציר ה-x הוא הציר הממשי, ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} }[/math]

הוכחה. לפי הגדרת הפעולות:

[math]\displaystyle{ (a,0)+(c,0)=(a+c,0+0)=(a+c,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ (a,0)\cdot(c,0)=(ac-0\cdot 0,\ a\cdot 0+0\cdot c)=(ac,0) }[/math]

למשל, הסכנה הייתה שהמכפלה [math]\displaystyle{ 2\cdot 3 }[/math] תיתן תוצאות שונות ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] וב-[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], אבל [math]\displaystyle{ 2\cdot 3=(2,0)\cdot(3,0)=(6,0)=6 }[/math], בדיוק כמו ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:09:59

• [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]

הוכחה. לפי הגדרת הכפל:

[math]\displaystyle{ i^2=i\cdot i=(0,1)\cdot(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(0\cdot 0-1\cdot 1,\ 0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)=-1 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ i }[/math] אינו מוגדר כ"שורש של [math]\displaystyle{ -1 }[/math]": הוא הנקודה [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] במישור, ומחשבים ומקבלים ש [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:13:34

דוגמה: חשבו את [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di) }[/math].

דרך ראשונה (לפי ההגדרה):

[math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=(a,b)\cdot(c,d) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(ac-bd,ad+bc)=(ac-bd)+(ad+bc)i }[/math]

דרך שנייה (פתיחת סוגריים לפי חוק הפילוג, שמותרת כי [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] שדה, ושימוש ב-[math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]):

[math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ =(ac-bd)+(ad+bc)i }[/math]

שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה. לכן אין צורך לשנן את נוסחת הכפל: מספיק לפתוח סוגריים ולזכור ש [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]. ▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:18:43

• הגדרות עבור [math]\displaystyle{ z=a+b\cdot i }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \overline{z}=a-b\cdot i }[/math]
  • [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math]
  • [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]

• תכונות
  • [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math]

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ z=a+bi\neq 0 }[/math]. נכפול אותו בצמוד שלו:

[math]\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ =a^2+b^2=|z|^2 }[/math]

זהו מספר ממשי. מתקיים [math]\displaystyle{ a^2+b^2=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=b=0 }[/math], כלומר רק כאשר [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]. מאחר ש [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math], המספר הממשי [math]\displaystyle{ |z|^2 }[/math] שונה מאפס ומותר לחלק בו:

[math]\displaystyle{ z\cdot\frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{|z|^2}{|z|^2}=1 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]. בפרט לכל מספר מרוכב שונה מאפס יש הופכי, וזו התכונה שהייתה חסרה כדי ש-[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] יהיה שדה. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:25:33

• • [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2\cdot Re(z) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math]

• יהי פולינום [math]\displaystyle{ p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots+a_nz^n }[/math] בעל מקדמים ממשיים [math]\displaystyle{ a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{R} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ z_1\in\mathbb{C} }[/math] מאפס את הפולינום, כלומר [math]\displaystyle{ p(z_1)=0 }[/math], אזי גם [math]\displaystyle{ \overline{z_1} }[/math] מאפס אותו: [math]\displaystyle{ p\left(\overline{z_1}\right)=0 }[/math]

הוכחה. נשתמש בשתי התכונות האחרונות: הצמוד של סכום הוא סכום הצמודים, והצמוד של מכפלה הוא מכפלת הצמודים. בפרט (מכפלה של [math]\displaystyle{ k }[/math] גורמים) [math]\displaystyle{ \left(\overline{z_1}\right)^k=\overline{z_1^k} }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ p\left(\overline{z_1}\right)=a_0+a_1\overline{z_1}+\ldots+a_n\left(\overline{z_1}\right)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ =a_0+a_1\overline{z_1}+\ldots+a_n\overline{z_1^n} }[/math]

כיוון שהמקדמים ממשיים, כל אחד מהם שווה לצמוד של עצמו: [math]\displaystyle{ a_k=\overline{a_k} }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ p\left(\overline{z_1}\right)=\overline{a_0}+\overline{a_1}\cdot\overline{z_1}+\ldots+\overline{a_n}\cdot\overline{z_1^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\overline{a_0+a_1z_1+\ldots+a_nz_1^n}=\overline{p(z_1)}=\overline{0}=0 }[/math]

שימו לב שההנחה שהמקדמים ממשיים הכרחית: למשל לפולינום [math]\displaystyle{ p(z)=z-i }[/math] המספר [math]\displaystyle{ i }[/math] הוא שורש, אבל [math]\displaystyle{ p(-i)=-2i\neq 0 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:47:49

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

• [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta) }[/math]
• [math]\displaystyle{ cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) }[/math]

• [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
• עבור הזוית נחלק למקרים:
  • אם [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b>0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b<0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{2} }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a<0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]

• [math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]

הוכחה. נפתח סוגריים ונשתמש ב-[math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ r_1cis(\theta_1)\cdot r_2cis(\theta_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ =r_1r_2\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)\left(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =r_1r_2\left(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad+\,i\,r_1r_2\left(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\right) }[/math]

לפי הנוסחאות לקוסינוס ולסינוס של סכום זוויות:

[math]\displaystyle{ =r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]

כלומר בכפל מרוכבים המרחקים מראשית הצירים מוכפלים והזוויות מתחברות. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:34:48

• [math]\displaystyle{ (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta) }[/math]

הוכחה. זו מסקנה מנוסחת הכפל (משפט דה-מואבר): כשכופלים את [math]\displaystyle{ r\,cis(\theta) }[/math] בעצמו [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים, המרחקים מוכפלים, [math]\displaystyle{ r\cdot r\cdots r=r^n }[/math], והזוויות מתחברות, [math]\displaystyle{ \theta+\theta+\ldots+\theta=n\theta }[/math]. באופן פורמלי, באינדוקציה על [math]\displaystyle{ n }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] אין מה להוכיח, ואם [math]\displaystyle{ (r\,cis(\theta))^n=r^n cis(n\theta) }[/math] אז לפי נוסחת הכפל

[math]\displaystyle{ (r\,cis(\theta))^{n+1}=r^n cis(n\theta)\cdot r\,cis(\theta)=r^{n+1}cis((n+1)\theta) }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:39:03

• עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי, ומספר מרוכב [math]\displaystyle{ a+b\cdot i\neq 0 }[/math] קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה [math]\displaystyle{ z^n=a+b\cdot i }[/math]
• הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
  • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r cis(\theta) }[/math]
  • הפתרונות הם [math]\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,...,n-1 }[/math]

הוכחה. המספר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו פתרון (כי [math]\displaystyle{ 0^n=0\neq r\,cis(\theta) }[/math]), ולכן נחפש פתרונות בצורה קוטבית [math]\displaystyle{ z=t\,cis(\alpha) }[/math] עם [math]\displaystyle{ t>0 }[/math]. לפי דה-מואבר המשוואה [math]\displaystyle{ z^n=r\,cis(\theta) }[/math] הופכת ל

[math]\displaystyle{ t^n cis(n\alpha)=r\,cis(\theta) }[/math]

שני מספרים מרוכבים שונים מאפס שווים אם ורק אם המרחקים שלהם מראשית הצירים שווים, והזוויות שלהם שוות עד כדי מספר שלם של סיבובים. לכן

[math]\displaystyle{ t^n=r,\qquad n\alpha=\theta+2\pi k }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{Z} }[/math] כלשהו. מאחר ש [math]\displaystyle{ t>0 }[/math] ממשי, נקבל [math]\displaystyle{ t=\sqrt[n]{r} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \alpha=\frac{\theta+2\pi k}{n} }[/math]. להפך, כל מספר כזה הוא אכן פתרון: העלאה בחזקת [math]\displaystyle{ n }[/math] נותנת מרחק [math]\displaystyle{ r }[/math] וזווית [math]\displaystyle{ \theta+2\pi k }[/math], שהיא אותה זווית כמו [math]\displaystyle{ \theta }[/math].

נותר לספור כמה פתרונות שונים יש. הזווית היא

[math]\displaystyle{ \frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}\cdot 2\pi }[/math]

כל הגדלה של [math]\displaystyle{ k }[/math] ב-[math]\displaystyle{ 1 }[/math] מסובבת ב-[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] של סיבוב מלא, ולסיבוב מלא חוזרים לראשונה כאשר [math]\displaystyle{ k=n }[/math]. באופן כללי, הגדלה של [math]\displaystyle{ k }[/math] ב-[math]\displaystyle{ n }[/math] מוסיפה לזווית סיבוב שלם ואינה משנה את המספר, ולכן כל הפתרונות מתקבלים כבר מ-[math]\displaystyle{ k=0,1,\ldots,n-1 }[/math]. אלה [math]\displaystyle{ n }[/math] פתרונות שונים זה מזה: עבור [math]\displaystyle{ 0\leq k<l\leq n-1 }[/math] הזוויות נבדלות ב-[math]\displaystyle{ \frac{l-k}{n}\cdot 2\pi }[/math], שהוא בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] (לא כולל), ולכן אינו כפולה שלמה של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. סך הכל יש בדיוק [math]\displaystyle{ n }[/math] פתרונות. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:57:17

דוגמה: הסבירו בעזרת הצורה הקוטבית מדוע מכפלה של שני מספרים שליליים היא חיובית.

מספר ממשי שלילי [math]\displaystyle{ -s }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ s>0 }[/math]) נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי, ולכן הזווית שלו היא [math]\displaystyle{ \pi }[/math]: [math]\displaystyle{ -s=s\,cis(\pi) }[/math]. לפי נוסחת הכפל, עבור [math]\displaystyle{ s,t>0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ (-s)\cdot(-t)=s\,cis(\pi)\cdot t\,cis(\pi)=st\,cis(2\pi)=st\,cis(0)=st>0 }[/math]

כלומר הזווית של מכפלת שני שליליים היא [math]\displaystyle{ \pi+\pi=2\pi }[/math], סיבוב שלם, שזה כמו זווית [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן המכפלה נמצאת על החלק החיובי של הציר הממשי. ▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:39:52

דוגמה: הזווית של [math]\displaystyle{ -1 }[/math] היא [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. מה יכולה להיות הזווית של מספר [math]\displaystyle{ z }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ z^2=-1 }[/math]?

נכתוב [math]\displaystyle{ z=t\,cis(\alpha) }[/math] עם [math]\displaystyle{ t>0 }[/math]. לפי דה-מואבר [math]\displaystyle{ z^2=t^2cis(2\alpha) }[/math], ואנו רוצים [math]\displaystyle{ t^2cis(2\alpha)=1\cdot cis(\pi) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ t=1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 2\alpha=\pi+2\pi k }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k }[/math]. עד כדי סיבובים שלמים יש שתי אפשרויות:

• [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2} }[/math], ואז [math]\displaystyle{ z=cis\left(\frac{\pi}{2}\right)=i }[/math].
• [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{3\pi}{2} }[/math] (או באופן שקול [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math]), ואז [math]\displaystyle{ z=-i }[/math].

זה מתאים לנוסחת השורשים עם [math]\displaystyle{ n=2 }[/math], [math]\displaystyle{ r=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta=\pi }[/math]. מבחינה גאומטרית ברור מדוע [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]: שני סיבובים של רבע סיבוב הם חצי סיבוב. ▶ הפתרון בהרצאה מ־5.7.26, החל מהדקה 2:41:51

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

• [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} }[/math] קבוצת הn-יות הסדורות.
• [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times m} }[/math] קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

• דוגמאות: [math]\displaystyle{ \left(1,2,\frac{1}{2},0,-3\right)\in\mathbb{Q}^5 }[/math], [math]\displaystyle{ (i,1+i,\pi)\in\mathbb{C}^3 }[/math], [math]\displaystyle{ (0,5,66,2)\in\mathbb{Z}_{67}^4 }[/math], [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&i&1-i\\0&0&1\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{2\times 3} }[/math]
• הערה: מבחינה פורמלית יש הבדל בין [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 1} }[/math], [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{1\times 3} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (1,2,3)\in\mathbb{R}^3 }[/math], אך פעמים רבות נבין מההקשר לאיזה מהשלושה הכוונה.

דוגמה: בתיכון ישר במרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] מוצג רק בצורה פרמטרית. מצאו הצגה אלגברית (כקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות לינארית) לישר

[math]\displaystyle{ (1,2,0)+t(1,-1,1) }[/math]

הנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] נמצאת על הישר אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ t }[/math] עבורו

[math]\displaystyle{ (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,-1,1) }[/math]

כלומר אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ t }[/math] עבורו

[math]\displaystyle{ x=1+t,\quad y=2-t,\quad z=t }[/math]

המשוואה האחרונה קובעת [math]\displaystyle{ t=z }[/math] (ואת [math]\displaystyle{ z }[/math] אפשר לבחור באופן חופשי), ולכן התנאי שקול ל:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=1+z\\y=2-z\end{cases} }[/math]

קיבלנו מערכת של שתי משוואות לינאריות, שכל אחת מהן מייצגת מישור; הישר הוא קבוצת הפתרונות המשותפים, כלומר ישר החיתוך של שני המישורים [math]\displaystyle{ x-z=1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ y+z=2 }[/math].

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 21:37

הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

• משוואה לינארית בנעלמים [math]\displaystyle{ x_1,...,x_n }[/math] מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] היא משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n,b\in\mathbb{F} }[/math]. מערכת משוואות לינארית היא סדרה של משוואות לינאריות מעל אותו שדה, באותם נעלמים.

• מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומטריצת (וקטור) קבועים [math]\displaystyle{ \vec{b}\in\mathbb{F}^{m\times 1} }[/math].
• קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
• [math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} }[/math]

דוגמה: מצאו פתרון אחד (לא את כל הפתרונות) של המערכת בנעלמים [math]\displaystyle{ z_1,z_2,z_3 }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}z_1+iz_2=0\\z_2-z_3=i\end{cases} }[/math]

נבחר את הערך הפשוט ביותר [math]\displaystyle{ z_3=0 }[/math]. מהמשוואה השנייה [math]\displaystyle{ z_2=i }[/math], ומהראשונה [math]\displaystyle{ z_1=-iz_2=-i\cdot i=1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ (1,i,0)\in\mathbb{C}^3 }[/math] הוא פתרון. בדיקה:

[math]\displaystyle{ 1+i\cdot i=1-1=0,\qquad i-0=i }[/math]

אין לפתרון הזה ייצוג גאומטרי שאנחנו יכולים לדמיין, וזה לא משנה דבר: האלגברה עובדת מעל כל שדה.

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 37:32

פעולות דירוג אלמנטריות

📄 דף נושא: דירוג מטריצה ואלימינציית גאוס - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

• שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
  • [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq \alpha\in\mathbb{F} }[/math] (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
  • [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
  • [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)

ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה

• בהינתן מטריצה, אפשר להביט בשתי מערכות משוואות שהיא מייצגת:
  • המערכת ההומוגנית - כל עמודה מייצגת את המקדמים של משתנה אחר, וכל הקבועים שווים לאפס.
  • המערכת האי-הומוגנית - כל העמודות פרט לאחרונה מייצגות מקדמים של משתנים, והעמודה האחרונה היא עמודת הקבועים. כך המערכת עם מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math] ווקטור קבועים [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] היא המערכת האי-הומוגנית שהמטריצה [math]\displaystyle{ (A|\vec{b}) }[/math] מייצגת.
• לדוגמה, עבור [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} }[/math] המערכת ההומוגנית היא [math]\displaystyle{ \begin{cases}x+2y+3z=0\\4x+5y+6z=0\\7x+8y+9z=0\end{cases} }[/math] והמערכת האי-הומוגנית היא [math]\displaystyle{ \begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\7x+8y=9\end{cases} }[/math]

• טענה: תהי [math]\displaystyle{ B }[/math] מטריצה המתקבלת מהמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולת דירוג אחת. אזי כל פתרון של המערכת ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] מייצגת הוא גם פתרון של המערכת ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] מייצגת (הן עבור המערכת ההומוגנית והן עבור האי-הומוגנית).

הוכחה. נוכיח עבור המערכת האי-הומוגנית; עבור ההומוגנית ההוכחה זהה (פשוט כל הקבועים שווים לאפס). נסמן [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times (n+1)} }[/math], כך שהמערכת היא ב-[math]\displaystyle{ n }[/math] נעלמים [math]\displaystyle{ x_1,...,x_n }[/math], והאיבר [math]\displaystyle{ a_{k,n+1} }[/math] הוא הקבוע של המשוואה ה-[math]\displaystyle{ k }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ (c_1,...,c_n) }[/math] פתרון של המערכת ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] מייצגת.

• החלפת שורות [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math]: המשוואות של [math]\displaystyle{ B }[/math] הן בדיוק המשוואות של [math]\displaystyle{ A }[/math], בסדר אחר, ולכן [math]\displaystyle{ (c_1,...,c_n) }[/math] מקיים את כולן.
• כפל שורה בסקלר [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math]: כל המשוואות פרט למשוואה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] לא השתנו. נכפול את שני אגפי השוויון [math]\displaystyle{ a_{i1}c_1+...+a_{in}c_n=a_{i,n+1} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math], ולפי חוקי הפילוג והקיבוץ נקבל [math]\displaystyle{ (\alpha a_{i1})c_1+...+(\alpha a_{in})c_n=\alpha a_{i,n+1} }[/math], שהיא בדיוק המשוואה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ B }[/math] לאחר הצבה.
• הוספת כפולה של שורה אחרת [math]\displaystyle{ R_i+dR_j }[/math] ([math]\displaystyle{ i\neq j }[/math]) - המקרה המעניין: פרט לשורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math], כל השורות של [math]\displaystyle{ B }[/math] זהות לשורות של [math]\displaystyle{ A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (c_1,...,c_n) }[/math] מקיים את כל המשוואות של [math]\displaystyle{ B }[/math], פרט אולי למשוואה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math]. בפרט, מהמשוואות ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] וה-[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ a_{i1}c_1+...+a_{in}c_n=a_{i,n+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{j1}c_1+...+a_{jn}c_n=a_{j,n+1} }[/math]

השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ B }[/math] היא [math]\displaystyle{ (a_{i1}+da_{j1},\ \dots,\ a_{i,n+1}+da_{j,n+1}) }[/math], ולכן המשוואה המתאימה לה היא

[math]\displaystyle{ (a_{i1}+da_{j1})x_1+...+(a_{in}+da_{jn})x_n=a_{i,n+1}+da_{j,n+1} }[/math]

נכפול את המשוואה השנייה לעיל ב-[math]\displaystyle{ d }[/math] ונחבר אותה למשוואה הראשונה:

[math]\displaystyle{ (a_{i1}c_1+...+a_{in}c_n)+d(a_{j1}c_1+...+a_{jn}c_n)=a_{i,n+1}+da_{j,n+1} }[/math]

בעזרת חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג בשדה נסדר את אגף שמאל ונקבל

[math]\displaystyle{ (a_{i1}+da_{j1})c_1+...+(a_{in}+da_{jn})c_n=a_{i,n+1}+da_{j,n+1} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ (c_1,...,c_n) }[/math] מקיים גם את המשוואה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ B }[/math]. (שימו לב שהשתמשנו כאן בתכונות השדה.)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 1:57:27

• טענה: אם הגענו מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] על ידי פעולת דירוג, אפשר לחזור מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולת דירוג.

הוכחה. נראה שלכל פעולת דירוג יש פעולת דירוג הופכית:

• ההופכית של [math]\displaystyle{ R_i+aR_j }[/math] היא [math]\displaystyle{ R_i-aR_j }[/math]: אחרי שתי הפעולות השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] היא [math]\displaystyle{ R_i+aR_j-aR_j=R_i }[/math]. כאן חשובה הדרישה [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] - היא מבטיחה שהשורה ה-[math]\displaystyle{ j }[/math] לא השתנתה בפעולה הראשונה, ולכן אנחנו מחסירים בדיוק את מה שהוספנו. (אילו היה מותר [math]\displaystyle{ i=j }[/math], הפעולה [math]\displaystyle{ R_i+(-1)R_i }[/math] הייתה מאפסת את השורה, ולא הייתה דרך לשחזר אותה.)
• ההופכית של [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math] היא [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math] עצמה.
• ההופכית של [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] היא [math]\displaystyle{ \alpha^{-1}R_i }[/math]. ההופכי [math]\displaystyle{ \alpha^{-1} }[/math] קיים כי מדובר בשדה ו-[math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] (וגם [math]\displaystyle{ \alpha^{-1}\neq 0 }[/math], ולכן זו פעולת דירוג חוקית). כאן חשובה הדרישה [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math]: אסור לכפול שורה באפס.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:06:47

• מסקנה: אם [math]\displaystyle{ B }[/math] מתקבלת מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולות דירוג (אחת או יותר), אז קבוצת הפתרונות של המערכת ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] מייצגת שווה לקבוצת הפתרונות של המערכת ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] מייצגת. לכן מותר לפתור מערכת משוואות על ידי דירוג המטריצה שמייצגת אותה.

הוכחה. נניח תחילה ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] בפעולת דירוג אחת. לפי הטענה הראשונה, כל פתרון של המערכת של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא פתרון של המערכת של [math]\displaystyle{ B }[/math]. לפי הטענה השנייה אפשר לחזור מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] בפעולת דירוג, ולכן לפי הטענה הראשונה (כשהתפקידים של [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] מתחלפים) כל פתרון של המערכת של [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא גם פתרון של המערכת של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן קבוצות הפתרונות שוות.

אם ביצענו כמה פעולות דירוג בזו אחר זו, קבוצת הפתרונות לא משתנה באף צעד, ולכן גם לא בסוף.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:10:17

דוגמה: מצאו את הפתרון הכללי של המערכת (מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math])

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x+y-z=1\\x-y+3z=0\end{cases} }[/math]

נרשום את המטריצה המייצגת ונדרג. המטרה היא לבודד משתנים: מטפלים בעמודה אחרי עמודה, מאפסים את מה שמתחת ומעל למקדם המוביל, ומשתדלים שהמקדם המוביל יהיה 1.

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{rrr|r}1&1&-1&1\\1&-1&3&0\end{array}\right)\overset{R_2-R_1}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&-1&1\\0&-2&4&-1\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{-\frac{1}{2}R_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&-1&1\\0&1&-2&\frac{1}{2}\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_1-R_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|r}1&0&1&\frac{1}{2}\\0&1&-2&\frac{1}{2}\end{array}\right) }[/math]

לפי המסקנה לעיל, למערכת שקיבלנו יש אותה קבוצת פתרונות כמו למערכת המקורית:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=\frac{1}{2}-z\\y=\frac{1}{2}+2z\end{cases} }[/math]

המשתנה [math]\displaystyle{ z }[/math] חופשי (אפשר להציב בו כל ערך), ו-[math]\displaystyle{ x,y }[/math] תלויים בו. נציב [math]\displaystyle{ z=t }[/math] ונקבל את הפתרון הכללי:

[math]\displaystyle{ (x,y,z)=\left(\frac{1}{2}-t,\ \frac{1}{2}+2t,\ t\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)+t(-1,2,1),\quad t\in\mathbb{R} }[/math]

גאומטרית, זהו ישר החיתוך של שני המישורים: הוא עובר דרך הנקודה [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right) }[/math] בכיוון הווקטור [math]\displaystyle{ (-1,2,1) }[/math].

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 1:04:04

דוגמה: כמה פתרונות יש למערכת הבאה? (גאומטרית: כמה נקודות משותפות יש לשלושה ישרים במישור?)

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x+2y=1\\x-y=2\\2x+y=1\end{cases} }[/math]

נשים במטריצה ונדרג:

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{rr|r}1&2&1\\1&-1&2\\2&1&1\end{array}\right)\overset{R_2-R_1,\ R_3-2R_1}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rr|r}1&2&1\\0&-3&1\\0&-3&-1\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_3-R_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rr|r}1&2&1\\0&-3&1\\0&0&-2\end{array}\right) }[/math]

השורה האחרונה מייצגת את המשוואה [math]\displaystyle{ 0\cdot x+0\cdot y=-2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0=-2 }[/math], ללא תלות בערכי המשתנים. לכן אין פתרון למערכת שהתקבלה בדירוג, ולפי המסקנה לעיל גם לא למערכת המקורית: לשלושת הישרים אין נקודה משותפת. (שורה כזו נקראת שורת סתירה - ראו בסעיף "משתנים חופשיים ותלויים".)

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:12:51

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

• איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.

• מטריצה נקראת מדורגת אם:
  • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
  • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.

• מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
  • היא מדורגת.
  • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
  • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.

דוגמה: סמנו את האיברים הפותחים בכל אחת מהמטריצות הבאות, וקבעו אם היא מדורגת ואם היא מדורגת קנונית.

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&-2\\3&0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ C=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&0&2&2\\0&0&0&-1\end{pmatrix} }[/math]

• ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] האיברים הפותחים הם [math]\displaystyle{ a_{11}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{22}=1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ a_{31}=3 }[/math]. המטריצה אינה מדורגת: האיבר הפותח של השורה השלישית נמצא משמאל לאיבר הפותח של השורה השנייה שמעליה.
• ב-[math]\displaystyle{ B }[/math] האיברים הפותחים הם [math]\displaystyle{ b_{11}=1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ b_{23}=1 }[/math], כל אחד מימין לזה שמעליו, ושורת האפסים נמצאת בתחתית. לכן [math]\displaystyle{ B }[/math] מדורגת. היא אינה מדורגת קנונית, כי מעל האיבר הפותח [math]\displaystyle{ b_{23} }[/math] נמצא [math]\displaystyle{ b_{13}=3\neq 0 }[/math].
• ב-[math]\displaystyle{ C }[/math] האיברים הפותחים הם [math]\displaystyle{ c_{12}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_{23}=2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ c_{34}=-1 }[/math], כל אחד מימין לזה שמעליו, ולכן [math]\displaystyle{ C }[/math] מדורגת (העובדה שהעמודה הראשונה כולה אפסים לא מפריעה). היא אינה מדורגת קנונית: יש איברים פותחים ששונים מ-1, ומעליהם יש איברים ששונים מאפס.

שימו לב: האיבר [math]\displaystyle{ c_{13}=2 }[/math] אינו איבר פותח. איבר פותח מוגדר ביחס לשורה שלו (הראשון משמאל ששונה מאפס), לא ביחס לעמודה.

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:19:25

משתנים חופשיים ותלויים

• משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
• כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.

• שורה במטריצה המייצגת מערכת אי-הומוגנית, שכל איבריה אפסים פרט לאיבר האחרון (בעמודת הקבועים) שהוא שונה מאפס, נקראת שורת סתירה. כלומר שורה מהצורה [math]\displaystyle{ (0\ \cdots\ 0\ |\ c) }[/math] עם [math]\displaystyle{ c\neq 0 }[/math].
• טענה: אם במטריצה שמתקבלת בדירוג של המטריצה המייצגת את המערכת (למשל בצורה המדורגת שלה) יש שורת סתירה, אין למערכת פתרון.

הוכחה. שורת סתירה מייצגת את המשוואה

[math]\displaystyle{ 0\cdot x_1+...+0\cdot x_n=c }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ 0=c }[/math], ללא תלות בערכי המשתנים. כיוון ש-[math]\displaystyle{ c\neq 0 }[/math], אף n-יה אינה מקיימת את המשוואה הזו, ולכן למערכת שהתקבלה בדירוג אין פתרון. לפי המסקנה בסעיף "ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה", דירוג אינו משנה את קבוצת הפתרונות, ולכן גם למערכת המקורית אין פתרון.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:16:02

• מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
  • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.

הוכחה. לפי המסקנה בסעיף "ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה", דירוג אינו משנה את קבוצת הפתרונות, ולכן מספיק לספור את הפתרונות של המערכת המדורגת.

• אם יש בה שורת סתירה - אין פתרון (לפי הטענה לעיל).
• אחרת, נמשיך ונדרג לצורה מדורגת קנונית: נכפול כל שורה שאינה שורת אפסים בהופכי של האיבר הפותח שלה, ונאפס את האיברים שמעל כל איבר פותח על ידי הוספת כפולות של השורה שלו לשורות שמעליה. פעולות אלה אינן מזיזות אף איבר פותח: לשורה שאת כפולתה מוסיפים יש אפסים בכל העמודות שמשמאל לאיבר הפותח שלה, והאיבר הפותח של השורה שמעליה נמצא באחת מהעמודות האלה. לכן המשתנים התלויים והחופשיים נשארים אותם משתנים, ולא נוצרת שורת סתירה.
• בצורה המדורגת הקנונית, לכל שורה שאינה שורת אפסים מתאים משתנה תלוי אחד [math]\displaystyle{ x_j }[/math] - זה שבעמודה שלו נמצא האיבר הפותח של השורה (ששווה ל-1). משתנה זה אינו מופיע באף משוואה אחרת (מעליו ומתחתיו בעמודה יש אפסים), ומשתנים תלויים אחרים אינם מופיעים במשוואה שלו. לכן המשוואה של השורה ה-[math]\displaystyle{ r }[/math] היא מהצורה

[math]\displaystyle{ x_j+\sum_k a_{rk}x_k=b_r }[/math]

כאשר הסכום הוא על המשתנים החופשיים בלבד, כלומר [math]\displaystyle{ x_j=b_r-\sum_k a_{rk}x_k }[/math]. שורות האפסים מייצגות את המשוואה [math]\displaystyle{ 0=0 }[/math], ואינן מגבילות דבר.

• מכאן שלכל בחירה של ערכים מהשדה למשתנים החופשיים יש בדיוק פתרון אחד שמתאים לה: ערכי המשתנים התלויים נקבעים ביחידות מהמשוואות לעיל, ואז כל המשוואות מתקיימות. לכן כמות הפתרונות שווה לכמות הבחירות האפשריות של ערכים למשתנים החופשיים: אם יש [math]\displaystyle{ k }[/math] משתנים חופשיים, זו [math]\displaystyle{ |\mathbb{F}|^k }[/math] (ובפרט מעל שדה אינסופי יש אינסוף פתרונות), ואם אין משתנים חופשיים ([math]\displaystyle{ k=0 }[/math]) יש פתרון יחיד.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:27:06

• מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצגת את המערכת.
  • מוודאים שאין שורת סתירה.
  • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
  • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.

דוגמה: האם המטריצה הבאה מדורגת קנונית? מצאו את הפתרון הכללי של המערכת האי-הומוגנית שהיא מייצגת (בנעלמים [math]\displaystyle{ x,y,z,w }[/math], מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]).

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&0&0&2\\0&0&1&0&4\\0&0&0&1&2\end{pmatrix} }[/math]

כן. האיברים הפותחים הם האחדים במקומות [math]\displaystyle{ (1,1),(2,3),(3,4) }[/math]: אין שורות אפסים, האיברים הפותחים מתקדמים ימינה במדרגות, כולם שווים ל-1, ומעל כל אחד מהם יש רק אפסים. האיבר 2 במקום [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] אינו נמצא מעל איבר פותח, ולכן אינו מפריע. (הצורה הקנונית מתמקדת במשתנים התלויים; משתנים חופשיים יכולים להופיע עם כל מקדם.)

המערכת האי-הומוגנית היא

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x+2y=2\\z=4\\w=2\end{cases} }[/math]

המשתנים [math]\displaystyle{ x,z,w }[/math] תלויים, ו-[math]\displaystyle{ y }[/math] חופשי. אין שורת סתירה ויש משתנה חופשי, ולכן יש אינסוף פתרונות. נציב פרמטר במשתנה החופשי, [math]\displaystyle{ y=t }[/math], ונקבל מיד [math]\displaystyle{ x=2-2t }[/math], [math]\displaystyle{ z=4 }[/math], [math]\displaystyle{ w=2 }[/math]. הפתרון הכללי הוא

[math]\displaystyle{ (x,y,z,w)=(2-2t,\ t,\ 4,\ 2) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(2,0,4,2)+t(-2,1,0,0),\quad t\in\mathbb{R} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:35:59

דוגמה: העבירו את המישור [math]\displaystyle{ x+2y-z=3 }[/math] במרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] לצורה פרמטרית.

המטריצה המייצגת היא [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{rrr|r}1&2&-1&3\end{array}\right) }[/math], והיא כבר מדורגת קנונית: יש בה איבר פותח אחד, השווה ל-1. המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] תלוי, ו-[math]\displaystyle{ y,z }[/math] חופשיים. נציב פרמטרים במשתנים החופשיים, [math]\displaystyle{ y=t }[/math] ו-[math]\displaystyle{ z=s }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ x=3-2t+s }[/math]. הפתרון הכללי הוא

[math]\displaystyle{ (x,y,z)=(3-2t+s,\ t,\ s) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(3,0,0)+t(-2,1,0)+s(1,0,1) }[/math]

וזו בדיוק הצורה הפרמטרית של המישור: נקודה ושני וקטורי כיוון. מציאת הפתרון הכללי היא המעבר מהצורה האלגברית לצורה הפרמטרית (הגאומטרית), והיא עובדת באותו אופן בכל מימד ולכל מספר של משוואות.

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:43:34

דוגמה: ובכיוון ההפוך: מצאו את הצורה האלגברית (משוואה) של המישור

[math]\displaystyle{ (3,0,0)+t(-2,1,0)+s(1,0,1) }[/math]

הנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] נמצאת במישור אם ורק אם קיימים [math]\displaystyle{ t,s }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ (x,y,z)=(3,0,0)+t(-2,1,0)+s(1,0,1) }[/math]

זו מערכת משוואות בנעלמים [math]\displaystyle{ t,s }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math] הם קבועים). הערכים של [math]\displaystyle{ t,s }[/math] לא מעניינים אותנו - רק השאלה אם יש פתרון, כלומר אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת. המערכת היא

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=3-2t+s\\y=t\\z=s\end{cases} }[/math]

ולאחר סידור המשתנים לפי הסדר [math]\displaystyle{ t,s }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}2t-s=3-x\\t=y\\s=z\end{cases} }[/math]

נשים במטריצה, נחליף את סדר השורות לנוחות, ונדרג:

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{rr|c}2&-1&3-x\\1&0&y\\0&1&z\end{array}\right)\overset{R_1\leftrightarrow R_2,\ R_2\leftrightarrow R_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rr|c}1&0&y\\0&1&z\\2&-1&3-x\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_3-2R_1}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rr|c}1&0&y\\0&1&z\\0&-1&3-x-2y\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_3+R_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rr|c}1&0&y\\0&1&z\\0&0&3-x-2y+z\end{array}\right) }[/math]

למערכת יש פתרון אם ורק אם השורה האחרונה אינה שורת סתירה, כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ 3-x-2y+z=0 }[/math]. לכן הצורה האלגברית של המישור היא

[math]\displaystyle{ x+2y-z=3 }[/math]

וקיבלנו בחזרה את המישור מהדוגמה הקודמת. גם התהליך הזה עובד באותו אופן בכל מימד.

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 2:50:42

דוגמה: מצאו את הפתרונות של המערכת ההומוגנית שהמטריצה הבאה מייצגת, מעל שדה המרוכבים:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1+i&1&1\\i-2&i&1\end{pmatrix} }[/math]

כדי להפוך את [math]\displaystyle{ 1+i }[/math] ל-1 בלי לחלק במספר מרוכב, נכפול קודם בצמוד שלו (זה חוקי, כי [math]\displaystyle{ 1-i\neq 0 }[/math]) ואז בחצי. כך בעצם חילקנו ב-[math]\displaystyle{ 1+i }[/math] בשני שלבים, כי [math]\displaystyle{ (1+i)(1-i)=2 }[/math].

[math]\displaystyle{ \overset{(1-i)R_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}2&1-i&1-i\\i-2&i&1\end{pmatrix}\overset{\frac{1}{2}R_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&\frac{1-i}{2}&\frac{1-i}{2}\\i-2&i&1\end{pmatrix} }[/math]

כעת נבצע [math]\displaystyle{ R_2-(i-2)R_1 }[/math]. חישוב בצד: [math]\displaystyle{ (i-2)\cdot\frac{1-i}{2}=\frac{3i-1}{2} }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ i-\frac{3i-1}{2}=\frac{1-i}{2},\qquad 1-\frac{3i-1}{2}=\frac{3(1-i)}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_2-(i-2)R_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&\frac{1-i}{2}&\frac{1-i}{2}\\0&\frac{1-i}{2}&\frac{3(1-i)}{2}\end{pmatrix} }[/math]

הגענו לצורה מדורגת. אין שורת סתירה (במערכת הומוגנית אף פעם אין), והמשתנה השלישי חופשי - ולכן יש אינסוף פתרונות. כדי למצוא אותם נמשיך לצורה מדורגת קנונית. נכפול את השורה השנייה ב-[math]\displaystyle{ \frac{2}{1-i}=1+i }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overset{(1+i)R_2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&\frac{1-i}{2}&\frac{1-i}{2}\\0&1&3\end{pmatrix}\overset{R_1-\frac{1-i}{2}R_2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&0&-1+i\\0&1&3\end{pmatrix} }[/math]

(באיבר במקום [math]\displaystyle{ (1,3) }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{1-i}{2}-3\cdot\frac{1-i}{2}=-(1-i)=-1+i }[/math].) המערכת השקולה היא [math]\displaystyle{ z_1=(1-i)z_3 }[/math], [math]\displaystyle{ z_2=-3z_3 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ z_3=t }[/math] ונקבל את הפתרון הכללי

[math]\displaystyle{ (z_1,z_2,z_3)=t(1-i,\ -3,\ 1),\quad t\in\mathbb{C} }[/math]

בדיקה בשורות המקוריות: [math]\displaystyle{ (1+i)(1-i)-3+1=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (i-2)(1-i)-3i+1=(3i-1)-3i+1=0 }[/math].

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 3:18:36

דירוג מטריצה עם פרמטר

• בדירוג מטריצה עם פרמטר נשתדל לא לכפול שורה בביטוי שעשוי להתאפס ולא לחלק בו. לעומת זאת, תמיד מותר להוסיף לשורה כפולה של שורה אחרת בכל ביטוי (הפעולה [math]\displaystyle{ R_i+aR_j }[/math] חוקית גם כאשר [math]\displaystyle{ a=0 }[/math]). כשמגיעים לצורה ש"נראית" מדורגת, מפצלים למקרים לפי הערכים של הפרמטר שבהם האיברים המועמדים להיות פותחים מתאפסים.

דוגמה: מצאו לכל ערך של [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] כמה פתרונות יש למערכת האי-הומוגנית (מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]) שמייצגת המטריצה

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&a&1\\1&a&1&a\\a&1&1&a^2\end{array}\right) }[/math]

גאומטרית, כל שורה היא מישור, וכל ערך של [math]\displaystyle{ a }[/math] משנה את שלושת המישורים. נדרג בעזרת פעולות מהצורה [math]\displaystyle{ R_i+cR_j }[/math] בלבד, שחוקיות לכל ערך של [math]\displaystyle{ a }[/math] (נוח שבעמודה הראשונה יש 1 בשורה העליונה):

[math]\displaystyle{ \overset{R_2-R_1,\ R_3-aR_1}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&a&1\\0&a-1&1-a&a-1\\0&1-a&1-a^2&a^2-a\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_3+R_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&a&1\\0&a-1&1-a&a-1\\0&0&2-a-a^2&a^2-1\end{array}\right) }[/math]

האם המטריצה מדורגת? זה תלוי בשאלה אם [math]\displaystyle{ a-1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 2-a-a^2=-(a-1)(a+2) }[/math] שונים מאפס. אסור "להחליט" שהם איברים פותחים לפני שבודקים זאת, ולכן נפצל למקרים:

• אם [math]\displaystyle{ a\neq 1,-2 }[/math]: שני הביטויים שונים מאפס, ולכן המטריצה מדורגת, אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים - פתרון יחיד (שלושת המישורים נחתכים בנקודה).
• אם [math]\displaystyle{ a=1 }[/math]: מקבלים [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right) }[/math] - מטריצה מדורגת, ללא שורת סתירה, עם שני משתנים חופשיים - אינסוף פתרונות (שלושת המישורים מתלכדים למישור [math]\displaystyle{ x+y+z=1 }[/math]). לספירת הפתרונות אין צורך בדירוג קנוני.
• אם [math]\displaystyle{ a=-2 }[/math]: מקבלים [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&1\\0&-3&3&-3\\0&0&0&3\end{array}\right) }[/math] - יש שורת סתירה, ולכן אין פתרון.

▶ הפתרון בהרצאה מ־7.7.26, החל מהדקה 3:00:40

הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

• משפט: מכל מטריצה אפשר להגיע על ידי פעולות דירוג למטריצה מדורגת קנונית, והמטריצה המדורגת הקנונית שמתקבלת היא יחידה (אינה תלויה בפעולות הדירוג שבחרנו). ההוכחה המלאה בסרטון שלהלן.
  • רעיון הקיום: מאפסים עמודה אחרי עמודה, כפי שעשינו בדוגמאות. רעיון היחידות: שינוי של המקדמים במשוואות של המשתנים התלויים היה משנה את קבוצת הפתרונות, ואילו דירוג אינו משנה אותה.

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

• תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
  • נגדיר את [math]\displaystyle{ A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij} }[/math]
  • נגדיר את [math]\displaystyle{ \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij} }[/math]

דוגמה: חשבו את [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-2&1\\1&-1&3\end{pmatrix} }[/math] ואת [math]\displaystyle{ 2\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&-3\end{pmatrix} }[/math].

בסכום מחברים כל איבר לאיבר שבאותו מקום, ובכפל בסקלר כופלים כל איבר בסקלר:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-2&1\\1&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ 2\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&-6\end{pmatrix} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 14:30

כפל מטריצות

הדגמה נחמדה על המשמעות של כפל מטריצות בקישור הבא

• [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n }[/math]
• [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n }[/math]

דוגמה: למה הכוונה בביטוי [math]\displaystyle{ 2+4+\cdots+16 }[/math]? רשמו במפורש את [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^4 2^k }[/math], את [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^8 2k }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^4 2^k }[/math].

אי אפשר לדעת: הרישום עם שלוש נקודות אינו מדויק. ייתכן שהכוונה לחזקות של 2 (כלומר [math]\displaystyle{ 2+4+8+16 }[/math]), וייתכן שהכוונה לזוגיים (כלומר [math]\displaystyle{ 2+4+6+\cdots+16 }[/math]). סימן הסכימה מבטל את העמימות: מציבים במקום [math]\displaystyle{ k }[/math] את כל השלמים מהגבול התחתון עד העליון, ומסכמים את כל הביטויים שמתקבלים:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^4 2^k=2^1+2^2+2^3+2^4=30 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^8 2k=2\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4+2\cdot 5+2\cdot 6+2\cdot 7+2\cdot 8=72 }[/math]

סימן המכפלה פועל באותו אופן, אלא שכופלים את כל הביטויים:

[math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^4 2^k=2\cdot 4\cdot 8\cdot 16=1024 }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 40:49

• תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k} }[/math]
  • נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math] על ידי
  • [math]\displaystyle{ [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj} }[/math]

דוגמה: חשבו את המכפלה [math]\displaystyle{ AB }[/math] עבור [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&1\end{pmatrix} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix} }[/math].

[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{2\times 3} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B\in\mathbb{F}^{3\times 2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{2\times 2} }[/math]. כל איבר במכפלה הוא שורה של המטריצה השמאלית כפול עמודה של המטריצה הימנית (בדומה למכפלה סקלרית של וקטורים):

[math]\displaystyle{ [AB]_{11}=1\cdot 1+0\cdot 3+(-1)\cdot 5=-4 }[/math]

[math]\displaystyle{ [AB]_{12}=1\cdot 2+0\cdot 4+(-1)\cdot 6=-4 }[/math]

[math]\displaystyle{ [AB]_{21}=0\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 5=11 }[/math]

[math]\displaystyle{ [AB]_{22}=0\cdot 2+2\cdot 4+1\cdot 6=14 }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ AB=\begin{pmatrix}-4&-4\\11&14\end{pmatrix} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 25:03

• הוקטור [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math] ווקטור הקבועים [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=\vec{b} }[/math]

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \vec{x}=(x_1,\dots,x_n)^t }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ a_{ij}=[A]_{ij} }[/math]. לפי הגדרת הכפל, [math]\displaystyle{ A\vec{x}\in\mathbb{F}^{m\times 1} }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq m }[/math]:

[math]\displaystyle{ [A\vec{x}]_i=R_i(A)\cdot\vec{x}=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n }[/math]

וזה בדיוק אגף שמאל של המשוואה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] במערכת. שני וקטורי עמודה שווים אם ורק אם הם שווים בכל רכיב, ולכן [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=b_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] מקיים את כל משוואות המערכת.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 3:03:23

דוגמה: רשמו את המערכת [math]\displaystyle{ \begin{cases}x+y=2\\2x-y=0\\-x+2y=3\end{cases} }[/math] כמשוואה מטריצית. בכיוון ההפוך, מהי מערכת המשוואות המתאימה למשוואה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&-2\\2&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} }[/math]?

מטריצת המקדמים כפול וקטור המשתנים שווה לוקטור הקבועים:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} }[/math]

ואכן, כשמחשבים את המכפלה (כל מקדם נכפל במשתנה שלו, וסוכמים) מקבלים

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x+y\\2x-y\\-x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} }[/math]

וזו בדיוק מערכת המשוואות.

בכיוון ההפוך, יש שלושה משתנים (כמספר העמודות) ושתי משוואות (כמספר השורות). כל שורה של מטריצת המקדמים נכפלת בוקטור המשתנים, ומקבלים

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x-2z=1\\2x+y-z=0\end{cases} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 17:46

שיטות לחישוב כפל מטריצות

• חישוב הכפל לפי עמודות
  • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots + x_nv_n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ C_i(AB)=AC_i(B) }[/math]
• חישוב הכפל לפי שורות
  • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots + x_nv_n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B }[/math]

דוגמה: יהיו [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&x\\b&y\\c&z\end{pmatrix} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix} }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ AB }[/math] בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות.

[math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{3\times 3} }[/math], ולפי [math]\displaystyle{ C_j(AB)=AC_j(B) }[/math] לוקחים את הסקלרים מהעמודה ה[math]\displaystyle{ j }[/math] של המטריצה הימנית, וכופלים בהם את עמודות המטריצה השמאלית:

[math]\displaystyle{ C_1(AB)=1\cdot C_1(A)+0\cdot C_2(A)=C_1(A) }[/math]

[math]\displaystyle{ C_2(AB)=0\cdot C_1(A)+1\cdot C_2(A)=C_2(A) }[/math]

[math]\displaystyle{ C_3(AB)=1\cdot C_1(A)+(-1)\cdot C_2(A)=C_1(A)-C_2(A) }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ AB=\begin{pmatrix}a&x&a-x\\b&y&b-y\\c&z&c-z\end{pmatrix} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 1:05:38

דוגמה: רשמו בעזרת כפל מטריצות את ההצגה הפרמטרית של המישור העובר דרך הנקודה [math]\displaystyle{ v=(1,2,3) }[/math] עם וקטורי הכיוון [math]\displaystyle{ v_1=(0,6,7) }[/math] ו[math]\displaystyle{ v_2=(1,0,2) }[/math].

באופן כללי, אם [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}|&|\\v_1&v_2\\|&|\end{pmatrix} }[/math] היא המטריצה שעמודותיה הן [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math], אז לפי חישוב הכפל לפי עמודות

[math]\displaystyle{ v+\begin{pmatrix}|&|\\v_1&v_2\\|&|\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\s\end{pmatrix}=v+tv_1+sv_2 }[/math]

וזו בדיוק ההצגה הפרמטרית של המישור. במקרה שלנו:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\6&0\\7&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}s\\6t\\7t+2s\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\6\\7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} }[/math]

מה הרווח? ברגע שמייצגים אובייקט (הצגה פרמטרית של מישור, מערכת משוואות) בעזרת אלגברה של מטריצות, כל הכוח של האלגברה עומד לרשותנו.

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 1:14:30

דוגמה: (א) תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{4\times 3} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B\in\mathbb{F}^{3\times 5} }[/math] כך שהעמודה הרביעית של [math]\displaystyle{ B }[/math] היא [math]\displaystyle{ (1,-1,0)^t }[/math]. מהי העמודה הרביעית של [math]\displaystyle{ AB }[/math]? (ב) תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{4\times 4} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B\in\mathbb{F}^{4\times 3} }[/math] כך שהשורה השלישית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ (0,0,0,1) }[/math]. מהי השורה השלישית של [math]\displaystyle{ AB }[/math]?

(א) בחישוב לפי עמודות לוקחים סקלרים מעמודה של המטריצה הימנית, וכופלים אותם בעמודות המטריצה השמאלית:

[math]\displaystyle{ C_4(AB)=A\cdot C_4(B)=1\cdot C_1(A)+(-1)\cdot C_2(A)+0\cdot C_3(A)=C_1(A)-C_2(A) }[/math]

(ב) בחישוב לפי שורות לוקחים סקלרים משורה של המטריצה השמאלית, וכופלים אותם בשורות המטריצה הימנית:

[math]\displaystyle{ R_3(AB)=R_3(A)\cdot B=0\cdot R_1(B)+0\cdot R_2(B)+0\cdot R_3(B)+1\cdot R_4(B)=R_4(B) }[/math]

שימו לב שבשני המקרים לא היינו צריכים לדעת דבר על שאר האיברים של המטריצות.

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 1:59:33

תכונות של אלגברת מטריצות

• [math]\displaystyle{ A(B+C)=AB+AC }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (A+B)C=AC+BC }[/math]
• [math]\displaystyle{ \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\alpha \beta)A=\alpha(\beta A) }[/math]

• כפל מטריצות אינו חילופי: ייתכן ש[math]\displaystyle{ AB\neq BA }[/math] גם כאשר שתי המכפלות מוגדרות.
• ייתכן ש[math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] למרות ש[math]\displaystyle{ A\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ B\neq 0 }[/math]. מטריצות כאלה נקראות מחלקות אפס.

דוגמה: יהיו [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ AB }[/math] ואת [math]\displaystyle{ BA }[/math].

נחשב לפי שורות (הסקלרים נלקחים משורות המטריצה השמאלית וכופלים את שורות הימנית):

[math]\displaystyle{ AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} }[/math]

בדוגמה זו רואים גם מטריצות מחלקות אפס (מכפלה של שתי מטריצות שונות מאפס שיוצאת אפס), וגם שחוק החילוף לא מתקיים: [math]\displaystyle{ AB\neq BA }[/math].

▶ הפתרון בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 57:18

• מטריצת היחידה [math]\displaystyle{ I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases} }[/math]

• נסמן ב[math]\displaystyle{ e_i\in\mathbb{F}^n }[/math] את הוקטור שבמקום ה[math]\displaystyle{ i }[/math] שלו מופיע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ובכל שאר המקומות [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0)\in\mathbb{F}^4 }[/math].
  • השורות של [math]\displaystyle{ I_n }[/math] הן [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_n }[/math], וגם העמודות שלה הן [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_n }[/math] (כוקטורי עמודה).

• לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ I_n\cdot A=A\cdot I_m =A }[/math]

הוכחה. נוכיח ש[math]\displaystyle{ A\cdot I_m=A }[/math] בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות. העמודה ה[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ I_m }[/math] היא [math]\displaystyle{ e_j }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ 1\leq j\leq m }[/math]:

[math]\displaystyle{ C_j(A\cdot I_m)=A\cdot C_j(I_m)=A\cdot e_j }[/math]

[math]\displaystyle{ =0\cdot C_1(A)+\cdots+1\cdot C_j(A)+\cdots+0\cdot C_m(A)=C_j(A) }[/math]

כלומר למטריצות [math]\displaystyle{ A\cdot I_m }[/math] ו[math]\displaystyle{ A }[/math] יש אותו גודל ובדיוק אותן העמודות, ולכן הן שוות.

באופן דומה, בעזרת חישוב הכפל לפי שורות, לכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math]:

[math]\displaystyle{ R_i(I_n\cdot A)=R_i(I_n)\cdot A=e_i\cdot A }[/math]

[math]\displaystyle{ =0\cdot R_1(A)+\cdots+1\cdot R_i(A)+\cdots+0\cdot R_n(A)=R_i(A) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ I_n\cdot A=A }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 2:10:49

• לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
  • [math]\displaystyle{ (AB)C=A(BC) }[/math]

הוכחה. נוכיח: אם אחד הצדדים מוגדר, גם השני מוגדר ושווה לו.

גדלים. נניח ש[math]\displaystyle{ A(BC) }[/math] מוגדר. כיוון ש[math]\displaystyle{ BC }[/math] מוגדר, [math]\displaystyle{ B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ו[math]\displaystyle{ C\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ BC\in\mathbb{F}^{m\times k} }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ A(BC) }[/math] מוגדר, [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{r\times m} }[/math], ואז [math]\displaystyle{ A(BC)\in\mathbb{F}^{r\times k} }[/math]. במקרה זה גם [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{r\times n} }[/math] מוגדר, ו[math]\displaystyle{ (AB)C\in\mathbb{F}^{r\times k} }[/math]. כלומר אם צד אחד מוגדר, גם הצד השני מוגדר ובאותו גודל (הכיוון ההפוך דומה).

איברים. יהיו [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq r }[/math] ו[math]\displaystyle{ 1\leq j\leq k }[/math]. נפתח כל צד בנפרד ונראה שמגיעים לאותו ביטוי בדיוק:

[math]\displaystyle{ [A(BC)]_{ij}=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[BC]_{pj}=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}\left(\sum_{q=1}^n[B]_{pq}[C]_{qj}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{p=1}^m\sum_{q=1}^n[A]_{ip}[B]_{pq}[C]_{qj}=\sum_{q=1}^n\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pq}[C]_{qj} }[/math]

(בשורה השנייה: במעבר הראשון השתמשנו בחוק הפילוג בשדה, ובשני החלפנו את סדר הסכימה בזכות חוקי החילוף והקיבוץ בשדה.) מצד שני:

[math]\displaystyle{ [(AB)C]_{ij}=\sum_{q=1}^n[AB]_{iq}[C]_{qj}=\sum_{q=1}^n\left(\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pq}\right)[C]_{qj} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{q=1}^n\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pq}[C]_{qj} }[/math]

(שוב בעזרת חוק הפילוג.) קיבלנו את אותו הביטוי, ולכן [math]\displaystyle{ A(BC)=(AB)C }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 2:27:59

פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

• פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ \vec{x}_0 }[/math] פתרון פרטי של [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ A\vec{x}_0=\vec{b} }[/math]. צריך להראות שהפתרונות של [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] הם בדיוק הוקטורים מהצורה [math]\displaystyle{ \vec{x}_0+\vec{w} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A\vec{w}=0 }[/math].

אם [math]\displaystyle{ A\vec{w}=0 }[/math], אז לפי חוק הפילוג

[math]\displaystyle{ A(\vec{x}_0+\vec{w})=A\vec{x}_0+A\vec{w}=\vec{b}+0=\vec{b} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ \vec{x}_0+\vec{w} }[/math] פתרון.

להפך, אם [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math] פתרון כלשהו, כלומר [math]\displaystyle{ A\vec{v}=\vec{b} }[/math], אז ההפרש בין שני הפתרונות פותר את המערכת ההומוגנית:

[math]\displaystyle{ A(\vec{v}-\vec{x}_0)=A\vec{v}-A\vec{x}_0=\vec{b}-\vec{b}=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \vec{v}=\vec{x}_0+\vec{w} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \vec{w}=\vec{v}-\vec{x}_0 }[/math], שהוא פתרון של המערכת ההומוגנית.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 3:15:44

דוגמה: יהיו [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] שני פתרונות של המערכת [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math]. האם [math]\displaystyle{ v_1+v_2 }[/math] הוא פתרון של המערכת? מה ניתן לומר על [math]\displaystyle{ v_1-v_2 }[/math]? (גאומטרית: אם [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] נקודות על מישור, האם סכומן או הפרשן נמצאים על המישור?)

נתון [math]\displaystyle{ Av_1=\vec{b} }[/math] ו[math]\displaystyle{ Av_2=\vec{b} }[/math]. נציב את הסכום במערכת ונשתמש בחוק הפילוג:

[math]\displaystyle{ A(v_1+v_2)=Av_1+Av_2=\vec{b}+\vec{b}=2\vec{b} }[/math]

וזה שווה ל[math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \vec{b}=0 }[/math]. כלומר הסכום הוא פתרון אם ורק אם המערכת הומוגנית (גאומטרית: המישור עובר דרך ראשית הצירים).

לעומת זאת, בכל מקרה

[math]\displaystyle{ A(v_1-v_2)=Av_1-Av_2=\vec{b}-\vec{b}=0 }[/math]

כלומר ההפרש הוא פתרון של המערכת ההומוגנית. גאומטרית, זהו וקטור כיוון של המישור: נקודה על המישור המקביל העובר דרך ראשית הצירים.

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 3:07:17

שחלוף

• עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נגדיר את המטריצה המשוחלפת [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A^t]_{ij}=[A]_{ji} }[/math]

• [math]\displaystyle{ R_i(A^t)=C_i^t(A) }[/math]
• [math]\displaystyle{ C_i(A^t)=R_i^t(A) }[/math]

דוגמה: מצאו את המשוחלפת של [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} }[/math].

[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{2\times 3} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{3\times 2} }[/math]. השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] הופכות לעמודות של [math]\displaystyle{ A^t }[/math]:

[math]\displaystyle{ A^t=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 2:49:43

• [math]\displaystyle{ (A^t)^t=A }[/math]
• [math]\displaystyle{ (A+B)^t = A^t+B^t }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\alpha A)^t = \alpha A^t }[/math]
• [math]\displaystyle{ (AB)^t=B^tA^t }[/math]

• מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נקראת:
  • סימטרית אם [math]\displaystyle{ A^t=A }[/math]
  • אנטי-סימטרית אם [math]\displaystyle{ A^t=-A }[/math]
  • משולשית עליונה אם [math]\displaystyle{ [A]_{ij}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i>j }[/math] (כל האיברים מתחת לאלכסון הם אפס)
  • אלכסונית אם [math]\displaystyle{ [A]_{ij}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math]

דוגמה: קבעו לכל אחת מהמטריצות הממשיות הבאות אם היא סימטרית, אנטי-סימטרית, משולשית עליונה או אלכסונית:

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&0\\3&0&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&-2&3\\2&0&0\\-3&0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ C=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix} }[/math]

• [math]\displaystyle{ A }[/math] סימטרית: [math]\displaystyle{ [A]_{ij}=[A]_{ji} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i,j }[/math]. היא אינה משולשית עליונה (למשל [math]\displaystyle{ [A]_{21}=2\neq 0 }[/math]).
• [math]\displaystyle{ B }[/math] אנטי-סימטרית: [math]\displaystyle{ B^t=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-2&0&0\\3&0&0\end{pmatrix}=-B }[/math].
• [math]\displaystyle{ C }[/math] משולשית עליונה (מתחת לאלכסון יש רק אפסים), אבל אינה סימטרית ואינה אלכסונית.
• [math]\displaystyle{ D }[/math] אלכסונית, ולכן היא גם סימטרית וגם משולשית עליונה. באופן כללי, כל מטריצה אלכסונית היא סימטרית ומשולשית עליונה.

▶ הפתרון בהרצאה מ־12.7.26, החל מהדקה 2:53:52

עקבה

• העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
  • עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii} }[/math]

• תכונות העקבה:
  • [math]\displaystyle{ tr(A+B)=tr(A)+tr(B) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ tr(\alpha A)=\alpha tr(A) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]

• דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB-BA=I }[/math]
  • [math]\displaystyle{ tr(AB-BA)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ tr(I)=n\neq 0 }[/math]

תרגול

• תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

• מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות [math]\displaystyle{ B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ CA=I_m }[/math]
• אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ונקרא לה ההופכית של [math]\displaystyle{ A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת [math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math].

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] הפיכה, ויהיו [math]\displaystyle{ B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_n }[/math] ו[math]\displaystyle{ CA=I_m }[/math]. נביט במכפלה [math]\displaystyle{ C(AB) }[/math] ונחשב אותה בשתי דרכים, בעזרת חוק הקיבוץ:

[math]\displaystyle{ C=C\cdot I_n=C(AB)=(CA)B=I_m\cdot B=B }[/math]

כעת, אם [math]\displaystyle{ D }[/math] מטריצה כלשהי המקיימת [math]\displaystyle{ DA=I_m }[/math], אותו חישוב בדיוק (עם [math]\displaystyle{ D }[/math] במקום [math]\displaystyle{ C }[/math]) נותן [math]\displaystyle{ D=B }[/math]; לכן [math]\displaystyle{ B }[/math] היא המטריצה היחידה שכפל בה משמאל נותן [math]\displaystyle{ I }[/math]. באופן דומה, אם [math]\displaystyle{ AD=I_n }[/math] אז

[math]\displaystyle{ D=I_m\cdot D=(CA)D=C(AD)=C\cdot I_n=C=B }[/math]

ולכן זו גם המטריצה היחידה שכפל בה מימין נותן [math]\displaystyle{ I }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A^{-1}=B=C }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 26:12

• תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, אזי למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] יש פתרון יחיד, והוא [math]\displaystyle{ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} }[/math]

הוכחה. יחידות: נניח ש[math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] פתרון, כלומר [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math]. נכפול את שני האגפים ב[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] משמאל (הכפל אינו חילופי, ולכן חשוב מאיזה צד כופלים), ונשתמש בחוק הקיבוץ:

[math]\displaystyle{ \vec{x}=I\vec{x}=(A^{-1}A)\vec{x}=A^{-1}(A\vec{x})=A^{-1}\vec{b} }[/math]

כלומר אם יש פתרון, הוא יחיד ושווה ל[math]\displaystyle{ A^{-1}\vec{b} }[/math].

קיום: החלק הקודם אינו מוכיח שיש פתרון, כי הוא יצא מההנחה שיש פתרון. לכן נציב את [math]\displaystyle{ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} }[/math] במערכת ונבדוק:

[math]\displaystyle{ A(A^{-1}\vec{b})=(AA^{-1})\vec{b}=I\vec{b}=\vec{b} }[/math]

שימו לב שביחידות השתמשנו ב[math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math] ובקיום ב[math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. זו הסיבה שבהגדרת ההפיכות דורשים הפיכות משני הצדדים.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:05

• תהיינה [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל [math]\displaystyle{ AB }[/math] מוגדר, אזי [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]

הוכחה. נראה ש[math]\displaystyle{ B^{-1}A^{-1} }[/math] היא ההופכית של [math]\displaystyle{ AB }[/math], כלומר שהמכפלה שלהן משני הצדדים היא מטריצת היחידה. בזכות חוק הקיבוץ אפשר להזיז את הסוגריים:

[math]\displaystyle{ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I }[/math]

[math]\displaystyle{ (B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה, ומיחידות ההופכית [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]. (כמו בהרכבת פונקציות: כדי לבטל את [math]\displaystyle{ AB }[/math] מבטלים קודם את [math]\displaystyle{ B }[/math] ואחר כך את [math]\displaystyle{ A }[/math].)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 54:39

• תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t }[/math]

הוכחה. נשחלף את שני האגפים של [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math], ונשתמש ב[math]\displaystyle{ (AB)^t=B^tA^t }[/math] וב[math]\displaystyle{ I^t=I }[/math]:

[math]\displaystyle{ (A^{-1})^tA^t=(AA^{-1})^t=I^t=I }[/math]

באופן דומה, שחלוף של [math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math] נותן

[math]\displaystyle{ A^t(A^{-1})^t=(A^{-1}A)^t=I^t=I }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ A^t }[/math] הפיכה, וההופכית שלה היא [math]\displaystyle{ (A^{-1})^t }[/math]. במילים: ההופכית של המשוחלפת היא המשוחלפת של ההופכית.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 1:15:09

• תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A }[/math]
• תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1} }[/math]

מטריצות פעולה

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
• לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נגדיר את מטריצת הפעולה [math]\displaystyle{ f(I_n) }[/math].

דוגמה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] הפונקציה המבצעת את פעולת השורה [math]\displaystyle{ R_1-3R_3 }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ f(I_3) }[/math], וחשבו את [math]\displaystyle{ f(I_3)\cdot\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{pmatrix} }[/math].

מפעילים את פעולת השורה על מטריצת היחידה:

[math]\displaystyle{ f(I_3)=f\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} }[/math]

כעת נחשב את הכפל לפי שורות: השורה הראשונה [math]\displaystyle{ (1,0,-3) }[/math] אומרת "קח את השורה הראשונה פחות 3 פעמים השורה השלישית", והשורות [math]\displaystyle{ (0,1,0),(0,0,1) }[/math] משאירות את השורה השנייה והשלישית כמו שהן:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-3a_3&b_1-3b_3\\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{pmatrix} }[/math]

כלומר הכפל במטריצת הפעולה ביצע את פעולת הדירוג.

▶ הפתרון בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:24:55

• לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(I_m)\cdot A = f(A) }[/math]

הוכחה. השורות של [math]\displaystyle{ I_m }[/math] הן [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_m }[/math], ולפי חישוב הכפל לפי שורות, לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]:

[math]\displaystyle{ e_k\cdot A=0\cdot R_1(A)+\cdots+1\cdot R_k(A)+\cdots+0\cdot R_m(A)=R_k(A) }[/math]

נוכיח עבור הפעולה [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math]. הפעולה משנה רק את השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math], ולכן השורות של [math]\displaystyle{ f(I_m) }[/math] הן [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_m }[/math], פרט לשורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] שהיא [math]\displaystyle{ e_i+\alpha e_j }[/math]. לפי חישוב הכפל לפי שורות, [math]\displaystyle{ R_k(f(I_m)\cdot A)=R_k(f(I_m))\cdot A }[/math], ולכן:

[math]\displaystyle{ R_k(f(I_m)\cdot A)=e_k\cdot A=R_k(A) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\neq i }[/math]

[math]\displaystyle{ R_i(f(I_m)\cdot A)=(e_i+\alpha e_j)A=e_iA+\alpha e_jA=R_i(A)+\alpha R_j(A) }[/math]

כלומר קיבלנו בדיוק את המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לאחר ביצוע פעולת השורה: [math]\displaystyle{ f(I_m)\cdot A=f(A) }[/math].

שאר הפעולות דומות: עבור [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ f(I_m) }[/math] היא [math]\displaystyle{ \alpha e_i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ R_i(f(I_m)A)=\alpha e_iA=\alpha R_i(A) }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math] השורות ה[math]\displaystyle{ i }[/math] וה[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ f(I_m) }[/math] הן [math]\displaystyle{ e_j }[/math] ו[math]\displaystyle{ e_i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ R_i(f(I_m)A)=R_j(A) }[/math] ו[math]\displaystyle{ R_j(f(I_m)A)=R_i(A) }[/math]. בכל המקרים שאר השורות נשארות כמו ב[math]\displaystyle{ A }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:32:42

• מטריצת הפעולה היא הפיכה.

הוכחה. לכל פעולת דירוג אלמנטרית [math]\displaystyle{ f }[/math] יש פעולה הפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math], שגם היא פעולת דירוג אלמנטרית: ההפוכה של [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] היא [math]\displaystyle{ R_i-\alpha R_j }[/math], ההפוכה של [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] היא [math]\displaystyle{ \alpha^{-1}R_i }[/math], וההפוכה של [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math] היא היא עצמה. לפי הטענה הקודמת, כפל במטריצת פעולה משמאל מבצע את הפעולה, ולכן:

[math]\displaystyle{ f(I)\cdot f^{-1}(I)=f\left(f^{-1}(I)\right)=I }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{-1}(I)\cdot f(I)=f^{-1}\left(f(I)\right)=I }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ f(I) }[/math] הפיכה, וההופכית שלה היא מטריצת הפעולה [math]\displaystyle{ f^{-1}(I) }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:43:04

• לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P\cdot A=CF(A) }[/math]

הוכחה. כל מטריצה אפשר לדרג קנונית, כלומר מגיעים מ[math]\displaystyle{ A }[/math] ל[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] על ידי סדרה של פעולות דירוג אלמנטריות [math]\displaystyle{ f_1,\dots,f_k }[/math] (לפי הסדר). נסמן [math]\displaystyle{ E_t=f_t(I_m) }[/math]. כיוון שכפל במטריצת פעולה מבצע את הפעולה (ובזכות חוק הקיבוץ):

[math]\displaystyle{ CF(A)=f_k\left(\cdots f_2\left(f_1(A)\right)\cdots\right)=E_k\cdots E_2E_1A }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ P=E_k\cdots E_2E_1\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math]. כל מטריצת פעולה היא הפיכה, ומכפלה של הפיכות היא הפיכה, ולכן [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה ו[math]\displaystyle{ PA=CF(A) }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:48:25

בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

• מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ B\neq 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ BA=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה
• אם ב[math]\displaystyle{ A }[/math] השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל [math]\displaystyle{ B }[/math] כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב[math]\displaystyle{ AB }[/math] היא שורת אפסים.
  • ב[math]\displaystyle{ BA }[/math] לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.

הוכחה. לפי חישוב הכפל לפי שורות, [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)\cdot B }[/math]. אם [math]\displaystyle{ R_i(A)=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ R_i(AB)=0\cdot B=0 }[/math].

לגבי [math]\displaystyle{ BA }[/math] נראה דוגמה נגדית: ב[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} }[/math] השורה השנייה היא שורת אפסים, אבל עבור [math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ BA=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} }[/math]

ואין בה שורת אפסים.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 1:54:16

• מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.

הוכחה. נב"ש ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ויש בה שורת אפסים. אז [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. לפי הטענה הקודמת, כיוון שב[math]\displaystyle{ A }[/math] יש שורת אפסים, גם במכפלה [math]\displaystyle{ AA^{-1} }[/math] יש שורת אפסים. אבל במטריצת היחידה אין שורת אפסים, סתירה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 1:51:39

• מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] הפיכה. נב"ש ש[math]\displaystyle{ m>n }[/math], כלומר יש יותר שורות מעמודות. במטריצה מדורגת כל איבר פותח נמצא בעמודה נפרדת, ולכן ב[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] יש לכל היותר [math]\displaystyle{ n<m }[/math] שורות שונות מאפס, כלומר יש בה שורת אפסים. לפי המשפט, קיימת [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כך ש[math]\displaystyle{ PA=CF(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ P }[/math] ו[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכות, ולכן גם [math]\displaystyle{ PA }[/math] הפיכה, ומטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה. סתירה.

אם [math]\displaystyle{ m<n }[/math], אז גם [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] הפיכה (המשוחלפת של הפיכה היא הפיכה), ובה יש יותר שורות מעמודות, בסתירה למקרה הקודם. לכן [math]\displaystyle{ m=n }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 1:49:08

• מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]

הוכחה. לפי המשפט, קיימת [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כך ש[math]\displaystyle{ PA=CF(A) }[/math].

בכיוון ראשון, נניח ש[math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]. אז [math]\displaystyle{ PA=I }[/math], ונכפול משמאל ב[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math] את שני האגפים ונקבל [math]\displaystyle{ A=P^{-1} }[/math]. ההופכית של מטריצה הפיכה היא הפיכה (ההופכית שלה היא [math]\displaystyle{ P }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה.

בכיוון השני, נניח ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה. אז [math]\displaystyle{ A }[/math] ריבועית, ו[math]\displaystyle{ CF(A)=PA }[/math] הפיכה כמכפלה של הפיכות, ולכן אין בה שורת אפסים. לכן בכל שורה של [math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] יש איבר פותח; כיוון שהמטריצה ריבועית והאיברים הפותחים נמצאים בעמודות שונות, גם בכל עמודה יש איבר פותח; וכיוון שהצורה מדורגת קנונית, כל האיברים הפותחים הם [math]\displaystyle{ 1 }[/math] וכל שאר האיברים בעמודות שלהם הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. סך הכל [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:00:30

• אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] ריבועיות כך ש[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A^{-1}=B }[/math]

הוכחה. נוכיח קודם ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה. נב"ש שלא. כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] ריבועית ואינה הפיכה, [math]\displaystyle{ CF(A)\neq I }[/math], ולכן ב[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] יש שורת אפסים (מטריצה ריבועית מדורגת קנונית בלי שורת אפסים היא [math]\displaystyle{ I }[/math], כמו בהוכחת הטענה הקודמת). תהי [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כך ש[math]\displaystyle{ PA=CF(A) }[/math]. נכפול את [math]\displaystyle{ AB=I }[/math] משמאל ב[math]\displaystyle{ P }[/math]:

[math]\displaystyle{ CF(A)\cdot B=PAB=P }[/math]

ונכפול מימין ב[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]:

[math]\displaystyle{ CF(A)\cdot(BP^{-1})=I }[/math]

אבל ב[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] יש שורת אפסים, ולכן גם במכפלה יש שורת אפסים, סתירה. לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, ומיחידות ההופכית:

[math]\displaystyle{ B=IB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}I=A^{-1} }[/math]

• תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ריבועיות אזי [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות שתיהן

הוכחה. אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות, כבר ראינו ש[math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה. בכיוון השני, נניח ש[math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה. תהי [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כך ש[math]\displaystyle{ PA=CF(A) }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ P(AB)=(PA)B=CF(A)\cdot B }[/math]

[math]\displaystyle{ P }[/math] ו[math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכות, ולכן [math]\displaystyle{ CF(A)\cdot B }[/math] הפיכה. אילו [math]\displaystyle{ A }[/math] לא הייתה הפיכה, אז (כיוון שהיא ריבועית) ב[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] הייתה שורת אפסים, ולכן גם ב[math]\displaystyle{ CF(A)\cdot B }[/math], והיא לא הייתה הפיכה. סתירה.

לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, ולכן [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ PA=I }[/math]. מכאן

[math]\displaystyle{ P(AB)=(PA)B=B }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ B }[/math] הפיכה כמכפלה של הפיכות.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:10:19

• דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
  • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math]

דוגמה: מתקיים [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}=I_2 }[/math]. האם המטריצות האלה הפיכות? (הוכיחו בעזרת יחידות ההופכית בלבד.)

נסמן את המטריצה השמאלית [math]\displaystyle{ A }[/math] ואת הימנית [math]\displaystyle{ B }[/math], כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_2 }[/math]. נחשב את המכפלה בסדר ההפוך (לפי עמודות):

[math]\displaystyle{ BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix}\neq I_3 }[/math]

לכן המטריצות אינן ההופכיות זו של זו. יותר מזה, הן אינן הפיכות בכלל: אילו [math]\displaystyle{ A }[/math] הייתה הפיכה, אז [math]\displaystyle{ B }[/math], שכפל בה מימין נותן [math]\displaystyle{ I }[/math], הייתה בהכרח ההופכית של [math]\displaystyle{ A }[/math] (ההופכית היא המטריצה היחידה שמקיימת זאת), ואז גם [math]\displaystyle{ BA=I_3 }[/math], סתירה. באופן דומה, אילו [math]\displaystyle{ B }[/math] הייתה הפיכה, אז [math]\displaystyle{ A }[/math], שכפל בה משמאל נותן [math]\displaystyle{ I }[/math], הייתה ההופכית של [math]\displaystyle{ B }[/math], ושוב [math]\displaystyle{ BA=I_3 }[/math], סתירה. (זה מתיישב עם כך שמטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.)

▶ הפתרון בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 1:05:18

אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית

• תהי מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]
• נדרג את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] קנונית.
• אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
• אחרת, הצורה הקנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן היא הפיכה.
• הגענו למטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].

הוכחה (נכונות האלגוריתם). פעולת דירוג על מטריצת הבלוקים מבצעת את אותה הפעולה על כל אחד מהבלוקים, וכל פעולת דירוג היא כפל משמאל במטריצת הפעולה שלה. לכן אחרי פעולות שמטריצות הפעולה שלהן הן [math]\displaystyle{ E_1,\dots,E_k }[/math] (לפי הסדר) מקבלים

[math]\displaystyle{ (A|I)\to\cdots\to(E_k\cdots E_1A\,|\,E_k\cdots E_1I)=(QA\,|\,Q) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ Q=E_k\cdots E_1 }[/math] הפיכה כמכפלה של מטריצות פעולה.

אם בשלב כלשהו יש שורת אפסים בבלוק השמאלי [math]\displaystyle{ QA }[/math], אז [math]\displaystyle{ QA }[/math] אינה הפיכה. אילו [math]\displaystyle{ A }[/math] הייתה הפיכה, גם [math]\displaystyle{ QA }[/math] הייתה הפיכה כמכפלה של הפיכות, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.

אחרת, ב[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] אין שורת אפסים, וכיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] ריבועית נובע ש[math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math] (כמו בהוכחה ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]). לכן בסוף הדירוג הקנוני [math]\displaystyle{ QA=I }[/math]. נכפול משמאל ב[math]\displaystyle{ Q^{-1} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ A=Q^{-1} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ו[math]\displaystyle{ A^{-1}=Q }[/math], כלומר הבלוק הימני הוא בדיוק [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:47:31

• באותו אופן: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה ותהי [math]\displaystyle{ B\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math] (למשל ריבועית מאותו גודל). אם נדרג קנונית את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|B) }[/math], נגיע ל[math]\displaystyle{ (I|A^{-1}B) }[/math].

הוכחה. כמו באלגוריתם, הדירוג הקנוני הוא כפל משמאל במטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ Q=E_k\cdots E_1 }[/math], שמבוצע על שני הבלוקים:

[math]\displaystyle{ (A|B)\to\cdots\to(QA\,|\,QB) }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, [math]\displaystyle{ QA=CF(A)=I }[/math], ולכן (כמו באלגוריתם) [math]\displaystyle{ Q=A^{-1} }[/math]. לכן הבלוק הימני הוא [math]\displaystyle{ QB=A^{-1}B }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־14.7.26, החל מהדקה 2:53:56

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

• מרחב וקטורי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V }[/math]
2. חילופיות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V:u+w=w+u }[/math]
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): [math]\displaystyle{ \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v }[/math]
4. נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v }[/math]
5. נגדיים: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V }[/math]
6. נייטרלי לכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v }[/math]
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w }[/math]

• דוגמאות נפוצות למרחבים וקטוריים מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] (עם הפעולות הסטנדרטיות):
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math], עם [math]\displaystyle{ (x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n)=(x_1+y_1,...,x_n+y_n) }[/math] ו[math]\displaystyle{ c(x_1,...,x_n)=(cx_1,...,cx_n) }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math], עם חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_n[x]=\{a_0+a_1x+...+a_nx^n|a_0,...,a_n\in\mathbb{F}\} }[/math], אוסף הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל[math]\displaystyle{ n }[/math], עם חיבור פולינומים וכפל בסקלר. למשל ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (1+x^2)+(1-x^2)=2 }[/math], ווקטור האפס הוא פולינום האפס.

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F},u\in V }[/math] אזי:
  • [math]\displaystyle{ \alpha u = 0_V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] או [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math]
• כמו כן, [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math]

הוכחה. נניח תחילה ש[math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] או [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math], ונוכיח ש[math]\displaystyle{ \alpha u=0_V }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math], לפי חוק הפילוג:

[math]\displaystyle{ 0_\mathbb{F}\cdot u=(0_\mathbb{F}+0_\mathbb{F})\cdot u=0_\mathbb{F}\cdot u+0_\mathbb{F}\cdot u }[/math]

לפי סגירות [math]\displaystyle{ 0_\mathbb{F}\cdot u\in V }[/math], ולכן יש לו וקטור נגדי. נחבר אותו לשני האגפים, ובעזרת חוק הקיבוץ נקבל [math]\displaystyle{ 0_V=0_\mathbb{F}\cdot u }[/math].

אם [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math], באופן דומה:

[math]\displaystyle{ \alpha\cdot 0_V=\alpha\cdot(0_V+0_V)=\alpha\cdot 0_V+\alpha\cdot 0_V }[/math]

נחבר לשני האגפים את הנגדי של [math]\displaystyle{ \alpha\cdot 0_V }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ 0_V=\alpha\cdot 0_V }[/math].

בכיוון השני, נניח ש[math]\displaystyle{ \alpha u=0_V }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] סיימנו. אחרת [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0_\mathbb{F} }[/math], ולכן יש לו הופכי בשדה. נכפול בו:

[math]\displaystyle{ \alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}\cdot 0_V=0_V }[/math]

(השוויון האחרון לפי הכיוון הקודם). בצד שמאל, לפי חוק הקיבוץ והנייטרלי לכפל בסקלר, [math]\displaystyle{ \alpha^{-1}(\alpha u)=(\alpha^{-1}\alpha)u=1_\mathbb{F}\cdot u=u }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math].

לבסוף נוכיח ש[math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math]. לפי הנייטרלי לכפל בסקלר, הפילוג והחלק הראשון:

[math]\displaystyle{ u+(-1_\mathbb{F})u=1_\mathbb{F}\cdot u+(-1_\mathbb{F})u }[/math]

[math]\displaystyle{ =(1_\mathbb{F}+(-1_\mathbb{F}))u=0_\mathbb{F}\cdot u=0_V }[/math]

נחבר [math]\displaystyle{ -u }[/math] משמאל לשני האגפים, ובעזרת הקיבוץ והחילופיות נקבל [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־19.7.26, החל מהדקה 46:28

תתי מרחבים

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
• אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] נקרא תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של [math]\displaystyle{ V }[/math].

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
• אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math]
  • לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in U }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ v_1+\alpha v_2\in U }[/math]

הוכחה. נניח ש[math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב. תנאי 2 נובע מתכונת הסגירות של [math]\displaystyle{ U }[/math]: [math]\displaystyle{ \alpha v_2\in U }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ v_1+\alpha v_2\in U }[/math].

לגבי תנאי 1: מובטח ש[math]\displaystyle{ U }[/math] מכיל וקטור נייטרלי לחיבור, אבל מי אמר שזה דווקא [math]\displaystyle{ 0_V }[/math]? נשתמש רק בכך ש[math]\displaystyle{ U }[/math] אינו ריק (יש בו וקטור נייטרלי). ניקח [math]\displaystyle{ u\in U }[/math]. לפי סגירות לכפל בסקלר [math]\displaystyle{ 0_\mathbb{F}\cdot u\in U }[/math], והפעולות ב[math]\displaystyle{ U }[/math] הן הפעולות של [math]\displaystyle{ V }[/math], שם הוכחנו ש[math]\displaystyle{ 0_\mathbb{F}\cdot u=0_V }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math].

בכיוון השני, נניח ששני התנאים מתקיימים, ונוכיח ש[math]\displaystyle{ U }[/math] מקיים את תכונות המרחב הוקטורי ביחס לפעולות של [math]\displaystyle{ V }[/math]. החילופיות, הקיבוץ, הנייטרלי לכפל בסקלר והפילוג מתקיימים לכל הוקטורים ב[math]\displaystyle{ V }[/math], ובפרט לוקטורים ב[math]\displaystyle{ U }[/math]. נותר לבדוק:

• נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math] לפי תנאי 1, והוא נייטרלי לכל וקטור ב[math]\displaystyle{ V }[/math], ובפרט לכל וקטור ב[math]\displaystyle{ U }[/math].
• סגירות לחיבור: לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in U }[/math], לפי תנאי 2 עם [math]\displaystyle{ \alpha=1_\mathbb{F} }[/math]: [math]\displaystyle{ v_1+v_2=v_1+1_\mathbb{F}\cdot v_2\in U }[/math].
• סגירות לכפל בסקלר: לכל [math]\displaystyle{ v\in U }[/math] ו[math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math], לפי תנאי 2 כשהוקטור הראשון הוא [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math]: [math]\displaystyle{ \alpha v=0_V+\alpha v\in U }[/math].
• נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ v\in U }[/math], לפי תנאי 2 ולפי [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})v=-v }[/math]: [math]\displaystyle{ -v=0_V+(-1_\mathbb{F})v\in U }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־19.7.26, החל מהדקה 1:46:47

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ N(A)\subseteq\mathbb{F}^n }[/math] הינה תת מרחב וקטורי.
  • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.

הוכחה. לפי הגדרתו [math]\displaystyle{ N(A)\subseteq\mathbb{F}^n }[/math], ונבדוק את שני התנאים של הקריטריון המקוצר.

וקטור האפס שייך ל[math]\displaystyle{ N(A) }[/math], כי [math]\displaystyle{ A\cdot 0=0 }[/math].

יהיו [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in N(A) }[/math] ו[math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]. נתון [math]\displaystyle{ Au_1=0 }[/math] ו[math]\displaystyle{ Au_2=0 }[/math], ולכן לפי חוקי אלגברת המטריצות:

[math]\displaystyle{ A(u_1+\alpha u_2)=Au_1+\alpha Au_2=0+\alpha\cdot 0=0 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ u_1+\alpha u_2\in N(A) }[/math].

לעומת זאת, אם [math]\displaystyle{ b\neq 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ A\cdot 0=0\neq b }[/math], כלומר וקטור האפס אינו פתרון של המערכת הלא הומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=b }[/math], ולכן קבוצת הפתרונות שלה אינה תת מרחב.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־21.7.26, החל מהדקה 13:00

• אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.

• אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
  • [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
  • [math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ U\subseteq W }[/math] או [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math].

הוכחה. החיתוך: ברור ש[math]\displaystyle{ U\cap W\subseteq V }[/math], ונבדוק את שני התנאים של הקריטריון המקוצר. כל אחד מ[math]\displaystyle{ U,W }[/math] הוא תת מרחב ולכן מכיל את [math]\displaystyle{ 0_V }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0_V\in U\cap W }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in U\cap W }[/math] ו[math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ x_1,x_2\in U }[/math], לפי הקריטריון המקוצר [math]\displaystyle{ x_1+\alpha x_2\in U }[/math], ובאופן דומה [math]\displaystyle{ x_1+\alpha x_2\in W }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ x_1+\alpha x_2\in U\cap W }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־19.7.26, החל מהדקה 2:44:35

האיחוד: אם [math]\displaystyle{ U\subseteq W }[/math] אז [math]\displaystyle{ U\cup W=W }[/math], וזה תת מרחב; המקרה [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math] דומה.

בכיוון השני, נניח ש[math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] תת מרחב, ונב"ש ש[math]\displaystyle{ U\not\subseteq W }[/math] וגם [math]\displaystyle{ W\not\subseteq U }[/math]. אז קיים [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ u\notin W }[/math], וקיים [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ w\notin U }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ u,w\in U\cup W }[/math], ולפי הסגירות של תת המרחב [math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] גם [math]\displaystyle{ u+w\in U\cup W }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ u+w\in U }[/math] או [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math].

• אם [math]\displaystyle{ u+w\in U }[/math], אז לפי הסגירות של [math]\displaystyle{ U }[/math] גם [math]\displaystyle{ w=(u+w)-u\in U }[/math], בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ w\notin U }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math], אז באופן דומה [math]\displaystyle{ u=(u+w)-w\in W }[/math], בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ u\notin W }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־19.7.26, החל מהדקה 2:52:51

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
• נגדיר את סכום תתי המרחבים:
  • [math]\displaystyle{ U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\} }[/math]

• [math]\displaystyle{ U+W }[/math] הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U,W\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ U,W\subseteq U+W\subseteq T }[/math]

הוכחה. [math]\displaystyle{ U+W }[/math] תת מרחב: לפי הסגירות של [math]\displaystyle{ V }[/math], [math]\displaystyle{ U+W\subseteq V }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math] ו[math]\displaystyle{ 0_V\in W }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ 0_V=0_V+0_V\in U+W }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in U+W }[/math] ו[math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]. אז קיימים [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] ו[math]\displaystyle{ w_1,w_2\in W }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ x_1=u_1+w_1 }[/math] ו[math]\displaystyle{ x_2=u_2+w_2 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ x_1+\alpha x_2=(u_1+\alpha u_2)+(w_1+\alpha w_2)\in U+W }[/math]

כי [math]\displaystyle{ u_1+\alpha u_2\in U }[/math] ו[math]\displaystyle{ w_1+\alpha w_2\in W }[/math].

[math]\displaystyle{ U,W\subseteq U+W }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ u=u+0_V\in U+W }[/math], ובאופן דומה [math]\displaystyle{ w=0_V+w\in U+W }[/math] לכל [math]\displaystyle{ w\in W }[/math].

[math]\displaystyle{ U+W\subseteq T }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] תת מרחב כך ש[math]\displaystyle{ U,W\subseteq T }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math]. אז [math]\displaystyle{ u,w\in T }[/math], ולפי הסגירות של [math]\displaystyle{ T }[/math] גם [math]\displaystyle{ u+w\in T }[/math].

• [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב[math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T\subseteq U,W }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T\subseteq U\cap W\subseteq U,W }[/math]

הוכחה. ראינו לעיל ש[math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] תת מרחב, וברור ש[math]\displaystyle{ U\cap W\subseteq U }[/math] ו[math]\displaystyle{ U\cap W\subseteq W }[/math]. אם [math]\displaystyle{ T }[/math] תת מרחב כך ש[math]\displaystyle{ T\subseteq U }[/math] ו[math]\displaystyle{ T\subseteq W }[/math], אז כל וקטור ב[math]\displaystyle{ T }[/math] שייך גם ל[math]\displaystyle{ U }[/math] וגם ל[math]\displaystyle{ W }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ T\subseteq U\cap W }[/math].

• דוגמא:
• [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math]
• [math]\displaystyle{ U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ U+W=V }[/math]
• ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
  • [math]\displaystyle{ (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1) }[/math]

• סכום ישר:
• יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]
  • [math]\displaystyle{ U\cap W =\{0_V\} }[/math]

• משפט:
• [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם ורק אם לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה [math]\displaystyle{ v=u+w }[/math] כסכום של רכיבים מU ומW.

הוכחה. נניח ש[math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ V=U+W }[/math], קיימים [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] ו[math]\displaystyle{ w\in W }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ v=u+w }[/math]. נוכיח את היחידות: נניח ש[math]\displaystyle{ v=u_1+w_1=u_2+w_2 }[/math] עם [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] ו[math]\displaystyle{ w_1,w_2\in W }[/math]. נעביר אגפים:

[math]\displaystyle{ u_1-u_2=w_2-w_1 }[/math]

אגף שמאל שייך ל[math]\displaystyle{ U }[/math] ואגף ימין שייך ל[math]\displaystyle{ W }[/math], וזהו אותו וקטור, ולכן הוא שייך ל[math]\displaystyle{ U\cap W=\{0_V\} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ u_1=u_2 }[/math] ו[math]\displaystyle{ w_1=w_2 }[/math].

בכיוון השני, נניח שלכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה [math]\displaystyle{ v=u+w }[/math]. ראשית [math]\displaystyle{ U+W\subseteq V }[/math] לפי סגירות, ולהפך כל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] הוא מהצורה [math]\displaystyle{ u+w }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]. כעת יהי [math]\displaystyle{ x\in U\cap W }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ x=x+0_V=0_V+x }[/math]

ושתי אלה הצגות של [math]\displaystyle{ x }[/math] כסכום של רכיב מ[math]\displaystyle{ U }[/math] ורכיב מ[math]\displaystyle{ W }[/math] (כי [math]\displaystyle{ x }[/math] ו[math]\displaystyle{ 0_V }[/math] שייכים לשני תתי המרחב). מיחידות ההצגה [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ U\cap W=\{0_V\} }[/math].

• כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.

תרגול

• תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

פרישה ותלות לינארית

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
  • וקטור [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] נקרא צירוף לינארי של הקבוצה [math]\displaystyle{ S }[/math] אם [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math] או קיימים וקטורים בקבוצה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וסקלרים מהשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
• כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
• אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא [math]\displaystyle{ span(S) }[/math].

• טענה: יהי V מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ S }[/math]. כלומר:
  • [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] תת מרחב וקטורי
  • לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S)\subseteq T }[/math]

הוכחה. [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] תת מרחב: אם [math]\displaystyle{ S=\emptyset }[/math] אז [math]\displaystyle{ span(S)=\{0_V\} }[/math], וזה תת מרחב. אחרת גם [math]\displaystyle{ 0_V=0\cdot s }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ s\in S }[/math]) הוא צירוף של וקטורים מ[math]\displaystyle{ S }[/math], כך שכל איבר של [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] הוא מהצורה [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k }[/math] עם [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in S }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math], לפי סגירות כל צירוף כזה שייך ל[math]\displaystyle{ V }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ span(S)\subseteq V }[/math]. לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ 0_V\in span(S) }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in span(S) }[/math] ו[math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math], ונכתוב

[math]\displaystyle{ x_1=a_1u_1+...+a_ku_k,\quad x_2=b_1w_1+...+b_mw_m }[/math]

עם [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k,w_1,...,w_m\in S }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ x_1+\alpha x_2=a_1u_1+...+a_ku_k+\alpha b_1w_1+...+\alpha b_mw_m }[/math]

וזה צירוף לינארי של וקטורים מ[math]\displaystyle{ S }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x_1+\alpha x_2\in span(S) }[/math].

[math]\displaystyle{ S\subseteq span(S) }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ v\in S }[/math], הוקטור [math]\displaystyle{ v=1\cdot v }[/math] הוא צירוף לינארי של וקטור מ[math]\displaystyle{ S }[/math].

מינימליות: יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] תת מרחב כך ש[math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ x\in span(S) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math] אז [math]\displaystyle{ x\in T }[/math]. אחרת [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_kv_k }[/math] עם [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in S }[/math]; כיוון ש[math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math], בפרט [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in T }[/math], ולפי הסגירות של [math]\displaystyle{ T }[/math] גם [math]\displaystyle{ x\in T }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־21.7.26, החל מהדקה 2:35:18

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי n-ית וקטורים [math]\displaystyle{ (v_1,...,v_n)\in V^n }[/math]. אומרים שהוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V }[/math].
• אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
• קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וקטורים שונים שתלויים לינארית.

• טענה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in V }[/math]. שלוש הטענות הבאות שקולות:
  • (1) הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] תלויים לינארית.
  • (2) אחד הוקטורים הוא צירוף לינארי של האחרים.
  • (3) אחד הוקטורים מיותר: המרחב [math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_k\} }[/math] נפרש כבר על ידי [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] הוקטורים האחרים.

הוכחה. מספיק להוכיח ש-(1) גורר את (2), (2) גורר את (3), ו-(3) גורר את (1).

נניח את (1) ונוכיח את (2). קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k }[/math] לא כולם אפס כך ש[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k=0_V }[/math]. נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש[math]\displaystyle{ a_k\neq 0 }[/math] (שאר המקרים זהים). מותר לחלק ב[math]\displaystyle{ a_k }[/math]; נעביר אגף ונחלק:

[math]\displaystyle{ v_k=-\frac{a_1}{a_k}v_1-...-\frac{a_{k-1}}{a_k}v_{k-1} }[/math]

נניח את (2) ונוכיח את (3). נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש[math]\displaystyle{ v_k=b_1v_1+...+b_{k-1}v_{k-1} }[/math], ונוכיח ש[math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_k\}=span\{v_1,...,v_{k-1}\} }[/math] בהכלה דו כיוונית. כל צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_{k-1} }[/math] הוא גם צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] (עם המקדם 0 ל[math]\displaystyle{ v_k }[/math]). בכיוון השני:

[math]\displaystyle{ c_1v_1+...+c_kv_k=c_1v_1+...+c_{k-1}v_{k-1}+c_k(b_1v_1+...+b_{k-1}v_{k-1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(c_1+c_kb_1)v_1+...+(c_{k-1}+c_kb_{k-1})v_{k-1}\in span\{v_1,...,v_{k-1}\} }[/math]

נניח את (3) ונוכיח את (1). נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש[math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_k\}=span\{v_1,...,v_{k-1}\} }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ v_k\in span\{v_1,...,v_k\} }[/math], גם [math]\displaystyle{ v_k\in span\{v_1,...,v_{k-1}\} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v_k=b_1v_1+...+b_{k-1}v_{k-1} }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ -b_1v_1-...-b_{k-1}v_{k-1}+1\cdot v_k=0_V }[/math]

זהו צירוף לינארי מתאפס שלא כל מקדמיו אפס (המקדם של [math]\displaystyle{ v_k }[/math] הוא 1), ולכן הוקטורים תלויים לינארית.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 6:48

• טענה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו, תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] קבוצה בת"ל ויהי [math]\displaystyle{ b\in V }[/math]. אם הקבוצה [math]\displaystyle{ A\cup\{b\} }[/math] תלוייה לינארית, אזי [math]\displaystyle{ b\in span(A) }[/math].
  • באופן שקול: אם [math]\displaystyle{ b\notin span(A) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A\cup\{b\} }[/math] בת"ל.

הוכחה. כיוון ש[math]\displaystyle{ A\cup\{b\} }[/math] תלוייה לינארית, יש בה וקטורים שונים שתלויים לינארית. בין הוקטורים האלה חייב להיות [math]\displaystyle{ b }[/math], אחרת מצאנו וקטורים שונים ב[math]\displaystyle{ A }[/math] שתלויים לינארית, בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ A }[/math] בת"ל. כלומר קיימים וקטורים שונים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k\in A }[/math] (השונים מ[math]\displaystyle{ b }[/math]) וסקלרים [math]\displaystyle{ c_1,...,c_k,d }[/math] לא כולם אפס כך ש

[math]\displaystyle{ db+c_1a_1+...+c_ka_k=0_V }[/math]

אם [math]\displaystyle{ d=0 }[/math], אז [math]\displaystyle{ c_1a_1+...+c_ka_k=0_V }[/math] כאשר לא כל המקדמים אפס, בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ A }[/math] בת"ל. לכן [math]\displaystyle{ d\neq 0 }[/math], ומותר לחלק בו ולהעביר אגף:

[math]\displaystyle{ b=-\frac{c_1}{d}a_1-...-\frac{c_k}{d}a_k\in span(A) }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 35:10

• יהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n }[/math].
• הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=0_V }[/math] הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
  • בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix} }[/math]
• לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר [math]\displaystyle{ N(A)=\{0_V\} }[/math]

• באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם [math]\displaystyle{ v\in span\{v_1,...,v_k\} }[/math]:
  • נשים את הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
  • הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.

דוגמה: חשבו את המרחבים הנפרשים הבאים (בתוך [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]): [math]\displaystyle{ span(\emptyset) }[/math], [math]\displaystyle{ span\{(1,1)\} }[/math], [math]\displaystyle{ span\{(1,1),(6,7)\} }[/math], [math]\displaystyle{ span\{(6,7),(12,14)\} }[/math].

• [math]\displaystyle{ span(\emptyset)=\{0_V\} }[/math]: לפי ההגדרה וקטור האפס הוא צירוף לינארי של כל קבוצה, ולקבוצה הריקה אין צירופים אחרים.
• [math]\displaystyle{ span\{(1,1)\}=\{a(1,1)|a\in\mathbb{R}\}=\{(a,a)|a\in\mathbb{R}\} }[/math], זהו ישר.
• [math]\displaystyle{ span\{(1,1),(6,7)\}=\mathbb{R}^2 }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 }[/math] נחפש [math]\displaystyle{ a,b }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ a(1,1)+b(6,7)=(x,y) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a+6b=x }[/math] ו[math]\displaystyle{ a+7b=y }[/math]. נחסיר את המשוואה הראשונה מהשנייה ונקבל [math]\displaystyle{ b=y-x }[/math], ואז [math]\displaystyle{ a=x-6b=7x-6y }[/math]. לכן כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי של שני הוקטורים.
• [math]\displaystyle{ span\{(6,7),(12,14)\}=span\{(6,7)\}=\{(6a,7a)|a\in\mathbb{R}\} }[/math]: הוקטור [math]\displaystyle{ (12,14)=2\cdot(6,7) }[/math] הוא צירוף לינארי של האחר, ולכן הוא מיותר (לפי הטענה על תלות לינארית). שני וקטורים, אבל הם פורשים רק ישר.

▶ הפתרון בהרצאה מ־21.7.26, החל מהדקה 1:57:36

דוגמה: האם הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1=(1,2,3),v_2=(4,5,6),v_3=(7,8,9) }[/math] תלויים לינארית? מהו [math]\displaystyle{ span\{v_1,v_2,v_3\} }[/math]?

השאלה היא האם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3 }[/math], לא כולם אפס, כך ש[math]\displaystyle{ a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0 }[/math]. לפי חישוב הכפל לפי עמודות, זו המערכת ההומוגנית שמטריצת המקדמים שלה היא המטריצה שעמודותיה הן הוקטורים. נדרג ([math]\displaystyle{ R_2\to R_2-2R_1 }[/math], [math]\displaystyle{ R_3\to R_3-3R_1 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ R_3\to R_3-2R_2 }[/math], ולבסוף לצורה הקנונית):

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&4&7\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&4&7\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \to\begin{pmatrix}1&4&7\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

יש משתנה חופשי ([math]\displaystyle{ a_3 }[/math]), ולכן יש פתרון לא טריוויאלי והוקטורים תלויים לינארית. הפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ a_3=t,\ a_1=t,\ a_2=-2t }[/math], ולמשל עבור [math]\displaystyle{ t=1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ v_1-2v_2+v_3=(1,2,3)-(8,10,12)+(7,8,9)=(0,0,0) }[/math]

בפרט [math]\displaystyle{ v_3=2v_2-v_1 }[/math] מיותר, ו[math]\displaystyle{ span\{v_1,v_2,v_3\}=span\{v_1,v_2\} }[/math]. כדי למצוא את המרחב בצורה אלגברית, נבדוק עבור אילו [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] המערכת עם עמודת הקבועים [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] פתירה (אותן פעולות דירוג):

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&4&7&x\\2&5&8&y\\3&6&9&z\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&7&x\\0&-3&-6&y-2x\\0&0&0&x-2y+z\end{array}\right) }[/math]

המערכת פתירה אם ורק אם אין שורת סתירה, כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ x-2y+z=0 }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ span\{v_1,v_2,v_3\}=\{(x,y,z)|x-2y+z=0\} }[/math]

זהו מישור, אף על פי שהוא נפרש על ידי שלושה וקטורים.

▶ הפתרון בהרצאה מ־21.7.26, החל מהדקה 3:11:49

בסיס ומימד

• לֶמת ההחלפה של שטייניץ
• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהיינה [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] בת"ל וכן [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
• אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b\notin A\setminus \{a\} }[/math] וגם הקבוצה [math]\displaystyle{ (A\setminus \{a\})\cup \{b\} }[/math] בת"ל.

הוכחה. נב"ש שקיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b\in A\setminus\{a\} }[/math] או שהקבוצה [math]\displaystyle{ (A\setminus\{a\})\cup\{b\} }[/math] תלוייה לינארית.

נראה שבשני המקרים [math]\displaystyle{ b\in sp(A\setminus\{a\}) }[/math]. במקרה הראשון זה ברור, כי כל קבוצה מוכלת בספאן שלה. במקרה השני, הקבוצה [math]\displaystyle{ A\setminus\{a\} }[/math] בת"ל (כתת קבוצה של קבוצה בת"ל), ולכן לפי הטענה על הוספת וקטור לקבוצה בת"ל, [math]\displaystyle{ b\in sp(A\setminus\{a\}) }[/math].

קיבלנו ש[math]\displaystyle{ B\subseteq sp(A\setminus\{a\}) }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ sp(A\setminus\{a\}) }[/math] תת מרחב, והספאן של [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ B }[/math]:

[math]\displaystyle{ V=sp(B)\subseteq sp(A\setminus\{a\}) }[/math]

בפרט [math]\displaystyle{ a\in sp(A\setminus\{a\}) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא צירוף לינארי של וקטורים אחרים מ[math]\displaystyle{ A }[/math]. לפי הטענה על תלות לינארית, [math]\displaystyle{ A }[/math] תלוייה לינארית, בסתירה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 1:06:02

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] קבוצה פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]) כך ש [math]\displaystyle{ |B|=n }[/math] (כלומר יש בה n וקטורים).
• תהי בנוסף [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] קבוצה בת"ל, אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).

הוכחה. נב"ש שיש ב[math]\displaystyle{ A }[/math] לפחות [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] וקטורים שונים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_{n+1} }[/math]. הקבוצה [math]\displaystyle{ A_0=\{a_1,...,a_{n+1}\} }[/math] בת"ל (תת קבוצה של קבוצה בת"ל).

לפי למת ההחלפה (עבור [math]\displaystyle{ A_0 }[/math] והוקטור [math]\displaystyle{ a_1 }[/math]) קיים [math]\displaystyle{ b_1\in B }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ b_1\notin\{a_2,...,a_{n+1}\} }[/math] והקבוצה [math]\displaystyle{ A_1=\{b_1,a_2,...,a_{n+1}\} }[/math] בת"ל; גם בה יש [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] וקטורים שונים.

כך נמשיך (בהוכחה מדויקת - באינדוקציה): בשלב ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] נחליף את [math]\displaystyle{ a_i }[/math] בוקטור [math]\displaystyle{ b_i\in B }[/math] שאינו בשאר הקבוצה, ונקבל קבוצה בת"ל [math]\displaystyle{ A_i=\{b_1,...,b_i,a_{i+1},...,a_{n+1}\} }[/math] עם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] וקטורים שונים.

אחרי [math]\displaystyle{ n }[/math] שלבים נקבל ש[math]\displaystyle{ A_n=\{b_1,...,b_n,a_{n+1}\} }[/math] בת"ל, כאשר [math]\displaystyle{ b_1,...,b_n }[/math] הם [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים שונים מ[math]\displaystyle{ B }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \{b_1,...,b_n\}=B }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת, ולכן [math]\displaystyle{ a_{n+1}\in sp(B)=sp\{b_1,...,b_n\} }[/math] הוא צירוף לינארי של שאר הוקטורים ב[math]\displaystyle{ A_n }[/math], בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ A_n }[/math] בת"ל.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 1:17:12

• הגדרת בסיס:
• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] קבוצת וקטורים.
• אם [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math]) אזי היא נקראת בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] שפורשת את כל המרחב [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
• אזי קיים לו בסיס סופי.
• כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
• כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים [math]\displaystyle{ dim(V)=|B| }[/math].

הוכחה. קיום בסיס. נוכיח טענה כללית יותר: לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] (ובפרט [math]\displaystyle{ U=V }[/math]) יש בסיס סופי. תהי [math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצה סופית הפורשת את [math]\displaystyle{ V }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ |B|=n }[/math]. לפי הטענה הקודמת, בכל קבוצה בת"ל ב[math]\displaystyle{ V }[/math] יש לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים.

נתחיל מ[math]\displaystyle{ S_0=\emptyset\subseteq U }[/math], שהיא בת"ל. אם היא פורשת את [math]\displaystyle{ U }[/math], סיימנו. אחרת קיים [math]\displaystyle{ u_1\in U }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ u_1\notin sp(S_0) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S_1=S_0\cup\{u_1\} }[/math] בת"ל (לפי הטענה על הוספת וקטור לקבוצה בת"ל).

כך נמשיך: כל עוד [math]\displaystyle{ S_i\subseteq U }[/math] אינה פורשת את [math]\displaystyle{ U }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ u_{i+1}\in U }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ u_{i+1}\notin sp(S_i) }[/math], ונקבל קבוצה בת"ל [math]\displaystyle{ S_{i+1}=S_i\cup\{u_{i+1}\}\subseteq U }[/math] עם [math]\displaystyle{ i+1 }[/math] וקטורים. התהליך לא יכול להגיע ל[math]\displaystyle{ S_{n+1} }[/math], כי ב[math]\displaystyle{ V }[/math] אין קבוצה בת"ל עם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] וקטורים. לכן עבור [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math] כלשהו הקבוצה [math]\displaystyle{ S_k }[/math] בת"ל ופורשת את [math]\displaystyle{ U }[/math], כלומר היא בסיס סופי של [math]\displaystyle{ U }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:06:05

גודל הבסיס. יהיו [math]\displaystyle{ B_1,B_2 }[/math] בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math]. שניהם בת"ל, ולכן סופיים (יש בהם לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים). כיוון ש[math]\displaystyle{ B_1 }[/math] פורשת ו[math]\displaystyle{ B_2 }[/math] בת"ל, לפי הטענה הקודמת [math]\displaystyle{ |B_2|\leq|B_1| }[/math]. באופן סימטרי [math]\displaystyle{ B_2 }[/math] פורשת ו[math]\displaystyle{ B_1 }[/math] בת"ל, ולכן [math]\displaystyle{ |B_1|\leq|B_2| }[/math]. סה"כ [math]\displaystyle{ |B_1|=|B_2| }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:12:46

• כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.

הוכחה. זה בדיוק מה שהוכחנו בהוכחת קיום הבסיס לעיל: לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] של מרחב נוצר סופית [math]\displaystyle{ V }[/math] בנינו קבוצה סופית [math]\displaystyle{ S_k\subseteq U }[/math], בת"ל ופורשת את [math]\displaystyle{ U }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ sp(S_k)=U }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ U }[/math] נוצר סופית, ויש לו בסיס סופי.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:03:14

• מרחב כל הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x] }[/math] (מכל מעלה) אינו נוצר סופית.

הוכחה. נב"ש שקיימת קבוצה סופית [math]\displaystyle{ B=\{p_1,...,p_n\} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ sp(B)=\mathbb{F}[x] }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ k }[/math] המעלה הגבוהה ביותר של פולינום ב[math]\displaystyle{ B }[/math] (אם כולם פולינום האפס, נבחר [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]). כל צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ p_1,...,p_n }[/math] הוא פולינום ממעלה לכל היותר [math]\displaystyle{ k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x^{k+1}\notin sp(B) }[/math], בסתירה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 1:54:59

• [math]\displaystyle{ \dim\{0_V\}=0 }[/math], כי הקבוצה הריקה היא בסיס שלו: היא בת"ל, ו[math]\displaystyle{ sp(\emptyset)=\{0_V\} }[/math].

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ A,B\subseteq V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ A }[/math] בת"ל ו[math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת. אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq n\leq|B| }[/math].
  • כלומר בקבוצה בת"ל יש לכל היותר [math]\displaystyle{ \dim V }[/math] וקטורים, ובקבוצה פורשת יש לפחות [math]\displaystyle{ \dim V }[/math] וקטורים. למשל, כל שלושה וקטורים במרחב ממימד 2 (כמו המישור [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]) תלויים לינארית.

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ S }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], אז [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת ו[math]\displaystyle{ A }[/math] בת"ל, לפי הטענה לעיל [math]\displaystyle{ |A|\leq|S|=n }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל ו[math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת: אם [math]\displaystyle{ B }[/math] אינסופית אין מה להוכיח, ואחרת לפי אותה טענה [math]\displaystyle{ n=|S|\leq|B| }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:21:52

העשרה

• לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
• ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
• נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
• B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
• B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.

משפט השלישי חינם

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
• אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו[math]\displaystyle{ S }[/math] מהווה בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
  • [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל
  • [math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math])
  • [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math] (כלומר כמות הוקטורים ב[math]\displaystyle{ S }[/math] שווה למימד)

הוכחה.

• אם [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל ופורשת, היא בסיס לפי ההגדרה, ולכן [math]\displaystyle{ |S|=\dim V=n }[/math].
• נניח ש[math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל ו[math]\displaystyle{ |S|=n }[/math], ונב"ש ש[math]\displaystyle{ S }[/math] אינה פורשת. אז קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ v\notin sp(S) }[/math], ולפי הטענה על הוספת וקטור לקבוצה בת"ל, [math]\displaystyle{ S\cup\{v\} }[/math] בת"ל. יש בה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] וקטורים ([math]\displaystyle{ v\notin S }[/math] כי [math]\displaystyle{ S\subseteq sp(S) }[/math]), בסתירה לכך שבקבוצה בת"ל יש לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים.
• נניח ש[math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת ו[math]\displaystyle{ |S|=n }[/math], ונב"ש ש[math]\displaystyle{ S=\{s_1,...,s_n\} }[/math] תלוייה לינארית. אז גם הסדרה [math]\displaystyle{ s_1,...,s_n }[/math] תלוייה לינארית (מוסיפים מקדמים אפס לשאר הוקטורים), ולפי הטענה על תלות לינארית אחד הוקטורים מיותר: [math]\displaystyle{ V=sp(S) }[/math] נפרש על ידי [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] וקטורים. זו קבוצה פורשת עם פחות מ[math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים, בסתירה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:27:57

• יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב.
• אם [math]\displaystyle{ \dim (U)=\dim (V) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ U=V }[/math]

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ S_U }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math]. זו קבוצה בת"ל בתוך [math]\displaystyle{ V }[/math], ו[math]\displaystyle{ |S_U|=\dim(U)=\dim(V) }[/math]. לפי משפט השלישי חינם (בת"ל, וכמות הוקטורים שווה למימד של [math]\displaystyle{ V }[/math]), [math]\displaystyle{ S_U }[/math] פורשת גם את [math]\displaystyle{ V }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ U=sp(S_U)=V }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:38:50

תרגול

• תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

[math]\displaystyle{ sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B) }[/math]

הוכחה. כל צירוף לינארי של וקטורים מ[math]\displaystyle{ A\cup B }[/math] אפשר לפצל לצירוף של הוקטורים שלו מ[math]\displaystyle{ A }[/math] ועוד צירוף של הוקטורים שלו מ[math]\displaystyle{ B }[/math] (וקטור ששייך לשתי הקבוצות נשים בחלק של [math]\displaystyle{ A }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ sp(A\cup B)\subseteq sp(A)+sp(B) }[/math]. להפך, אם [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_kv_k\in sp(A) }[/math] ו[math]\displaystyle{ y=b_1w_1+...+b_mw_m\in sp(B) }[/math], אז

[math]\displaystyle{ x+y=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1w_1+...+b_mw_m }[/math]

הוא צירוף לינארי של וקטורים מ[math]\displaystyle{ A\cup B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ sp(A)+sp(B)\subseteq sp(A\cup B) }[/math].

• [math]\displaystyle{ \dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W) }[/math]

הוכחה. כאן [math]\displaystyle{ V }[/math] נוצר סופית ו[math]\displaystyle{ U,W }[/math] תתי מרחב שלו, ולכן לכל המרחבים במשפט יש בסיסים סופיים. כשמוכיחים טענה על מימדים, בונים בסיסים, והבחירה מאיזה מרחב להתחיל היא המפתח: נתחיל מהקטן ביותר, החיתוך. יהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_k\} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math]. נשלים אותו לבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math] ולבסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math] (כמו בבניית בסיס: מתחילים מהקבוצה הבת"ל ומוסיפים וקטורים שאינם בספאן עד שמגיעים לקבוצה פורשת):

[math]\displaystyle{ B_U=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\} }[/math]

[math]\displaystyle{ B_W=\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_m\} }[/math]

אז [math]\displaystyle{ \dim(U\cap W)=k }[/math], [math]\displaystyle{ \dim(U)=k+p }[/math] ו[math]\displaystyle{ \dim(W)=k+m }[/math]. לפי הטענה לעיל

[math]\displaystyle{ sp(B_U\cup B_W)=sp(B_U)+sp(B_W)=U+W }[/math]

נוכיח שהסדרה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m }[/math] בת"ל. מכך נובע גם שכל הוקטורים בה שונים (אחרת הייתה תלות), ולכן זהו בסיס של [math]\displaystyle{ U+W }[/math] עם [math]\displaystyle{ k+p+m }[/math] וקטורים, ו

[math]\displaystyle{ \dim(U+W)=k+p+m=(k+p)+(k+m)-k }[/math]

[math]\displaystyle{ =\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]

יהי צירוף לינארי מתאפס

[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p }[/math]

[math]\displaystyle{ +c_1w_1+...+c_mw_m=0_V }[/math]

נעביר אגף:

[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m }[/math]

אגף שמאל שייך ל[math]\displaystyle{ U }[/math] ואגף ימין שייך ל[math]\displaystyle{ W }[/math], וזהו אותו וקטור, ולכן הוא שייך ל[math]\displaystyle{ U\cap W }[/math]. נציג אותו באמצעות הבסיס של החיתוך:

[math]\displaystyle{ -c_1w_1-...-c_mw_m=d_1v_1+...+d_kv_k }[/math]

ושוב נעביר אגף:

[math]\displaystyle{ d_1v_1+...+d_kv_k+c_1w_1+...+c_mw_m=0_V }[/math]

זהו צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס [math]\displaystyle{ B_W }[/math], ולכן כל המקדמים אפס, ובפרט [math]\displaystyle{ c_1=...=c_m=0 }[/math]. נציב זאת בצירוף המקורי:

[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=0_V }[/math]

וזהו צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס [math]\displaystyle{ B_U }[/math], ולכן גם כל המקדמים האלה אפס.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 3:02:18

תרגול

• תרגול על משפט המימדים

הצגה פרמטרית ואלגברית

דוגמה: אילו מהמישורים הבאים הם תתי מרחב של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]?

[math]\displaystyle{ P_1=\{(1,2,3)+t(1,1,0)+s(0,1,1)|t,s\in\mathbb{R}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ P_2=\{(1,2,1)+t(1,1,0)+s(0,1,1)|t,s\in\mathbb{R}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ P_1 }[/math] אינו תת מרחב, כי אינו מכיל את וקטור האפס: אם [math]\displaystyle{ (1+t,\ 2+t+s,\ 3+s)=(0,0,0) }[/math], אז מהרכיב הראשון [math]\displaystyle{ t=-1 }[/math], מהרכיב השני [math]\displaystyle{ 2-1+s=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ s=-1 }[/math], ואז הרכיב השלישי הוא [math]\displaystyle{ 3+s=2\neq 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ P_2 }[/math] כן תת מרחב. נעבור לצורה אלגברית: נקודה כללית במישור היא [math]\displaystyle{ (x,y,z)=(1+t,\ 2+t+s,\ 1+s) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ t=x-1 }[/math], [math]\displaystyle{ s=z-1 }[/math] ו[math]\displaystyle{ y=2+(x-1)+(z-1)=x+z }[/math]. להפך, כל [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] עם [math]\displaystyle{ y=x+z }[/math] מתקבל עבור [math]\displaystyle{ t=x-1,\ s=z-1 }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ P_2=\{(x,y,z)|x-y+z=0\} }[/math]

וזו קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית, ולכן תת מרחב. למעשה [math]\displaystyle{ P_2=span\{(1,1,0),(0,1,1)\} }[/math].

▶ הפתרון בהרצאה מ־21.7.26, החל מהדקה 29:12

דוגמה: האם הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] שייך למישור [math]\displaystyle{ \{t(1,1,0)+s(2,-1,3)|t,s\in\mathbb{R}\} }[/math]?

נעבור לצורה אלגברית: [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] שייך למישור אם ורק אם למערכת שעמודותיה [math]\displaystyle{ (1,1,0),(2,-1,3) }[/math] ועמודת הקבועים שלה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] יש פתרון. נדרג ([math]\displaystyle{ R_2\to R_2-R_1 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ R_3\to R_3+R_2 }[/math]):

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc|c}1&2&x\\1&-1&y\\0&3&z\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc|c}1&2&x\\0&-3&y-x\\0&3&z\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \to\left(\begin{array}{cc|c}1&2&x\\0&-3&y-x\\0&0&z+y-x\end{array}\right) }[/math]

יש פתרון אם ורק אם [math]\displaystyle{ z+y-x=0 }[/math], כלומר המישור הוא [math]\displaystyle{ \{(x,y,z)|x-y-z=0\} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1-2-3=-4\neq 0 }[/math], ולכן הוקטור אינו שייך למישור. כשהמישור נתון בצורה אלגברית, בדיקת שייכות היא הצבה פשוטה.

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math]
  • [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \dim R(A)\leq m }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \dim R(A)\leq n }[/math] (ובאופן דומה [math]\displaystyle{ \dim C(A)\leq m }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \dim C(A)\leq n }[/math]).

הוכחה. בסיס של [math]\displaystyle{ R(A) }[/math] הוא קבוצה בת"ל בתוך [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math], שמימדו [math]\displaystyle{ n }[/math] (הבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ e_1,...,e_n }[/math]), ולכן יש בו לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים. מצד שני [math]\displaystyle{ R(A) }[/math] נפרש על ידי [math]\displaystyle{ m }[/math] השורות, ובסיס שלו הוא קבוצה בת"ל בתוך [math]\displaystyle{ R(A) }[/math], ולכן יש בו לכל היותר [math]\displaystyle{ m }[/math] וקטורים. עבור [math]\displaystyle{ C(A)\subseteq\mathbb{F}^m }[/math], שנפרש על ידי [math]\displaystyle{ n }[/math] העמודות, הטיעון זהה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 13:25

• [math]\displaystyle{ R(AB)\subseteq R(B) }[/math]
• [math]\displaystyle{ C(AB)\subseteq C(A) }[/math]

הוכחה. תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math]. לפי חישוב הכפל לפי שורות, לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]:

[math]\displaystyle{ R_i(AB)=a_{i1}R_1(B)+a_{i2}R_2(B)+...+a_{in}R_n(B)\in R(B) }[/math]

כלומר כל השורות של [math]\displaystyle{ AB }[/math] שייכות לתת המרחב [math]\displaystyle{ R(B) }[/math], ולכן גם המרחב שהן פורשות מוכל בו (הספאן הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל אותן): [math]\displaystyle{ R(AB)\subseteq R(B) }[/math].

באופן דומה, לפי חישוב הכפל לפי עמודות, לכל [math]\displaystyle{ j }[/math]:

[math]\displaystyle{ C_j(AB)=b_{1j}C_1(A)+b_{2j}C_2(A)+...+b_{nj}C_n(A)\in C(A) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ C(AB)\subseteq C(A) }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 1:02:50

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] מטריצה שמתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולות דירוג (למשל צורה מדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math], או הצורה המדורגת הקנונית [math]\displaystyle{ CF(A) }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ R(A)=R(B) }[/math].

הוכחה. כל פעולת דירוג היא כפל משמאל במטריצת פעולה הפיכה, ולכן קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] (מכפלת מטריצות הפעולה) כך ש[math]\displaystyle{ B=PA }[/math]. לפי הטענה לעיל

[math]\displaystyle{ R(B)=R(PA)\subseteq R(A) }[/math]

וכיוון ש[math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה, [math]\displaystyle{ A=P^{-1}B }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ R(A)=R(P^{-1}B)\subseteq R(B) }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 1:09:38

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] מטריצה שמתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולות דירוג. אזי לכל סדרת אינדקסים [math]\displaystyle{ i_1,...,i_k\in\{1,...,n\} }[/math], העמודות [math]\displaystyle{ C_{i_1}(A),...,C_{i_k}(A) }[/math] בת"ל אם ורק אם העמודות [math]\displaystyle{ C_{i_1}(B),...,C_{i_k}(B) }[/math] בת"ל.
  • כלומר הדירוג משנה את העמודות, אבל לא משנה באילו מקומות נמצאות עמודות בת"ל.

הוכחה. קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ B=PA }[/math], ולפי חישוב הכפל לפי עמודות [math]\displaystyle{ C_i(B)=C_i(PA)=PC_i(A) }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ v_j=C_{i_j}(A) }[/math], כך שהעמודות המתאימות של [math]\displaystyle{ B }[/math] הן [math]\displaystyle{ Pv_1,...,Pv_k }[/math].

נניח ש[math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] בת"ל, ויהי צירוף לינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1Pv_1+...+a_kPv_k=0 }[/math]. אז [math]\displaystyle{ P(a_1v_1+...+a_kv_k)=0 }[/math], ונכפול משמאל ב[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]: [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k=0 }[/math], ולכן כל הסקלרים אפס.

להפך, נניח ש[math]\displaystyle{ Pv_1,...,Pv_k }[/math] בת"ל, ויהי צירוף לינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k=0 }[/math]. נכפול משמאל ב[math]\displaystyle{ P }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ a_1Pv_1+...+a_kPv_k=0 }[/math], ולכן כל הסקלרים אפס. (בכיוון זה לא השתמשנו בהפיכות של [math]\displaystyle{ P }[/math].)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 2:00:14

• אלגוריתם למציאת בסיסים לשלושת מרחבי המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]:
  • מדרגים את [math]\displaystyle{ A }[/math].
  • השורות השונות מאפס בצורה המדורגת מהוות בסיס ל[math]\displaystyle{ R(A) }[/math].
  • העמודות מהמטריצה המקורית [math]\displaystyle{ A }[/math], במקומות של האיברים הפותחים (כלומר המתאימות למשתנים התלויים), מהוות בסיס ל[math]\displaystyle{ C(A) }[/math].
  • ממשיכים לצורה מדורגת קנונית ומוצאים את הפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית; וקטורי הכיוון של הפתרון הכללי (אחד לכל משתנה חופשי) מהווים בסיס ל[math]\displaystyle{ N(A) }[/math].

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ B }[/math] הצורה המדורגת, ונסמן ב[math]\displaystyle{ k }[/math] את מספר האיברים הפותחים בה (שהוא גם מספר השורות השונות מאפס).

מרחב השורות: לפי הטענה לעיל [math]\displaystyle{ R(A)=R(B) }[/math], ו[math]\displaystyle{ R(B) }[/math] נפרש על ידי השורות השונות מאפס של [math]\displaystyle{ B }[/math] (שורות אפס לא משנות את הספאן). נותר להראות שהן בת"ל. נסמן אותן [math]\displaystyle{ w_1,...,w_k }[/math] מלמעלה למטה, ויהי [math]\displaystyle{ c_1w_1+...+c_kw_k=0 }[/math]. בעמודה של האיבר הפותח של [math]\displaystyle{ w_1 }[/math], לכל השורות שמתחתיה יש אפס (האיברים הפותחים שלהן נמצאים בעמודות מאוחרות יותר), ולכן הרכיב הזה של הצירוף הוא [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] כפול האיבר הפותח, ומכאן [math]\displaystyle{ c_1=0 }[/math]. באותו אופן, בעמודה של האיבר הפותח של [math]\displaystyle{ w_2 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math], וכן הלאה.

מרחב העמודות: נסתכל בצורה המדורגת הקנונית [math]\displaystyle{ CF(A) }[/math], שהאיברים הפותחים בה נמצאים באותן עמודות. העמודות של האיברים הפותחים ב[math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] הן [math]\displaystyle{ e_1,...,e_k }[/math], והן בת"ל. בכל עמודה אחרת של [math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] יש אפסים בשורות [math]\displaystyle{ k+1,...,m }[/math], ולכן היא צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ e_1,...,e_k }[/math]. לפי הטענה על מיקומי העמודות הבת"ל, גם העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] במקומות של האיברים הפותחים בת"ל. תהי [math]\displaystyle{ C_j(A) }[/math] עמודה אחרת של [math]\displaystyle{ A }[/math]. העמודות הפותחות של [math]\displaystyle{ CF(A) }[/math] יחד עם [math]\displaystyle{ C_j(CF(A)) }[/math] תלויות לינארית, ולכן (לפי אותה טענה) גם העמודות המתאימות של [math]\displaystyle{ A }[/math] תלויות לינארית. בצירוף המתאפס, המקדם של [math]\displaystyle{ C_j(A) }[/math] שונה מאפס (אחרת העמודות הפותחות של [math]\displaystyle{ A }[/math] היו תלויות), ולכן אפשר לחלק בו ולהציג את [math]\displaystyle{ C_j(A) }[/math] כצירוף לינארי של העמודות הפותחות של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן העמודות הפותחות של [math]\displaystyle{ A }[/math] פורשות את [math]\displaystyle{ C(A) }[/math], וביחד עם אי התלות הן בסיס.

מרחב האפס: אם [math]\displaystyle{ t_1,...,t_s }[/math] הם הפרמטרים שמציבים במשתנים החופשיים, הפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ x=t_1u_1+...+t_su_s }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ u_1,...,u_s }[/math] הם וקטורי הכיוון. לכן [math]\displaystyle{ N(A)=sp\{u_1,...,u_s\} }[/math]. וקטורי הכיוון בת"ל: לוקטור [math]\displaystyle{ u_i }[/math] יש 1 ברכיב של המשתנה החופשי ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] ו-0 ברכיבים של שאר המשתנים החופשיים, ולכן אם [math]\displaystyle{ t_1u_1+...+t_su_s=0 }[/math], אז הרכיב של המשתנה החופשי ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] בצירוף הוא [math]\displaystyle{ t_i=0 }[/math].

• על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
• על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.

• ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
• לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.

הוכחה. נוכיח שבמרחב נוצר סופית ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס. יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] בת"ל; לכן [math]\displaystyle{ |A|\leq n }[/math]. כמו בבניית בסיס, נתחיל מ[math]\displaystyle{ S_0=A }[/math]: כל עוד [math]\displaystyle{ S_i }[/math] אינה פורשת את [math]\displaystyle{ V }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ v\notin sp(S_i) }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ S_{i+1}=S_i\cup\{v\} }[/math], שהיא בת"ל (לפי הטענה על הוספת וקטור לקבוצה בת"ל). בכל שלב גודל הקבוצה גדל ב-1, ובקבוצה בת"ל יש לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים, ולכן אחרי לכל היותר [math]\displaystyle{ n-|A| }[/math] שלבים נגיע לקבוצה בת"ל ופורשת, כלומר לבסיס שמכיל את [math]\displaystyle{ A }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־26.7.26, החל מהדקה 2:11:56

למה השיטה עובדת (ב[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]): נשים בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ M }[/math] קודם את וקטורי הקבוצה הבת"ל [math]\displaystyle{ a_1,...,a_r }[/math], ואחריהם את וקטורי בסיס כלשהו [math]\displaystyle{ b_1,...,b_n }[/math]. העמודות כוללות בסיס, ולכן [math]\displaystyle{ C(M)=\mathbb{F}^n }[/math], ולפי האלגוריתם למציאת בסיסים העמודות של [math]\displaystyle{ M }[/math] במקומות של האיברים הפותחים הן בסיס של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]. בכל אחת מהעמודות [math]\displaystyle{ 1,...,r }[/math] יש איבר פותח: בצורה המדורגת הקנונית, עמודה בלי איבר פותח היא צירוף לינארי של העמודות הפותחות שמשמאלה, ולכן אילו בעמודה [math]\displaystyle{ j\leq r }[/math] לא היה איבר פותח, העמודות [math]\displaystyle{ 1,...,j }[/math] של הצורה הקנונית היו תלויות לינארית, ולפי הטענה על מיקומי העמודות הבת"ל גם [math]\displaystyle{ a_1,...,a_j }[/math] היו תלויות. לכן הבסיס שמתקבל מכיל את [math]\displaystyle{ a_1,...,a_r }[/math].

דוגמה: מצאו בסיסים ומימדים לשלושת מרחבי המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} }[/math].

נדרג ([math]\displaystyle{ R_2\to R_2-4R_1 }[/math], [math]\displaystyle{ R_3\to R_3-7R_1 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ R_3\to R_3-2R_2 }[/math]) ונמשיך לצורה הקנונית:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

האיברים הפותחים בעמודות 1 ו-2: המשתנים [math]\displaystyle{ x,y }[/math] תלויים ו[math]\displaystyle{ z }[/math] חופשי.

• מרחב האפס: נציב [math]\displaystyle{ z=t }[/math], ואז [math]\displaystyle{ x=t,\ y=-2t }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ N(A)=\{t(1,-2,1)|t\in\mathbb{R}\}=span\{(1,-2,1)\} }[/math], ו[math]\displaystyle{ \dim N(A)=1 }[/math].
• מרחב השורות: השורות השונות מאפס בצורה המדורגת: [math]\displaystyle{ R(A)=span\{(1,0,-1),(0,1,2)\} }[/math], ו[math]\displaystyle{ \dim R(A)=2 }[/math].
• מרחב העמודות: לוקחים את עמודות 1 ו-2 מהמטריצה המקורית (הדירוג הורס את העמודות עצמן, אבל לא את מיקומי העמודות הבת"ל): [math]\displaystyle{ C(A)=span\{(1,4,7),(2,5,8)\} }[/math], ו[math]\displaystyle{ \dim C(A)=2 }[/math].

שימו לב ש[math]\displaystyle{ \dim R(A)=\dim C(A)=2 }[/math], ו[math]\displaystyle{ 2+1=3 }[/math] הוא מספר העמודות. בדוגמה זו במקרה גם [math]\displaystyle{ R(A)=C(A) }[/math] (שניהם המישור [math]\displaystyle{ x-2y+z=0 }[/math]), אבל זה לא נכון באופן כללי. עוד תופעה נחמדה מעל הממשיים: מרחב השורות מאונך למרחב האפס, כי [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math] אומר בדיוק שהמכפלה הסקלרית של כל שורה של [math]\displaystyle{ A }[/math] בוקטור [math]\displaystyle{ x }[/math] היא אפס.

▶ הפתרון בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 22:13

תרגול

• תרגול בנושא מרחבי המטריצה

דרגה של מטריצה

• בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.

• הדרגה של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מוגדרת כמימד מרחב העמודות שלה: [math]\displaystyle{ rank(A)=\dim C(A) }[/math].

• כל הגדלים הבאים שווים:
  • דרגה של מטריצה
  • מימד מרחב העמודות
  • מימד מרחב השורות
  • מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
  • מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ B }[/math] צורה מדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math], ונסמן ב[math]\displaystyle{ k }[/math] את מספר האיברים הפותחים בה. לכל שורה שונה מאפס יש איבר פותח אחד, ולכן ב[math]\displaystyle{ B }[/math] יש בדיוק [math]\displaystyle{ k }[/math] שורות שונות מאפס; המשתנים התלויים הם אלו שבעמודה שלהם יש איבר פותח, ולכן יש [math]\displaystyle{ k }[/math] משתנים תלויים. לפי האלגוריתם למציאת בסיסים, השורות השונות מאפס של [math]\displaystyle{ B }[/math] הן בסיס ל[math]\displaystyle{ R(A) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \dim R(A)=k }[/math]; והעמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] במקומות של האיברים הפותחים הן בסיס ל[math]\displaystyle{ C(A) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ rank(A)=\dim C(A)=k }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 2:22:27

• כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

הוכחה. לפי האלגוריתם למציאת בסיסים, וקטורי הכיוון של הפתרון הכללי, וקטור אחד לכל משתנה חופשי, מהווים בסיס ל[math]\displaystyle{ N(A) }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 2:23:31

• ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. לפי מה שראינו, [math]\displaystyle{ rank(A) }[/math] שווה למספר המשתנים התלויים, ו[math]\displaystyle{ \dim N(A) }[/math] שווה למספר המשתנים החופשיים. כל אחד מ[math]\displaystyle{ n }[/math] המשתנים הוא תלוי או חופשי, ולכן [math]\displaystyle{ rank(A)+\dim N(A)=n }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 2:24:06

פרק 5 - העתקות לינאריות

📄 דף נושא: העתקה לינארית - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
• פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] נקראת העתקה לינארית אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] היא מקיימת:
  • [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1 }[/math]

• שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ Tv_1=T(v_1) }[/math]

• כל העתקה לינארית שולחת את וקטור האפס לוקטור האפס: אם [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, אזי [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]

הוכחה. כל וקטור כפול סקלר האפס הוא וקטור האפס, ו־T מוציאה סקלרים החוצה:

[math]\displaystyle{ T(0_V)=T(0_{\mathbb{F}}\cdot 0_V)=0_{\mathbb{F}}\cdot T(0_V)=0_W }[/math]

המעבר האחרון נכון כי [math]\displaystyle{ T(0_V) }[/math] הוא וקטור בW, וכל וקטור בW כפול סקלר האפס הוא [math]\displaystyle{ 0_W }[/math].

(כאן רואים גם למה בהגדרה V וW חייבים להיות מעל אותו שדה: אותו סקלר [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}} }[/math] כופל גם וקטור בV וגם וקטור בW.)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־2.8.26, החל מהדקה 10:34

• תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. נגדיר את העתקת המטריצה [math]\displaystyle{ T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ T_A(v)=Av }[/math]. העתקת המטריצה היא העתקה לינארית.

הוכחה. לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in\mathbb{F}^n }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math], מחוק הפילוג ומתכונות הכפל בסקלר של כפל מטריצות:

[math]\displaystyle{ T_A(v_1+v_2)=A(v_1+v_2)=Av_1+Av_2=T_Av_1+T_Av_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ T_A(\alpha v_1)=A(\alpha v_1)=\alpha Av_1=\alpha T_Av_1 }[/math]

כלומר כל כפל במטריצה הוא העתקה לינארית. (בכיוון ההפוך, בהמשך הפרק נראה שכל העתקה לינארית בין מרחבים נוצרים סופית היא "כפל במטריצה", כשעוברים לקואורדינטות.)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 1:02:06

דוגמה: האם הפונקציה [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ T(x,y)=(x+1,x+y) }[/math] היא העתקה לינארית?

לא. כל העתקה לינארית שולחת את וקטור האפס לוקטור האפס, אבל כאן

[math]\displaystyle{ T(0,0)=(1,0)\neq(0,0) }[/math]

ולכן T אינה העתקה לינארית.

▶ הפתרון בהרצאה מ־2.8.26, החל מהדקה 14:16

דוגמה: יהיו [math]\displaystyle{ n,m }[/math] טבעיים כך ש[math]\displaystyle{ m\geq n-1 }[/math]. האם הפונקציה [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}_n[x]\to\mathbb{R}_m[x] }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ Dp=p' }[/math] (הנגזרת) היא העתקה לינארית?

כן. ראשית D מוגדרת היטב: הנגזרת של פולינום ממעלה לכל היותר n היא פולינום ממעלה לכל היותר [math]\displaystyle{ n-1\leq m }[/math]. כעת לפי כללי הגזירה (נגזרת של סכום היא סכום הנגזרות, וקבוע יוצא מהנגזרת), לכל [math]\displaystyle{ p_1,p_2,p\in\mathbb{R}_n[x] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{R} }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(p_1+p_2)=(p_1+p_2)'=p_1'+p_2'=Dp_1+Dp_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ D(cp)=(cp)'=cp'=cDp }[/math]

(אותה הוכחה עובדת גם על מרחב כל הפונקציות הגזירות: פונקציות הן וקטורים, והגזירה היא העתקה לינארית.)

▶ הפתרון בהרצאה מ־2.8.26, החל מהדקה 20:26

פעולות בין העתקות לינאריות

• יהיו [math]\displaystyle{ T,S:V\to W }[/math] העתקות לינאריות ויהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math]. נגדיר את החיבור [math]\displaystyle{ T+S:V\to W }[/math] ואת הכפל בסקלר [math]\displaystyle{ cT:V\to W }[/math] ע"י:
  • [math]\displaystyle{ (T+S)(v)=Tv+Sv }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (cT)(v)=cTv }[/math]
• את ההרכבה של העתקות לינאריות מסמנים ככפל (כמו כפל מטריצות): [math]\displaystyle{ TS=T\circ S }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ T^2=T\circ T }[/math].

• הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
• סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
• הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית הפיכה. נוכיח את התנאי המקוצר: לכל [math]\displaystyle{ w_1,w_2\in W }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math]

[math]\displaystyle{ T^{-1}(w_1+aw_2)=T^{-1}w_1+aT^{-1}w_2 }[/math]

הטריק: נפעיל על אגף ימין את [math]\displaystyle{ T^{-1}\circ T }[/math], שהיא פונקציית הזהות על V (ולכן לא משנה דבר), ואז נשתמש בלינאריות של T:

[math]\displaystyle{ T^{-1}w_1+aT^{-1}w_2=T^{-1}\left(T\left(T^{-1}w_1+aT^{-1}w_2\right)\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =T^{-1}\left(TT^{-1}w_1+aTT^{-1}w_2\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =T^{-1}(w_1+aw_2) }[/math]

במעבר השני השתמשנו בלינאריות של T, ובשלישי בכך ש[math]\displaystyle{ TT^{-1} }[/math] היא הזהות על W.

התנאי המקוצר גורר את שני תנאי הלינאריות: עבור [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ T^{-1}(w_1+w_2)=T^{-1}w_1+T^{-1}w_2 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ w_1=0_W }[/math], וכיוון ש[math]\displaystyle{ T^{-1}(0_W)=0_V }[/math] (שהרי [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]), מקבלים [math]\displaystyle{ T^{-1}(aw_2)=aT^{-1}w_2 }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 10:34

• אוסף ההעתקות הלינאריות מV לW מסומן [math]\displaystyle{ Hom(V,W) }[/math]. יחד עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שהוגדרו לעיל, [math]\displaystyle{ Hom(V,W) }[/math] הוא מרחב וקטורי.

גרעין ותמונה

• תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית
  • הגרעין [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V|Tv=0_W\} }[/math] הוא תת מרחב של התחום [math]\displaystyle{ V }[/math]
  • התמונה [math]\displaystyle{ Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\} }[/math] היא תת מרחב של הטווח [math]\displaystyle{ W }[/math]

הוכחה. הגרעין: לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ \ker T\subseteq V }[/math]. ראשית [math]\displaystyle{ 0_V\in\ker T }[/math], כי [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]. כעת יהיו [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in\ker T }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ Tv_1=Tv_2=0_W }[/math]. צריך להוכיח ש[math]\displaystyle{ v_1+cv_2\in\ker T }[/math], כלומר שהוא נשלח לאפס. אכן, כיוון שT לינארית,

[math]\displaystyle{ T(v_1+cv_2)=Tv_1+cTv_2=0_W+c\cdot 0_W=0_W }[/math]

התמונה: באופן דומה, [math]\displaystyle{ Im T\subseteq W }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0_W=T(0_V)\in Im T }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ w_1,w_2\in Im T }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math]. אז קיימים [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ Tv_1=w_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Tv_2=w_2 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ w_1+cw_2=Tv_1+cTv_2=T(v_1+cv_2)\in Im T }[/math]

▶ ההוכחה (לגרעין) בהרצאה מ־2.8.26, החל מהדקה 40:22

• ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math]

הוכחה. המימד של מרחב הוא אפס אם ורק אם המרחב מכיל רק את וקטור האפס. לכן צריך להוכיח: T חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ker T=\{0_V\} }[/math].

כיוון ראשון: נניח שT חח"ע, ונוכיח [math]\displaystyle{ \ker T=\{0_V\} }[/math] בהכלה דו כיוונית. ההכלה [math]\displaystyle{ \{0_V\}\subseteq\ker T }[/math] נובעת מכך ש[math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]. בכיוון ההפוך, יהי [math]\displaystyle{ v\in\ker T }[/math]. אז [math]\displaystyle{ Tv=0_W }[/math], ומצד שני גם [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]. כיוון שT חח"ע נובע [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math].

כיוון שני: נניח [math]\displaystyle{ \ker T=\{0_V\} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ Tv_1=Tv_2 }[/math]. צריך להוכיח [math]\displaystyle{ v_1=v_2 }[/math]. נעביר אגף ונשתמש בלינאריות:

[math]\displaystyle{ 0_W=Tv_1-Tv_2=T(v_1-v_2) }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ v_1-v_2\in\ker T=\{0_V\} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v_1-v_2=0_V }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v_1=v_2 }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־2.8.26, החל מהדקה 46:30

• ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ W }[/math] נוצר סופית) על אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim Im T = \dim W }[/math]

הוכחה. (כאן W נוצר סופית.) כמו בבדידה, T על אם ורק אם [math]\displaystyle{ Im T=W }[/math]. אם T על, אז [math]\displaystyle{ Im T=W }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ \dim Im T=\dim W }[/math]. להפך, נניח [math]\displaystyle{ \dim Im T=\dim W }[/math]. התמונה היא תת מרחב של W (הוכח לעיל) שמימדו שווה למימד של W; מהכלה חד כיוונית ושוויון מימדים נובע [math]\displaystyle{ Im T=W }[/math], כלומר T על.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 4:43

משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות

• תהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס לV.
• אזי [math]\displaystyle{ Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]

הוכחה. נבצע הכלה דו כיוונית.

כיוון ראשון ([math]\displaystyle{ span\{Tv_1,...,Tv_n\}\subseteq Im T }[/math]): יהי [math]\displaystyle{ x=a_1Tv_1+...+a_nTv_n }[/math]. כיוון שT לינארית,

[math]\displaystyle{ x=T(a_1v_1+...+a_nv_n)\in Im T }[/math]

כיוון שני ([math]\displaystyle{ Im T\subseteq span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]): יהי [math]\displaystyle{ w\in Im T }[/math], אז קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ w=Tv }[/math]. נציג את v כצירוף לינארי של איברי הבסיס, [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ w=Tv=a_1Tv_1+...+a_nTv_n\in span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]

שימו לב: אין זה אומר ש[math]\displaystyle{ \dim Im T=n }[/math], כי ייתכן מאוד ש[math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math] תלויים לינארית. אבל זו הדרך למצוא בסיס לתמונה: מפעילים את T על בסיס של התחום, ומצמצמים את הקבוצה הפורשת שהתקבלה לבסיס.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 2:30:13

• תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, כאשר [math]\displaystyle{ V }[/math] נוצר סופית, אזי [math]\displaystyle{ \dim \ker T +\dim Im T = \dim V }[/math]

הוכחה. (כאן V נוצר סופית.) הגרעין הוא תת מרחב של V, ולכן גם הוא נוצר סופית ויש לו בסיס [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_k\} }[/math]. נשלים אותו לבסיס של V:

[math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_k,v_{k+1},...,v_n\} }[/math]

כבר עכשיו [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \dim\ker T=k }[/math], ולכן נותר להוכיח ש[math]\displaystyle{ \dim Im T=n-k }[/math].

לפי הטענה הקודמת, תמונות איברי הבסיס פורשות את התמונה, וכיוון ש[math]\displaystyle{ Tv_1=...=Tv_k=0_W }[/math]:

[math]\displaystyle{ Im T=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tv_{k+1},...,Tv_n\}=span\{Tv_{k+1},...,Tv_n\} }[/math]

נוכיח שהסדרה [math]\displaystyle{ Tv_{k+1},...,Tv_n }[/math] בת"ל, ואז היא בסיס לתמונה עם [math]\displaystyle{ n-k }[/math] איברים, כפי שרצינו.

יהי צירוף לינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_{k+1}Tv_{k+1}+...+a_nTv_n=0_W }[/math]. מהלינאריות,

[math]\displaystyle{ T(a_{k+1}v_{k+1}+...+a_nv_n)=0_W }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ a_{k+1}v_{k+1}+...+a_nv_n\in\ker T }[/math], ואפשר להציגו בעזרת הבסיס של הגרעין: קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ a_{k+1}v_{k+1}+...+a_nv_n=a_1v_1+...+a_kv_k }[/math]

נעביר אגף:

[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k-a_{k+1}v_{k+1}-...-a_nv_n=0_V }[/math]

זהו צירוף לינארי מתאפס של איברי בסיס של V, ולכן כל הסקלרים בו אפס, ובפרט [math]\displaystyle{ a_{k+1}=...=a_n=0 }[/math].

(ההוכחה עובדת גם במקרי הקצה: אם [math]\displaystyle{ \ker T=\{0_V\} }[/math] אז [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] ובסיס הגרעין ריק, ואם [math]\displaystyle{ \ker T=V }[/math] אז [math]\displaystyle{ k=n }[/math], T היא העתקת האפס והתמונה היא [math]\displaystyle{ \{0_W\} }[/math].)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 2:38:16

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \dim N(A) + rank(A)=n }[/math]

הוכחה. נביט בהעתקת המטריצה [math]\displaystyle{ T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m }[/math], [math]\displaystyle{ T_Av=Av }[/math]. הגרעין שלה הוא בדיוק מרחב האפס:

[math]\displaystyle{ \ker T_A=\{v\in\mathbb{F}^n|Av=0\}=N(A) }[/math]

והתמונה שלה היא מרחב העמודות, כי כפל של A בוקטור הוא צירוף לינארי של עמודות A עם מקדמי הוקטור:

[math]\displaystyle{ Im T_A=\{Av|v\in\mathbb{F}^n\} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\{x_1C_1(A)+...+x_nC_n(A)|x_1,...,x_n\in\mathbb{F}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ =C(A) }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ rank(A)=\dim C(A) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \dim\mathbb{F}^n=n }[/math], משפט הדרגה עבור [math]\displaystyle{ T_A }[/math] נותן בדיוק [math]\displaystyle{ \dim N(A)+rank(A)=n }[/math].

דרך נוספת, כפי שראינו בפרק על דרגה של מטריצה: הדרגה שווה למספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math], ומימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים. כל אחד מn המשתנים הוא תלוי או חופשי, ולכן הסכום הוא n.

▶ הדרך השנייה בהרצאה מ־28.7.26, החל מהדקה 2:22:27

• תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
  • אם T חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq \dim W }[/math]
  • אם T על אזי [math]\displaystyle{ \dim V \geq \dim W }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ \dim V = \dim W }[/math] אזי T חח"ע אם"ם T על.

הוכחה. כל הסעיפים נובעים ממשפט הדרגה [math]\displaystyle{ \dim V=\dim\ker T+\dim Im T }[/math], יחד עם: T חח"ע אם"ם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math], ו־T על אם"ם [math]\displaystyle{ \dim Im T=\dim W }[/math].

סעיף 1: אם T חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \dim V=\dim Im T\leq\dim W }[/math] (כי התמונה היא תת מרחב של W).

סעיף 2: אם T על אז [math]\displaystyle{ \dim Im T=\dim W }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \dim V=\dim\ker T+\dim W\geq\dim W }[/math].

סעיף 3: נניח [math]\displaystyle{ \dim V=\dim W }[/math]. אם T חח"ע, אז [math]\displaystyle{ \dim Im T=\dim V-0=\dim W }[/math] ולכן T על. להפך, אם T על, אז [math]\displaystyle{ \dim\ker T=\dim V-\dim Im T=\dim V-\dim W=0 }[/math] ולכן T חח"ע.

(בניסוח שקול: אם [math]\displaystyle{ \dim V<\dim W }[/math] אז T אינה על, ואם [math]\displaystyle{ \dim V>\dim W }[/math] אז T אינה חח"ע.)

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 2:56:56

• העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
• מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפיים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם ביניהם (זהו יחס שקילות).
• מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.

• יהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] איזומורפיזם. אזי:
  • לכל סדרה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in V }[/math], הסדרה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] בת"ל אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math] בת"ל
  • לכל סדרה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ v\in span\{v_1,...,v_n\} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ Tv\in span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]
  • אם V נוצר סופית, אזי גם W נוצר סופית ו־[math]\displaystyle{ \dim V=\dim W }[/math]
• זו המסגרת הרשמית שמאפשרת להחליף וקטורים (למשל פולינומים או מטריצות) בוקטורי המקדמים שלהם, ולעבוד עם וקטורי המקדמים.

תרגול

• תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

• יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
• אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
  • [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]

הוכחה. קיום: הבסיס פורש את V, ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] קיים צירוף לינארי כזה.

יחידות: נניח ש

[math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]

[math]\displaystyle{ x=b_1v_1+...+b_nv_n }[/math]

נחסר ונקבל

[math]\displaystyle{ 0_V=(a_1-b_1)v_1+...+(a_n-b_n)v_n }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] בת"ל, כל המקדמים בצירוף לינארי מתאפס זה הם אפס: [math]\displaystyle{ a_i-b_i=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_i=b_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 1:04:24

• יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
• תהיינה סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_n\in W }[/math] לאו דווקא שונים.
• אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
  • לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]

הוכחה. יחידות: תהיינה [math]\displaystyle{ T,S:V\to W }[/math] העתקות לינאריות כך ש[math]\displaystyle{ Tv_i=Sv_i=w_i }[/math] לכל i. יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], ונציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס, [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]. מהלינאריות,

[math]\displaystyle{ Tv=a_1Tv_1+...+a_nTv_n=a_1w_1+...+a_nw_n }[/math]

[math]\displaystyle{ Sv=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ Tv=Sv }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T=S }[/math].

קיום: הוכחת היחידות כבר מראה איך ההעתקה חייבת להיראות, ולכן כך נגדיר אותה. בהינתן [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], יהיו [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n }[/math] הסקלרים מההצגה היחידה [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math] (הקואורדינטות של v לפי הבסיס), ונגדיר

[math]\displaystyle{ Tv=a_1w_1+...+a_nw_n }[/math]

כלומר כופלים את הקואורדינטות של הוקטור לפי בסיס התחום בתמונות של איברי הבסיס. בזכות יחידות ההצגה, זו אכן פונקציה מV לW. נותר להוכיח שני דברים:

(1) [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math] לכל i: ההצגה של [math]\displaystyle{ v_i }[/math] היא [math]\displaystyle{ v_i=0\cdot v_1+...+1\cdot v_i+...+0\cdot v_n }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ Tv_i=0\cdot w_1+...+1\cdot w_i+...+0\cdot w_n=w_i }[/math]

(2) T לינארית: יהיו [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in V }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math], עם ההצגות [math]\displaystyle{ x_1=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_2=b_1v_1+...+b_nv_n }[/math]. לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ Tx_1=a_1w_1+...+a_nw_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Tx_2=b_1w_1+...+b_nw_n }[/math]. מצד שני

[math]\displaystyle{ x_1+cx_2=(a_1+cb_1)v_1+...+(a_n+cb_n)v_n }[/math]

וזו ההצגה של [math]\displaystyle{ x_1+cx_2 }[/math] לפי הבסיס, ולכן

[math]\displaystyle{ T(x_1+cx_2)=(a_1+cb_1)w_1+...+(a_n+cb_n)w_n=Tx_1+cTx_2 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] זו האדיטיביות, ועבור [math]\displaystyle{ x_1=0_V }[/math] (שלפי ההגדרה [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]) זו ההומוגניות.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 1:13:18

דוגמה: הוכיחו שקיימת העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}_2[x] }[/math] שהתמונה שלה היא כל הקווים הישרים, כלומר [math]\displaystyle{ Im T=\{ax+b|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math].

נביט בבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ \{e_1,e_2\} }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]. לפי משפט ההגדרה מותר לשלוח כל איבר בסיס לאן שנרצה, ולכן קיימת העתקה לינארית המקיימת

[math]\displaystyle{ Te_1=x,\quad Te_2=1 }[/math]

תמונות איברי הבסיס פורשות את התמונה, ולכן

[math]\displaystyle{ Im T=span\{x,1\}=\{ax+b|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]

(בנוסחא מפורשת, זו ההעתקה [math]\displaystyle{ T(a,b)=ax+b }[/math].)

▶ הפתרון בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 28:13

דוגמה: האם קיימת העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^{2\times 2} }[/math] שאינה העתקת האפס, כך ש[math]\displaystyle{ (1,2,3)\in\ker T }[/math]?

כן. נשלים את הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ \{(1,2,3),v_2,v_3\} }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ v_2=(0,1,0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ v_3=(0,0,1) }[/math]). לפי משפט ההגדרה, קיימת העתקה לינארית המקיימת

[math]\displaystyle{ T(1,2,3)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\quad Tv_2=Tv_3=\begin{pmatrix}6&7\\6&7\end{pmatrix} }[/math]

אז [math]\displaystyle{ (1,2,3)\in\ker T }[/math], ו־T אינה העתקת האפס כי [math]\displaystyle{ Tv_2\neq 0 }[/math].

ההגבלה היחידה היא שהוקטורים שעליהם מגדירים את ההעתקה יהיו בסיס; מעבר לזה מותר לשלוח כל איבר בסיס לאן שרוצים.

▶ הפתרון בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 32:39

מטריצה מייצגת העתקה

קואורדינטות

• יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
• לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלרים מההצגה היחידה:
  • [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n }[/math]

• מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!

דוגמה: נביט בבסיס [math]\displaystyle{ B=(1+x,1-x,x^2) }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x] }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ [1+x+x^2]_B }[/math]; מצאו את הפולינום p שעבורו [math]\displaystyle{ [p]_B=\begin{pmatrix}1\\6\\7\end{pmatrix} }[/math]; ומצאו נוסחה כללית ל־[math]\displaystyle{ [a+bx+cx^2]_B }[/math].

מתקיים [math]\displaystyle{ [1+x+x^2]_B=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} }[/math], כי

[math]\displaystyle{ 1+x+x^2=1\cdot(1+x)+0\cdot(1-x)+1\cdot x^2 }[/math]

מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ p=1\cdot(1+x)+6\cdot(1-x)+7\cdot x^2=7-5x+7x^2 }[/math]

לנוסחה הכללית נסמן [math]\displaystyle{ [a+bx+cx^2]_B=\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix} }[/math], ונכפול את הקואורדינטות באיברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ \alpha(1+x)+\beta(1-x)+\gamma x^2=a+bx+cx^2 }[/math]

מהשוואת מקדמים מקבלים [math]\displaystyle{ \alpha+\beta=a }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha-\beta=b }[/math], [math]\displaystyle{ \gamma=c }[/math]. נדרג:

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&a\\1&-1&0&b\\0&0&1&c\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&a\\0&-2&0&b-a\\0&0&1&c\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \to\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&a\\0&1&0&\frac{a-b}{2}\\0&0&1&c\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&\frac{a+b}{2}\\0&1&0&\frac{a-b}{2}\\0&0&1&c\end{array}\right) }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ [a+bx+cx^2]_B=\begin{pmatrix}\frac{a+b}{2}\\ \frac{a-b}{2}\\ c\end{pmatrix} }[/math]

למשל [math]\displaystyle{ [1+x^2]_B=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix} }[/math], ואכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(1-x)+x^2=1+x^2 }[/math].

▶ הפתרון בהרצאה מ־4.8.26, החל מהדקה 44:58

• נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Tv=[v]_B }[/math], אזי T היא איזומורפיזם. לכן
  • [math]\displaystyle{ [a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B }[/math]
  • הסדרה [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] בת"ל אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
  • [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ [v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]

משפט קיום ויחידות

• יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
• נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
• נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
• תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית.
• אזי:
  • קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] המקיימת:
  • לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math]

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ B=(v_1,...,v_n) }[/math].

יחידות: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה המקיימת [math]\displaystyle{ A[v]_B=[Tv]_C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. בפרט זה נכון לאיברי הבסיס. כיוון ש[math]\displaystyle{ [v_i]_B=e_i }[/math], ו־[math]\displaystyle{ Ae_i }[/math] היא העמודה הi של A, מקבלים לכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math]:

[math]\displaystyle{ C_i(A)=Ae_i=A[v_i]_B=[Tv_i]_C }[/math]

כלומר כל עמודות A נקבעות ביחידות, ו־A חייבת להיות

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}| & & | \\ \left[Tv_1\right]_C & \cdots & \left[Tv_n\right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} }[/math]

קיום: נוכיח שהמטריצה הזו אכן מקיימת את הדרישה. יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], ונציג [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ [v]_B=(\alpha_1,...,\alpha_n)^T }[/math]. כפל מטריצה בוקטור הוא צירוף לינארי של עמודותיה, והעתקת הקואורדינטות לינארית, ולכן

[math]\displaystyle{ A[v]_B=\alpha_1[Tv_1]_C+...+\alpha_n[Tv_n]_C }[/math]

[math]\displaystyle{ =[\alpha_1Tv_1+...+\alpha_nTv_n]_C }[/math]

[math]\displaystyle{ =[T(\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n)]_C=[Tv]_C }[/math]

הוכחת היחידות נתנה לנו בדיוק את הנוסחה למציאת המטריצה המייצגת, שמופיעה מטה.

▶ ההוכחה בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 19:52

• על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
  • נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
  • נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
  • נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.

• [math]\displaystyle{ [T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]

• הגרעין והתמונה של T מתקבלים ממרחבי המטריצה המייצגת:
  • [math]\displaystyle{ N\left([T]_C^B\right)=[\ker T]_B=\{[v]_B|v\in\ker T\} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ C\left([T]_C^B\right)=[Im T]_C=\{[w]_C|w\in Im T\} }[/math]
  • בפרט [math]\displaystyle{ \dim\ker T=\dim N\left([T]_C^B\right) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \dim Im T=rank\left([T]_C^B\right) }[/math]
• שימו לב: מרחב האפס של המטריצה המייצגת אינו הגרעין עצמו, אלא אוסף הקואורדינטות של איברי הגרעין. כדי לקבל את איברי הגרעין, כופלים את הקואורדינטות באיברי הבסיס B.

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ B=(v_1,...,v_n) }[/math], ונשתמש בכך ש[math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], ובכך שהעתקות הקואורדינטות הן איזומורפיזמים.

מרחב האפס, כיוון ראשון ([math]\displaystyle{ [\ker T]_B\subseteq N\left([T]_C^B\right) }[/math]): יהי [math]\displaystyle{ v\in\ker T }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C=[0_W]_C=\vec{0} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ [v]_B\in N\left([T]_C^B\right) }[/math].

מרחב האפס, כיוון שני: יהי [math]\displaystyle{ x\in N\left([T]_C^B\right) }[/math]. העתקת הקואורדינטות על, ולכן קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ [v]_B=x }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ \vec{0}=[T]_C^Bx=[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ Tv=0_W }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v\in\ker T }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=[v]_B\in[\ker T]_B }[/math].

מרחב העמודות, כיוון ראשון ([math]\displaystyle{ [Im T]_C\subseteq C\left([T]_C^B\right) }[/math]): יהי [math]\displaystyle{ w=Tv\in Im T }[/math], ונציג [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]. אז [math]\displaystyle{ Tv=a_1Tv_1+...+a_nTv_n }[/math], ומהלינאריות של הקואורדינטות

[math]\displaystyle{ [Tv]_C=a_1[Tv_1]_C+...+a_n[Tv_n]_C }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ [Tv_1]_C,...,[Tv_n]_C }[/math] הן בדיוק עמודות המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_C^B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ [Tv]_C\in C\left([T]_C^B\right) }[/math].

מרחב העמודות, כיוון שני: יהי [math]\displaystyle{ x\in C\left([T]_C^B\right) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=a_1[Tv_1]_C+...+a_n[Tv_n]_C }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ [w]_C=x }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ [w]_C=a_1[Tv_1]_C+...+a_n[Tv_n]_C=[T(a_1v_1+...+a_nv_n)]_C }[/math]

וכיוון שהעתקת הקואורדינטות חח"ע, [math]\displaystyle{ w=T(a_1v_1+...+a_nv_n)\in Im T }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ x=[w]_C\in[Im T]_C }[/math].

בפרט: העתקת הקואורדינטות היא איזומורפיזם, ולכן היא שולחת בסיס של [math]\displaystyle{ \ker T }[/math] לסדרה בת"ל הפורשת את [math]\displaystyle{ [\ker T]_B }[/math], כלומר לבסיס שלו. לכן [math]\displaystyle{ \dim\ker T=\dim N\left([T]_C^B\right) }[/math], ובאותו אופן [math]\displaystyle{ \dim Im T=\dim C\left([T]_C^B\right)=rank\left([T]_C^B\right) }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 2:42:43

דוגמה: תהי [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}_1[x] }[/math] העתקת הגזירה [math]\displaystyle{ Dp=p' }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ B=(1+x,1-x^2,x-x^2) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ C=(1,x) }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ [D]_C^B }[/math]. לאחר מכן מצאו את [math]\displaystyle{ [D]_{C'}^B }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C'=(1+x,1-x) }[/math].

מפעילים את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום:

[math]\displaystyle{ D(1+x)=1,\quad D(1-x^2)=-2x,\quad D(x-x^2)=1-2x }[/math]

מוצאים את הקואורדינטות של התמונות לפי הבסיס של הטווח. לפי C זה קל, כי זה הבסיס הסטנדרטי (וזה בדיוק מה ש"בסיס סטנדרטי" אומר: בסיס שקל למצוא לפיו קואורדינטות):

[math]\displaystyle{ [1]_C=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad[-2x]_C=\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix},\quad[1-2x]_C=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} }[/math]

ושמים אותן בעמודות:

[math]\displaystyle{ [D]_C^B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-2&-2\end{pmatrix} }[/math]

לפי [math]\displaystyle{ C'=(1+x,1-x) }[/math] צריך קודם נוסחה כללית לקואורדינטות. יהי איבר כללי בטווח [math]\displaystyle{ a+bx\in\mathbb{R}_1[x] }[/math], ונחפש [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ a+bx=\alpha(1+x)+\beta(1-x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc|c}1&1&a\\1&-1&b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc|c}1&1&a\\0&-2&b-a\end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \to\left(\begin{array}{cc|c}1&1&a\\0&1&\frac{a-b}{2}\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc|c}1&0&\frac{a+b}{2}\\0&1&\frac{a-b}{2}\end{array}\right) }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ [a+bx]_{C'}=\begin{pmatrix}\frac{a+b}{2}\\ \frac{a-b}{2}\end{pmatrix} }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ [1]_{C'}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix},\quad[-2x]_{C'}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix},\quad[1-2x]_{C'}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ [D]_{C'}^B=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-1&-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&1&\frac{3}{2}\end{pmatrix} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 1:12:39

המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית

• יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו ממימד סופי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בהתאמה.
• תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
• אזי
  • [math]\displaystyle{ [T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ S:V\to W }[/math] העתקה לינארית נוספת)
  • [math]\displaystyle{ [\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C }[/math]
  • [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ S:W\to U }[/math] העתקה לינארית ו-[math]\displaystyle{ D }[/math] בסיס של מ"ו נוצר סופית [math]\displaystyle{ U }[/math])
  • ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה
    • אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1} }[/math]

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ B=(v_1,...,v_n) }[/math].

חיבור וכפל בסקלר (כאן גם [math]\displaystyle{ S:V\to W }[/math] העתקה לינארית): לפי הנוסחה למטריצה המייצגת, העמודה הi של [math]\displaystyle{ [T+S]^B_C }[/math] היא

[math]\displaystyle{ [(T+S)v_i]_C=[Tv_i+Sv_i]_C=[Tv_i]_C+[Sv_i]_C }[/math]

(הקואורדינטות לינאריות), וזו בדיוק העמודה הi של [math]\displaystyle{ [T]^B_C+[S]^B_C }[/math]. באותו אופן העמודה הi של [math]\displaystyle{ [\alpha T]^B_C }[/math] היא [math]\displaystyle{ [\alpha Tv_i]_C=\alpha[Tv_i]_C }[/math].

הרכבה (כאן [math]\displaystyle{ S:W\to U }[/math] העתקה לינארית ו־D בסיס של U): ההרכבה [math]\displaystyle{ S\circ T:V\to U }[/math] היא העתקה לינארית, ולפי משפט הקיום והיחידות קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B[v]_B=[S(Tv)]_D }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. לכן מספיק להוכיח שגם [math]\displaystyle{ [S]^C_D[T]_C^B }[/math] מקיימת זאת, ואז מהיחידות שתי המטריצות שוות. אכן, מהאסוציאטיביות של כפל מטריצות:

[math]\displaystyle{ \left([S]^C_D[T]_C^B\right)[v]_B=[S]^C_D\left([T]_C^B[v]_B\right)=[S]^C_D[Tv]_C=[S(Tv)]_D }[/math]

▶ הוכחת נוסחת ההרכבה בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 2:14:09

הפיכות: נשתמש בכך ש[math]\displaystyle{ [I]_C^C }[/math] (העתקת הזהות, עם אותו בסיס בתחום ובטווח) היא מטריצת היחידה: העמודה הi שלה היא [math]\displaystyle{ [c_i]_C=e_i }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ c_i }[/math] האיבר הi של C.

נניח שT הפיכה. ההופכית [math]\displaystyle{ T^{-1}:W\to V }[/math] היא העתקה לינארית, ולפי נוסחת ההרכבה

[math]\displaystyle{ [T]^B_C[T^{-1}]^C_B=[T\circ T^{-1}]^C_C=[I]^C_C=I }[/math]

כמו כן T חח"ע ועל, ולכן לפי מסקנות משפט הדרגה [math]\displaystyle{ \dim V=\dim W }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] ריבועית. עבור מטריצות ריבועיות מספיק שהמכפלה בצד אחד היא מטריצת היחידה, ולכן [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה ו־[math]\displaystyle{ \left([T]^B_C\right)^{-1}=[T^{-1}]^C_B }[/math]. כך קיבלנו על הדרך גם את הסעיף האחרון.

להפך, נניח ש[math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה. אז היא ריבועית, ולכן [math]\displaystyle{ \dim V=\dim W }[/math]. כיוון שהמטריצה הפיכה, למערכת ההומוגנית שלה יש רק הפתרון הטריוויאלי, ולפי הטענה על מרחב האפס של המטריצה המייצגת:

[math]\displaystyle{ [\ker T]_B=N\left([T]^B_C\right)=\{\vec{0}\} }[/math]

לכן כל [math]\displaystyle{ v\in\ker T }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ [v]_B=\vec{0} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math]. אם כן [math]\displaystyle{ \ker T=\{0_V\} }[/math] ו־T חח"ע, וכיוון ש[math]\displaystyle{ \dim V=\dim W }[/math] היא גם על, ולכן הפיכה.

▶ הוכחת ההפיכות בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 3:05:54

מטריצות מעבר בין בסיסים

• תהי [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] העתקת הזהות, ויהיו B,C בסיסים סדורים של V. לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [I]_C^B[v]_B=[Iv]_C=[v]_C }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ [I]_C^B }[/math] נקראת מטריצת מעבר בין הבסיסים: היא לא משנה את הוקטור, אלא רק הופכת את הקואורדינטות שלו לפי B לקואורדינטות שלו לפי C.
• שימו לב: [math]\displaystyle{ [I]_C^C }[/math] היא מטריצת היחידה, אבל עבור בסיסים שונים באופן כללי [math]\displaystyle{ [I]_C^B\neq I }[/math].

• [math]\displaystyle{ [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C }[/math]

הוכחה. נפעיל פעמיים את הנוסחה [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B }[/math] למטריצה המייצגת הרכבה (כאן [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, [math]\displaystyle{ B_1,B_2 }[/math] בסיסים של V, [math]\displaystyle{ C_1,C_2 }[/math] בסיסים של W, וI היא העתקת הזהות של V או של W בהתאמה):

[math]\displaystyle{ [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[I]_{C_2}^{C_1}[T\circ I]_{C_1}^{B_2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =[I\circ T\circ I]_{C_2}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2} }[/math]

לטענה השנייה: העתקת הזהות [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] הפיכה ו־[math]\displaystyle{ I^{-1}=I }[/math]. לכן לפי המשפט על המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית (עם הבסיס B לתחום והבסיס C לטווח):

[math]\displaystyle{ \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I^{-1}]_B^C=[I]_B^C }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 2:27:55

שלוש צורות הצגת ההעתקה

• ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
  • נוסחא מפורשת
  • לפי בסיס
  • בעזרת מטריצה מייצגת

• צריך לדעת לעבור בין שלוש הצורות. לכל צורה יתרון משלה: את הגרעין הכי קל למצוא מנוסחא מפורשת; את התמונה הכי קל למצוא מהצגה לפי בסיס (תמונות איברי הבסיס פורשות את התמונה); והמטריצה המייצגת עוזרת למצוא גרעין ותמונה בעזרת דירוג, ובעיקר לחשב הרכבה והעתקה הופכית.
• כדי לעבור מהצגה לפי בסיס לנוסחא מפורשת, מציגים איבר כללי של התחום כצירוף לינארי של הבסיס (כלומר מוצאים את הקואורדינטות שלו), ומפעילים את ההעתקה על שני הצדדים.

דוגמה: הציגו את העתקת הגזירה [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}_1[x] }[/math] בשלוש הצורות.

נוסחא מפורשת: [math]\displaystyle{ Dp=p' }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ D(a+bx+cx^2)=b+2cx }[/math].

לפי בסיס: [math]\displaystyle{ D(1)=0,\quad D(x)=1,\quad D(x^2)=2x }[/math]

מטריצה מייצגת לפי הבסיסים [math]\displaystyle{ B=(1,x,x^2) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ C=(1,x) }[/math]: הקואורדינטות לפי C של [math]\displaystyle{ D(1),D(x),D(x^2) }[/math] הן העמודות, ולכן

[math]\displaystyle{ [D]_C^B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} }[/math]

▶ הפתרון בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 1:07:36

דוגמה: תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}^{2\times 2} }[/math] ההעתקה הלינארית המקיימת

[math]\displaystyle{ T(1+x)=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\quad T(x+x^2)=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix},\quad T(x^2)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} }[/math]

מצאו נוסחא מפורשת לT.

מציגים איבר כללי בתחום כצירוף לינארי של הבסיס שעליו מוגדרת ההעתקה. יהי [math]\displaystyle{ a+bx+cx^2\in\mathbb{R}_2[x] }[/math], ונחפש [math]\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ a+bx+cx^2=\alpha(1+x)+\beta(x+x^2)+\gamma x^2 }[/math]

מהשוואת מקדמים:

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&a\\1&1&0&b\\0&1&1&c\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&a\\0&1&0&b-a\\0&0&1&c-b+a\end{array}\right) }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ a+bx+cx^2=a(1+x)+(b-a)(x+x^2)+(c-b+a)x^2 }[/math]

נפעיל את T על שני הצדדים ונשתמש בלינאריות:

[math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^2)=a\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}+(b-a)\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}+(c-b+a)\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}b&2a-b+c\\2b-2a-c&0\end{pmatrix} }[/math]

(בדיקה: עבור [math]\displaystyle{ a=b=1,c=0 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ T(1+x)=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} }[/math], כנדרש.)

▶ הפתרון בהרצאה מ־9.8.26, החל מהדקה 1:56:25

תרגול

• תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
• תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
• תרגול נוסף בנושא העתקות

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

📄 דף נושא: תמורות - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

• נגדיר את אוסף התמורות [math]\displaystyle{ S_n }[/math] להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,2,...,n\} }[/math] לעצמה.

• לכל תמורה (פונקציה) [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math] נגדיר את סימן התמורה [math]\displaystyle{ sign(f)=\prod_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i} }[/math]
• תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.

דוגמה: חשבו את הסימן של התמורה [math]\displaystyle{ f\in S_3 }[/math] המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ f(1)=2,\ f(2)=3,\ f(3)=1 }[/math]. ברישום דו־שורתי [math]\displaystyle{ f=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix} }[/math] (בשורה העליונה התחום, ובשורה התחתונה התמונה של כל איבר).

נכפול על פני כל הזוגות [math]\displaystyle{ i<j }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (1,2),(1,3),(2,3) }[/math]:

[math]\displaystyle{ sign(f)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\cdot\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\cdot\frac{f(3)-f(2)}{3-2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{3-2}{2-1}\cdot\frac{1-2}{3-1}\cdot\frac{1-3}{3-2}=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-2)=1 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] תמורה חיובית (זוגית). שימו לב שבמונה ובמכנה מופיעים אותם ההפרשים בדיוק, רק בסדר אחר ואולי עם סימן הפוך, ולכן הכל מצטמצם עד כדי סימן (כאן יצא פלוס).

([math]\displaystyle{ f }[/math] היא המחזור [math]\displaystyle{ (1\ 2\ 3) }[/math], וזה מתאים לנוסחה [math]\displaystyle{ (-1)^{3-1}=1 }[/math] שמופיעה בהמשך.) ▶ הפתרון בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 34:08

• הסימן של כל תמורה הוא אכן [math]\displaystyle{ 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ -1 }[/math], ולכן כל תמורה היא חיובית או שלילית.

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math]. הגורם [math]\displaystyle{ \frac{f(j)-f(i)}{j-i} }[/math] אינו משתנה אם מחליפים בין [math]\displaystyle{ i }[/math] ל־[math]\displaystyle{ j }[/math] (גם המונה וגם המכנה מחליפים סימן), ולכן אפשר לחשוב על המכפלה כעל מכפלה על פני כל הזוגות הלא סדורים [math]\displaystyle{ \{i,j\} }[/math].

במכנה מופיעה המכפלה [math]\displaystyle{ \prod_{i<j}(j-i) }[/math] של ההפרשים בין כל זוגות האיברים השונים. כיוון ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה (חח"ע ועל), כאשר [math]\displaystyle{ \{i,j\} }[/math] עובר על כל הזוגות, גם [math]\displaystyle{ \{f(i),f(j)\} }[/math] עובר על כל הזוגות, כל זוג בדיוק פעם אחת. לכן במונה מופיעים בדיוק אותם ההפרשים, אלא שחלקם בכיוון ההפוך (כלומר עם סימן מינוס):

[math]\displaystyle{ \prod_{i<j}|f(j)-f(i)|=\prod_{i<j}(j-i) }[/math]

לכן המונה שווה למכנה עד כדי סימן, כלומר [math]\displaystyle{ sign(f)=\pm 1 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 37:03

• כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי [math]\displaystyle{ sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g) }[/math]

הוכחה. לכל [math]\displaystyle{ i<j }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ g(i)\neq g(j) }[/math] (כי [math]\displaystyle{ g }[/math] חח"ע), ולכן מותר לכפול ולחלק ב־[math]\displaystyle{ g(j)-g(i) }[/math]:

[math]\displaystyle{ sign(f\circ g)=\prod_{i<j}\frac{f(g(j))-f(g(i))}{j-i} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\prod_{i<j}\frac{f(g(j))-f(g(i))}{g(j)-g(i)}\cdot\prod_{i<j}\frac{g(j)-g(i)}{j-i} }[/math]

המכפלה הימנית היא בדיוק [math]\displaystyle{ sign(g) }[/math].

במכפלה השמאלית כל גורם הוא מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \{a,b\}=\{g(i),g(j)\} }[/math], וביטוי זה אינו תלוי בסדר בין [math]\displaystyle{ a }[/math] ל־[math]\displaystyle{ b }[/math] (אם מחליפים ביניהם, גם המונה וגם המכנה מחליפים סימן). כיוון ש־[math]\displaystyle{ g }[/math] הפיכה, לרוץ על כל הזוגות [math]\displaystyle{ \{i,j\} }[/math] זה בדיוק כמו לרוץ על כל הזוגות [math]\displaystyle{ \{g(i),g(j)\} }[/math]: אותם הזוגות בדיוק, רק בסדר אחר. לכן המכפלה השמאלית שווה ל־[math]\displaystyle{ \prod_{a<b}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=sign(f) }[/math].

סה"כ [math]\displaystyle{ sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g) }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:01:57

• עבור תמורת הזהות [math]\displaystyle{ I\in S_n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ sign(I)=1 }[/math]

הוכחה. לכל [math]\displaystyle{ i<j }[/math] הגורם המתאים במכפלה הוא [math]\displaystyle{ \frac{I(j)-I(i)}{j-i}=\frac{j-i}{j-i}=1 }[/math], ולכן המכפלה כולה שווה 1.

• חילוף הוא תמורה [math]\displaystyle{ (i\ j)\in S_n }[/math] המחליפה בין האיברים [math]\displaystyle{ i,j }[/math] ושולחת את שאר האיברים לעצמם.

• חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).

הוכחה. יהי החילוף [math]\displaystyle{ \tau=(i\ j) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ i<j }[/math]. (בהרצאה ההוכחה נכתבה עבור [math]\displaystyle{ (1\ 2) }[/math] לשם נוחות הכתיבה; ההוכחה הכללית זהה.)

כמו בהוכחה שהסימן הוא [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math], הגורם [math]\displaystyle{ \frac{\tau(b)-\tau(a)}{b-a} }[/math] של זוג [math]\displaystyle{ \{a,b\} }[/math] אינו תלוי בסדר ביניהם. נחלק את הזוגות לשלוש קבוצות:

• זוגות שאינם מכילים את [math]\displaystyle{ i }[/math] ואת [math]\displaystyle{ j }[/math]: שני האיברים נשלחים לעצמם, ולכן הגורם הוא [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{b-a}=1 }[/math].
• הזוג [math]\displaystyle{ \{i,j\} }[/math] עצמו: הגורם הוא [math]\displaystyle{ \frac{\tau(j)-\tau(i)}{j-i}=\frac{i-j}{j-i}=-1 }[/math].
• זוגות המכילים בדיוק אחד מבין [math]\displaystyle{ i,j }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ m\neq i,j }[/math] יש שני זוגות כאלה, [math]\displaystyle{ \{m,i\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \{m,j\} }[/math], ומכפלת הגורמים שלהם היא

[math]\displaystyle{ \frac{\tau(i)-\tau(m)}{i-m}\cdot\frac{\tau(j)-\tau(m)}{j-m}=\frac{j-m}{i-m}\cdot\frac{i-m}{j-m}=1 }[/math]

(המונה של כל גורם מצמצם את המכנה של הגורם האחר).

סה"כ [math]\displaystyle{ sign((i\ j))=1\cdot(-1)\cdot 1=-1 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 1:01:17

• לכל [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math], בדיוק חצי מהתמורות ב־[math]\displaystyle{ S_n }[/math] הן חיוביות, והחצי השני הן שליליות.

הוכחה. נסמן ב־[math]\displaystyle{ P }[/math] את קבוצת התמורות החיוביות וב־[math]\displaystyle{ N }[/math] את קבוצת התמורות השליליות. נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ h:S_n\to S_n }[/math] המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ h(f)=(1\ 2)\circ f }[/math] (כאן משתמשים ב־[math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math]).

• [math]\displaystyle{ h }[/math] היא ההופכית של עצמה, כי [math]\displaystyle{ h(h(f))=(1\ 2)\circ(1\ 2)\circ f=f }[/math].
• לפי כפליות הסימן, ומכיוון שחילוף הוא שלילי, [math]\displaystyle{ sign(h(f))=sign((1\ 2))\cdot sign(f)=-sign(f) }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ h }[/math] שולחת כל תמורה חיובית לשלילית וכל תמורה שלילית לחיובית.

לכן הצמצום של [math]\displaystyle{ h }[/math] ל־[math]\displaystyle{ P }[/math] הוא פונקציה חח"ע מ־[math]\displaystyle{ P }[/math] ל־[math]\displaystyle{ N }[/math], והיא גם על: כל [math]\displaystyle{ g\in N }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ g=h(h(g)) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h(g)\in P }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |P|=|N| }[/math], וכל אחת מהקבוצות מכילה חצי מהתמורות. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:06:40

• מחזור הוא תמורה [math]\displaystyle{ (p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k) }[/math] וסימנו הוא [math]\displaystyle{ (-1)^{k-1} }[/math]
• המחזור שולח כל איבר [math]\displaystyle{ p_{i-1} }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_i }[/math], את [math]\displaystyle{ p_k }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_1 }[/math] ואת שאר האיברים לעצמם.

הוכחה. ראשית נבדוק את השוויון (ההרכבה מופעלת מימין לשמאל). איבר שאינו מבין [math]\displaystyle{ p_1,\dots,p_k }[/math] אינו מוזז על ידי אף אחד מהחילופים. עבור [math]\displaystyle{ i<k }[/math]: החילופים שמימין ל־[math]\displaystyle{ (p_i\ p_{i+1}) }[/math] אינם מזיזים את [math]\displaystyle{ p_i }[/math], החילוף [math]\displaystyle{ (p_i\ p_{i+1}) }[/math] שולח אותו ל־[math]\displaystyle{ p_{i+1} }[/math], והחילופים שמשמאלו אינם מזיזים את [math]\displaystyle{ p_{i+1} }[/math]; לכן [math]\displaystyle{ p_i }[/math] נשלח ל־[math]\displaystyle{ p_{i+1} }[/math]. האיבר [math]\displaystyle{ p_k }[/math] נשלח על ידי החילופים, מימין לשמאל, ל־[math]\displaystyle{ p_{k-1} }[/math], אחר כך ל־[math]\displaystyle{ p_{k-2} }[/math], וכן הלאה עד [math]\displaystyle{ p_1 }[/math]. זו בדיוק פעולת המחזור.

כעת, לפי כפליות הסימן, ומכיוון שכל אחד מ־[math]\displaystyle{ k-1 }[/math] החילופים הוא שלילי, הסימן של המחזור הוא [math]\displaystyle{ (-1)^{k-1} }[/math].

• כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.

הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

📄 דף נושא: דטרמיננטה - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

• עבור מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את הדטרמיננטה:
  • [math]\displaystyle{ det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{i=1}^n[A]_{i,f(i)} }[/math]

• עבור מטריצה מסדר [math]\displaystyle{ 1\times 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}=a }[/math], ועבור מטריצה מסדר [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math] מתקיים:
  • [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc }[/math]

הוכחה. ב־[math]\displaystyle{ S_1 }[/math] יש תמורה אחת בלבד, הזהות, וסימנה 1, ולכן הדטרמיננטה היא [math]\displaystyle{ sign(I)\cdot[A]_{1,1}=a }[/math].

ב־[math]\displaystyle{ S_2 }[/math] יש שתי תמורות: הזהות [math]\displaystyle{ I }[/math], שסימנה 1, והחילוף [math]\displaystyle{ f=(1\ 2) }[/math], שסימנו [math]\displaystyle{ \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{1-2}{2-1}=-1 }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=sign(I)\cdot[A]_{1,1}[A]_{2,2}+sign(f)\cdot[A]_{1,2}[A]_{2,1} }[/math]

[math]\displaystyle{ =ad-bc }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 47:36

• הערה (העשרה): עבור מטריצה ממשית, הערך המוחלט של הדטרמיננטה הוא הנפח של המקבילון שנוצר משורות המטריצה. במטריצה [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math] זה השטח של המקבילית שנוצרת משתי השורות.

דוגמה: חשבו את [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix} }[/math].

[math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}=1\cdot 0-2\cdot 1=-2 }[/math]

אכן, המקבילית שנוצרת מהווקטורים [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] היא בעלת בסיס באורך 1 (לאורך [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]) וגובה 2, ולכן שטחה הוא [math]\displaystyle{ 2=|-2| }[/math]. ▶ הפתרון בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 53:41

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ 1\leq i\neq j\leq n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_j(A) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math]
• כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ a_{k,l}=[A]_{k,l} }[/math] ויהי החילוף [math]\displaystyle{ \tau=(i\ j) }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math]). נסמן ב־[math]\displaystyle{ P }[/math] את קבוצת התמורות החיוביות.

נחלק את התמורות לזוגות: לכל תמורה חיובית [math]\displaystyle{ f }[/math] נתאים את [math]\displaystyle{ f\circ\tau }[/math]. לפי כפליות הסימן [math]\displaystyle{ sign(f\circ\tau)=sign(f)\cdot(-1)=-1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f\circ\tau }[/math] שלילית. ההתאמה [math]\displaystyle{ f\mapsto f\circ\tau }[/math] היא חח"ע ועל מהתמורות החיוביות לשליליות (ההופכית שלה היא [math]\displaystyle{ g\mapsto g\circ\tau }[/math], כי [math]\displaystyle{ \tau\circ\tau=I }[/math]). לכן

[math]\displaystyle{ \det(A)=\sum_{f\in P}\left(\prod_{k=1}^n a_{k,f(k)}-\prod_{k=1}^n a_{k,f(\tau(k))}\right) }[/math]

נראה שכל הסוגריים שווים לאפס. התמורה [math]\displaystyle{ f\circ\tau }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] בכל מקום פרט ל־[math]\displaystyle{ i,j }[/math], ושם [math]\displaystyle{ f(\tau(i))=f(j) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(\tau(j))=f(i) }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_{k,f(\tau(k))}=a_{i,f(j)}\cdot a_{j,f(i)}\cdot\prod_{k\neq i,j}a_{k,f(k)} }[/math]

כיוון ש־[math]\displaystyle{ R_i(A)=R_j(A) }[/math], בשורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] ובשורה ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] יושב אותו מספר בכל עמודה, ולכן [math]\displaystyle{ a_{i,f(j)}=a_{j,f(j)} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{j,f(i)}=a_{i,f(i)} }[/math]. מכאן

[math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_{k,f(\tau(k))}=a_{i,f(i)}\cdot a_{j,f(j)}\cdot\prod_{k\neq i,j}a_{k,f(k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\prod_{k=1}^n a_{k,f(k)} }[/math]

כלומר המחוברים מתבטלים בזוגות, ו־[math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:10:42

• אם באחת השורות של [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] כל האיברים הם אפס (שורת אפסים), אזי [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math].

הוכחה. נניח שהשורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] היא שורת אפסים. בכל מחובר [math]\displaystyle{ sign(f)\prod_{k=1}^n[A]_{k,f(k)} }[/math] בהגדרת הדטרמיננטה מופיע נציג מהשורה הזו, הגורם [math]\displaystyle{ [A]_{i,f(i)}=0 }[/math], ולכן כל המחוברים מתאפסים. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:34:10

• לינאריות בשורה אחת: תהיינה [math]\displaystyle{ A,B,C\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math], יהי [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math], כך שלכל [math]\displaystyle{ k\neq i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ R_k(A)=R_k(B)=R_k(C) }[/math], וכן [math]\displaystyle{ R_i(C)=R_i(A)+c\cdot R_i(B) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ |C|=|A|+c\cdot|B| }[/math]
• כלומר, כאשר כל השורות פרט לשורה אחת קבועות, הדטרמיננטה לינארית בשורה הנותרת.

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ a_{k,l}=[A]_{k,l} }[/math], [math]\displaystyle{ b_{k,l}=[B]_{k,l} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_{k,l}=[C]_{k,l} }[/math] (הסקלר [math]\displaystyle{ c }[/math] אינו קשור לאיברי [math]\displaystyle{ C }[/math]). בכל מכפלה נוציא הצידה את הגורם שמהשורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] (מותר לפי חוק החילוף):

[math]\displaystyle{ |C|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{k=1}^n c_{k,f(k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{f\in S_n}sign(f)\,c_{i,f(i)}\prod_{k\neq i}c_{k,f(k)} }[/math]

לפי הנתון [math]\displaystyle{ c_{i,f(i)}=a_{i,f(i)}+c\cdot b_{i,f(i)} }[/math], ולכן לפי חוק הפילוג

[math]\displaystyle{ |C|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\,a_{i,f(i)}\prod_{k\neq i}c_{k,f(k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ +\,c\cdot\sum_{f\in S_n}sign(f)\,b_{i,f(i)}\prod_{k\neq i}c_{k,f(k)} }[/math]

בשורות [math]\displaystyle{ k\neq i }[/math] שלוש המטריצות שוות, ולכן במחובר הראשון אפשר להחליף את [math]\displaystyle{ c_{k,f(k)} }[/math] ב־[math]\displaystyle{ a_{k,f(k)} }[/math], ובשני ב־[math]\displaystyle{ b_{k,f(k)} }[/math]:

[math]\displaystyle{ |C|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{k=1}^n a_{k,f(k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ +\,c\cdot\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{k=1}^n b_{k,f(k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =|A|+c\cdot|B| }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:37:10

דוגמה: בדקו את הטענה עבור [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c=-1 }[/math].

לשלוש המטריצות אותה שורה ראשונה, ו־[math]\displaystyle{ R_2(C)=(3,4)-(1,1)=(2,3)=R_2(A)-R_2(B) }[/math]. לפי הטענה צריך להתקיים [math]\displaystyle{ |C|=|A|-|B| }[/math]. אכן:

[math]\displaystyle{ |A|=4-6=-2,\quad |B|=1-2=-1,\quad |C|=3-4=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ |A|-|B|=-2-(-1)=-1=|C| }[/math]

▶ הדוגמה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:24:48

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי:
  • אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i+a\cdot R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math]
  • אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ a\cdot R_i }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=a\cdot |A| }[/math]
  • אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=-|A| }[/math]

הוכחה. נסמן ב־[math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_n }[/math] את שורות [math]\displaystyle{ A }[/math], ונשתמש בלינאריות הדטרמיננטה בשורה אחת.

• הוספת כפולה של שורה [math]\displaystyle{ R_i+a\cdot R_j }[/math]: תהי [math]\displaystyle{ A' }[/math] המטריצה שכל שורותיה כמו של [math]\displaystyle{ A }[/math], פרט לשורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] שהיא [math]\displaystyle{ v_j }[/math]. למטריצות [math]\displaystyle{ A,A',B }[/math] אותן השורות פרט לשורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math], ו־[math]\displaystyle{ R_i(B)=v_i+a\cdot v_j=R_i(A)+a\cdot R_i(A') }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |B|=|A|+a\cdot|A'| }[/math]. אבל ב־[math]\displaystyle{ A' }[/math] השורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] והשורה ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] שוות שתיהן ל־[math]\displaystyle{ v_j }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |A'|=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math].
• כפל שורה בסקלר [math]\displaystyle{ a\cdot R_i }[/math]: תהי [math]\displaystyle{ Z }[/math] המטריצה שכל שורותיה כמו של [math]\displaystyle{ A }[/math], פרט לשורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] שהיא שורת אפסים. אז [math]\displaystyle{ R_i(B)=a\cdot v_i=R_i(Z)+a\cdot R_i(A) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |B|=|Z|+a\cdot|A|=a\cdot|A| }[/math], כי ב־[math]\displaystyle{ Z }[/math] יש שורת אפסים.
• החלפת שורות [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math]: נבצע על [math]\displaystyle{ A }[/math] ארבע פעולות דירוג. נרשום בסוגריים רק את השורה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] ואת השורה ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] (שאר השורות אינן משתנות):

[math]\displaystyle{ (v_i,v_j)\overset{R_i+R_j}{\longrightarrow}(v_i+v_j,v_j)\overset{R_j-R_i}{\longrightarrow}(v_i+v_j,-v_i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overset{R_i+R_j}{\longrightarrow}(v_j,-v_i)\overset{-R_j}{\longrightarrow}(v_j,v_i) }[/math]

המטריצה המתקבלת היא בדיוק [math]\displaystyle{ B }[/math]. שלוש הפעולות הראשונות אינן משנות את הדטרמיננטה (לפי הסעיף הראשון), והאחרונה כופלת אותה ב־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] (לפי הסעיף השני). לכן [math]\displaystyle{ |B|=-|A| }[/math].

▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:27:54

▶ הטריק להחלפת שורות בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:50:03

• לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ולכל סקלר [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |cA|=c^n|A| }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ |-A|=(-1)^n|A| }[/math] (שימו לב, הסימון [math]\displaystyle{ |A| }[/math] אינו ערך מוחלט).

הוכחה. המטריצה [math]\displaystyle{ cA }[/math] מתקבלת מ־[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי כפל כל אחת מ־[math]\displaystyle{ n }[/math] השורות ב־[math]\displaystyle{ c }[/math]. כל כפל של שורה ב־[math]\displaystyle{ c }[/math] כופל את הדטרמיננטה ב־[math]\displaystyle{ c }[/math] (ההוכחה לעיל תקפה לכל סקלר, גם עבור [math]\displaystyle{ c=0 }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ |cA|=c^n|A| }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:48:15

חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

• עבור מטריצה משולשית [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ a_{k,l}=[A]_{k,l} }[/math]. נראה שהמחובר היחיד בהגדרת הדטרמיננטה שאינו מתאפס בהכרח הוא המחובר של תמורת הזהות, [math]\displaystyle{ sign(I)\prod_{k=1}^n a_{k,k}=\prod_{k=1}^n a_{k,k} }[/math].

נניח ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] משולשית עליונה, כלומר [math]\displaystyle{ a_{k,l}=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k>l }[/math]. בשורה האחרונה, האיבר היחיד שאינו בהכרח אפס הוא [math]\displaystyle{ a_{n,n} }[/math]; לכן כל תמורה עם [math]\displaystyle{ f(n)\neq n }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ f(n)<n }[/math]) תורמת אפס. אם [math]\displaystyle{ f(n)=n }[/math], אז [math]\displaystyle{ f(n-1)\leq n-1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ n }[/math] כבר תפוס), והיחיד מבין האיברים האלה שאינו בהכרח אפס הוא [math]\displaystyle{ a_{n-1,n-1} }[/math]; לכן נשארות רק תמורות עם [math]\displaystyle{ f(n-1)=n-1 }[/math], וכן הלאה עד שמגיעים ל־[math]\displaystyle{ f=I }[/math].

באופן מדויק: תהי [math]\displaystyle{ f\neq I }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ k }[/math] המספר הגדול ביותר עבורו [math]\displaystyle{ f(k)\neq k }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ l>k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(l)=l }[/math], ולכן (מחח"ע) [math]\displaystyle{ f(k)\notin\{k+1,\dots,n\} }[/math]. יחד עם [math]\displaystyle{ f(k)\neq k }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ f(k)<k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{k,f(k)}=0 }[/math] והמחובר של [math]\displaystyle{ f }[/math] מתאפס.

עבור משולשית תחתונה ([math]\displaystyle{ a_{k,l}=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k<l }[/math]) הטיעון זהה, מהשורה הראשונה כלפי מטה: לוקחים את [math]\displaystyle{ k }[/math] הקטן ביותר עבורו [math]\displaystyle{ f(k)\neq k }[/math], ומקבלים [math]\displaystyle{ f(k)>k }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_{k,f(k)}=0 }[/math]. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 2:54:41

• מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

הוכחה. ידוע שמטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם ורק אם הצורה המדורגת הקנונית שלה היא [math]\displaystyle{ I }[/math].

נעבור מ־[math]\displaystyle{ A }[/math] לצורה המדורגת הקנונית שלה בעזרת פעולות דירוג. כל פעולת דירוג כופלת את הדטרמיננטה בקבוע שונה מאפס: ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת), ב־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] (החלפת שורות), או ב־[math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] (כפל שורה בסקלר שונה מאפס). לכן [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math] אם ורק אם הדטרמיננטה של הצורה המדורגת הקנונית היא אפס.

• אם הצורה המדורגת הקנונית היא [math]\displaystyle{ I }[/math], הדטרמיננטה שלה היא [math]\displaystyle{ 1\neq 0 }[/math] (מטריצה משולשית שעל האלכסון שלה אחדות).
• אחרת, כיוון שהמטריצה ריבועית, בצורה המדורגת הקנונית יש שורת אפסים, ולכן הדטרמיננטה שלה היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 }[/math] אם ורק אם הצורה המדורגת הקנונית היא [math]\displaystyle{ I }[/math], אם ורק אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 3:02:49

• לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי [math]\displaystyle{ |AB|=|A|\cdot |B| }[/math]

הוכחה. אם אחת המטריצות אינה הפיכה, גם [math]\displaystyle{ AB }[/math] אינה הפיכה: אילו [math]\displaystyle{ AB }[/math] הייתה הפיכה עם הופכית [math]\displaystyle{ D }[/math], אז [math]\displaystyle{ A\cdot(BD)=I }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (DA)\cdot B=I }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B }[/math] הפיכות (מטריצה ריבועית עם הופכית מצד אחד היא הפיכה). במקרה זה שני האגפים שווים לאפס.

כעת נניח ש־[math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות. הצורה המדורגת הקנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math], ולכן קיימת [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה, מכפלת מטריצות הפעולה של פעולות הדירוג של [math]\displaystyle{ A }[/math], כך ש־[math]\displaystyle{ PA=I }[/math]. נסמן ב־[math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] את מכפלת כל הקבועים שבהם פעולות הדירוג הללו כופלות את הדטרמיננטה. לפי השפעת פעולות הדירוג (ולא לפי הכפליות, שאותה אנו מוכיחים):

[math]\displaystyle{ 1=|I|=|PA|=\alpha\cdot|A| }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ |A|=\frac{1}{\alpha} }[/math].

נבצע את אותן פעולות דירוג על המטריצה [math]\displaystyle{ AB }[/math] (ביצוע פעולת דירוג הוא כפל משמאל במטריצת הפעולה). נקבל [math]\displaystyle{ PAB=IB=B }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ |B|=|PAB|=\alpha\cdot|AB| }[/math]

ומכאן

[math]\displaystyle{ |AB|=\frac{1}{\alpha}|B|=|A|\cdot|B| }[/math]

▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 3:07:37

• שימו לב: עבור חיבור אין נוסחה דומה, ובאופן כללי [math]\displaystyle{ |A+B|\neq|A|+|B| }[/math]. למשל, עבור [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |A|=|B|=0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ |A+B|=|I|=1 }[/math].

דוגמה: לאילו ערכים של [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix} }[/math] הפיכה?

נחשב את הדטרמיננטה בעזרת פעולות דירוג. נוסיף לשורה הראשונה את השורה השנייה ואת השורה השלישית ([math]\displaystyle{ R_1+R_2,\ R_1+R_3 }[/math], פעולות שאינן משנות את הדטרמיננטה):

[math]\displaystyle{ |A|=\det\begin{pmatrix}a+2&a+2&a+2\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =(a+2)\cdot\det\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix} }[/math]

את המעבר השני כדאי לקרוא מימין לשמאל: אם כופלים את השורה הראשונה של המטריצה הימנית ב־[math]\displaystyle{ a+2 }[/math], מקבלים את המטריצה השמאלית, והדטרמיננטה נכפלת ב־[math]\displaystyle{ a+2 }[/math] (זה נכון גם כאשר [math]\displaystyle{ a+2=0 }[/math]). בפועל זו "הוצאת גורם משותף" מהשורה.

כעת נבצע [math]\displaystyle{ R_2-R_1,\ R_3-R_1 }[/math] ונקבל מטריצה משולשית:

[math]\displaystyle{ |A|=(a+2)\cdot\det\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{pmatrix}=(a+2)(a-1)^2 }[/math]

המטריצה הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס, כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ a\neq 1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\neq -2 }[/math]. ▶ הפתרון בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 10:14

דטרמיננטת המשוחלפת

• [math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math]

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ a_{k,l}=[A]_{k,l} }[/math], כך ש־[math]\displaystyle{ [A^t]_{k,l}=a_{l,k} }[/math]. נשתמש בשתי עובדות:

• לכל תמורה [math]\displaystyle{ f }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ sign(f^{-1})=sign(f) }[/math]: לפי כפליות הסימן [math]\displaystyle{ sign(f)\cdot sign(f^{-1})=sign(f\circ f^{-1})=sign(I)=1 }[/math], ושני הסימנים הם [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math], ולכן הם שווים.
• כיוון ש־[math]\displaystyle{ j=f(i) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ i=f^{-1}(j) }[/math], הזוגות [math]\displaystyle{ (i,f(i)) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] הם בדיוק הזוגות [math]\displaystyle{ (f^{-1}(j),j) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ j=1,\dots,n }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^n a_{i,f(i)}=\prod_{j=1}^n a_{f^{-1}(j),j}=\prod_{j=1}^n[A^t]_{j,f^{-1}(j)} }[/math]

מכאן

[math]\displaystyle{ |A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{i=1}^n a_{i,f(i)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{f\in S_n}sign(f^{-1})\prod_{j=1}^n[A^t]_{j,f^{-1}(j)} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ f }[/math] רצה על כל התמורות, גם [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] רצה על כל התמורות (כל תמורה [math]\displaystyle{ g }[/math] היא ההופכית של תמורה אחת בדיוק, [math]\displaystyle{ g^{-1} }[/math]). לכן, עם [math]\displaystyle{ g=f^{-1} }[/math]:

[math]\displaystyle{ |A|=\sum_{g\in S_n}sign(g)\prod_{j=1}^n[A^t]_{j,g(j)}=|A^t| }[/math]

▶ הטענה והרמז להוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 3:14:16

• פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ B }[/math] המתקבלת מ־[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולת דירוג על העמודות. העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] הן השורות של [math]\displaystyle{ A^t }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ B^t }[/math] מתקבלת מ־[math]\displaystyle{ A^t }[/math] על ידי אותה פעולה על השורות. אם פעולה זו על השורות כופלת את הדטרמיננטה בקבוע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ a }[/math] או [math]\displaystyle{ -1 }[/math]), אז

[math]\displaystyle{ |B|=|B^t|=\lambda\cdot|A^t|=\lambda\cdot|A| }[/math]

במילים: אפשר לשחלף, לדרג שורות, ולשחלף שוב. ▶ ההוכחה בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 3:15:26

נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

📄 דף נושא: נוסחת לפלס ומטריצה נלווית - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

• [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
• הדטרמיננטה [math]\displaystyle{ |A_{ij}| }[/math] נקראת מינור.

• לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]
• לכל j מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]

דוגמה: חשבו את [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&1\\0&1&1\end{pmatrix} }[/math] בעזרת פיתוח לפי השורה השלישית, ובדקו את התוצאה בעזרת פיתוח לפי העמודה הראשונה.

הסימן [math]\displaystyle{ (-1)^{i+j} }[/math] הוא פלוס על האלכסון, ומתחלף לסירוגין לאורך השורה או העמודה. בשורה השלישית הסימנים הם [math]\displaystyle{ +,-,+ }[/math]:

[math]\displaystyle{ |A|=+0\cdot\det\begin{pmatrix}2&3\\4&1\end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\0&4\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =0-1\cdot 1+1\cdot 4=3 }[/math]

לפי העמודה הראשונה: רק האיבר העליון שונה מאפס, והוא על האלכסון (סימן פלוס):

[math]\displaystyle{ |A|=+1\cdot\det\begin{pmatrix}4&1\\1&1\end{pmatrix}=4-1=3 }[/math]

כדאי לפתח לפי השורה או העמודה שבה יש הכי הרבה אפסים. ▶ הפתרון בהרצאה מ־11.8.26, החל מהדקה 3:21:25

מטריצה נלווית

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את המטריצה הנלווית [math]\displaystyle{ adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ע"י:
  • [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]

• מתקיים כי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I }[/math]

• אם A הפיכה מתקיים כי [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) }[/math]

• מתקיים כי [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math]

כלל קרמר

📄 דף נושא: כלל קרמר - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

• תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה ויהי [math]\displaystyle{ b\in\mathbb{F}^n }[/math] וקטור קבועים.
• אזי הפתרון היחיד [math]\displaystyle{ \vec{x}=(x_1,...,x_n) }[/math] למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=b }[/math] מקיים כי:
• לכל i ערך המשתנה נתון ע"י [math]\displaystyle{ x_i =\frac{|A_i|}{|A|} }[/math]
• כאשר [math]\displaystyle{ A_i }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי החלפת העמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] בוקטור הקבועים [math]\displaystyle{ b }[/math]

• במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
• במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.

תרגול

• תרגול בנושא דטרמיננטות
• תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות
• עוד אחד