88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10

מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת

הגדרה. יהי V מ"ו ויהי U תת מרחב שלו. יהי B בסיס לV. אזי מרחב הקואורדינטות של U לפי B הינו [math]\displaystyle{ [U]_B:=\{[u]_B:u\in U\} }[/math]. כפי שלמדנו העתקת הקואורדינטות הינה איזומורפיזם ולכן בהנתן מרחב קואורדינטות קל למצוא את המרחב המקורי.

תרגיל.

תהי A מטריצה ו-f פונקציה המוגדרת על ידי כפל במטריצה f(v)=Av. מצא את הגרעין ואת התמונה של f.

פתרון. קל לראות שהגרעין הינו [math]\displaystyle{ N(A) }[/math] והתמונה הינה [math]\displaystyle{ C(A) }[/math] (שכן Av הינו צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מv).

מסקנה. תהי T העתקה לינארית מV לW, עם E וF בסיסים בהתאמה. אזי:

מרחב הקואורדינטות של הגרעין הינו [math]\displaystyle{ [kerT]_E=\{[v]_E:Tv=0\}=\{[v]_E:[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E=0\}=N([T]^E_F) }[/math].

מרחב הקואורדינטות של התמונה הינו [math]\displaystyle{ [ImT]_F=\{[Tv]_F:v\in V\}=\{[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E:[v]_E\in\mathbb{F}^n\}=C([T]^E_F) }[/math]

אלגוריתם למציאת גרעין ותמונה של העתקה לפי המטריצה המייצגת

מצא מטריצה מייצגת [math]\displaystyle{ A=[T]^E_F }[/math]
מצא את מרחבי הקואורדינטות של הגרעין והתמונה [math]\displaystyle{ N(A)=[kerT]_E,C(A)=[ImT]_F }[/math]
העבר חזרה את מרחבי הקואורדינטות לצורה המקורית (ע"י כפל הסקלרים מהקואורדינטות באיברי הבסיס)

תרגיל

נגדיר ה"ל [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^{2\times3}\to\mathbb{R}^{2} }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ T(A)=C_{1}(A)+C_{3}(A) }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ C_{i}(A) }[/math] פירושו העמודה ה [math]\displaystyle{ i }[/math]-ית של [math]\displaystyle{ A }[/math]).

1. נגדיר [math]\displaystyle{ S=\left\{ e_{1,1},e_{1,2},e_{1,3},e_{2,1},e_{2,2},e_{2.3}\right\} }[/math] להיות הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{2\times3} }[/math] ו [math]\displaystyle{ B=\left\{ \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\right\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{2} }[/math]. מצא את המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]_{B}^{S} }[/math]

2. מצא בסיס לגרעין של T

פתרון

1.

נסמן [math]\displaystyle{ v_{1}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ Te_{1,1}=T(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right))=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=1\cdot v_{1}+0\cdot v_{2} \\ Te_{1,2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)=0v_{1}+0v_{2} \\ Te_{1,3}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=1\cdot v_{1}+0\cdot v_{2} \\ Te_{2,1}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2} \\ Te_{2,2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)=0v_{1}+0v_{2} \\ Te_{2,3}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ [T]_{B}^{S}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

2.

הגרעין של המטריצה המייצגת הוא

[math]\displaystyle{ ker [T]_{B}^{S} = N( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} ) = \{ \begin{pmatrix} -y\\ x\\ y\\ -t\\ s\\ t\\ \end{pmatrix} : x,y,s,t\in \mathbb{R} \} =span \{ \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ -1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix} \} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Ker T = span \{ \begin{pmatrix} -1& 0& 1 \\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0& 1& 0 \\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ -1& 0& 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix} \} }[/math]

תרגיל. (6.14)

א. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4 }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ Im(T)=span\{(2,4,5,7),(1,2,1,1)\} }[/math]

ב. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ ker(T)=span\{(1,3,7),(2,5,6)\} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Im(T)=span\{(1,2,3)\} }[/math]

פתרון.

א. פה אין דרישות רבות לתרגיל, רק דורשים תמונה מסוימת. אם כן, נשלח כל וקטור במרחב לצירוף לינארי של הוקטורים הנתונים, ונדאג לעבור על כל הצירופים האפשריים. [math]\displaystyle{ T(x,y,z,w)=x(2,4,5,7)+y(1,2,1,1) }[/math]. קל לראות שהתמונה היא בדיוק כפי שנדרש ע"י הכלה דו כיוונית.

דרך נוספת לפתרון: ניתן להגדיר את T לפי משפט ההגדרה באופן הבא:

[math]\displaystyle{ T(1,0,0,0)=(2,4,5,7) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,1,0,0)=(1,2,1,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,0,1,0)=(0,0,0,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,0,0,1)=(0,0,0,0) }[/math]

לאחר מכן קל למצוא את המטריצה המייצגת ולהכפיל אותה בווקטור כללי (כך ששתתקבל הצורה המפורשת של ההעתקה)

ב. נשלים את הוקטורים הנתונים לבסיס ע"י הוקטור [math]\displaystyle{ (0,0,1) }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ w_1=w_2=0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ w_3=(1,2,3) }[/math]. נמצא את העתקה במפורש לפי האלגוריתם. ברור שהקבוצה הדרושה מוכלת בגרעין, משיקולי מימד היא שווה לו (כי התמונה ממימד אחד לפחות).

תרגיל. (6.16)

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3 }[/math] העתקה לינארית המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z) }[/math]

א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T

ב. מצא בסיס סדור E ל[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [T]^E_E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix} }[/math]

פתרון.

א. נמצא מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי. נראה מה התמונה של איברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ T(1,0,0)=(1,0,2) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,1,0)=(1,1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,0,1)=(0,1,-2) }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ [T]=[T]^S_S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrix} }[/math]

מעל הבסיס הסטנדרטי, מרחב הקואורדינטות של תת מרחב U הוא U בעצמו. ולכן גרעין ההעתקה הינו [math]\displaystyle{ N([T]) }[/math] ותמונת ההעתקה הינה [math]\displaystyle{ C([A]) }[/math].

יוצא ש [math]\displaystyle{ kerT=span\{(1,-1,1)\} }[/math] ויוצא [math]\displaystyle{ ImT=span\{(1,0,2),(1,1,0)\} }[/math]

ב. במקרה שלנו, יצא ש [math]\displaystyle{ kerT \oplus ImT = \mathbb{R}^3 }[/math]. נגדיר את E להיות בסיס המורכב מאיחוד הבסיסים של הגרעין והתמונה, ונביט במטריצה המייצגת את ההעתקה לפי בסיס זה. מכיוון שהוקטור הראשון הוא בסיס לגרעין, התמונה שלו היא אפס וכך גם הקואורדינטות.

כמו כן, נביט בקואורדינטות של כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.

תרגיל.

יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{Z}_2^3 }[/math] ו[math]\displaystyle{ W=P(\{1,2,3\}) }[/math] מ"ו מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]. (זכרו כי החיבור הוקטורי בקבוצת החזקה הינו הפרש סימטרי). תהי העתקה לינארית המוגדרת לפי משפט ההגדרה על ידי

[math]\displaystyle{ T(1,1,0)=\{2,3\} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,1,1)=\{1,3\} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(0,0,1)=\{1,2\} }[/math]

מצא את הגרעין ואת התמונה של ההעתקה.

פתרון.

שוב אנו נתקלים במרחב יחסית חדש ואנו צריכים למצוא לו בסיס סנדרטי. הבסיס הסטנדרטי למרחב קבוצת החזקה הוא באופן טבעי הנקודונים, שכן כל תת קבוצה הינה הפרש סימטרי של הנקודונים של האיברים שבה. אם כן הבסיס הסטנדרטי הינו [math]\displaystyle{ S_P=\{\{1\},\{2\},\{3\}\} }[/math]. נגדיר בסיס [math]\displaystyle{ E=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)\} }[/math].

לכן המטריצה המייצגת הינה: [math]\displaystyle{ [T]^E_{S_P}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} }[/math]

נמצא את הגרעין. [math]\displaystyle{ [kerT]_E=N([T]^E_{S_P})=span\{(1,1,1)\} }[/math]. אלו הקואורדינטות של הבסיס, ולכן הבסיס הוא הצירופים הלינאריים של איברי E עם הקואורדינטות הנ"ל כלומר [math]\displaystyle{ kerT = span\{(1,1,0)+(0,1,1)+(0,0,1)=(1,0,0)\} }[/math]. קל מאד לראות שהגרעין שונה ממרחב הקואורדינטות שלו.

נמצא את התמונה. [math]\displaystyle{ [ImT]_{S_P}=C([T]^E_{S_P})=span\{(0,1,1),(1,0,1)\} }[/math].

אם [math]\displaystyle{ [v]_{S_P}=(0,1,1) }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ v=(0\cdot\{1\})\Delta (1\cdot\{2\}) \Delta (1\cdot\{3\})=\{2,3\} }[/math]

באופן דומה [math]\displaystyle{ (1,0,1) }[/math] תואם ל[math]\displaystyle{ \{1,3\} }[/math]

לסיכום [math]\displaystyle{ ImT=span\Big\{\{2,3\},\{1,3\}\Big\}=\Big\{\{\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2\}\Big\} }[/math] וזו התמונה של ההעתקה.

תרגילים ממבחנים בנושא העתקות לינאריות

תרגיל

נגדיר [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4 }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ T(x,y,z,w)= (x+y,w,0,z) }[/math]

א. מצא [math]\displaystyle{ [T]^n }[/math] לכל n טבעי (לפי הבסיס הסטנ')

ב. מצא בסיס לגרעין ותמונה

ג. נגדיר [math]\displaystyle{ E=\{(1,1,0,0).(1,-1,1,1),(0,0,1,2),(0,0,-1,1)\} }[/math]. מצא [math]\displaystyle{ [T^3]_E }[/math]

פתרון:

א. מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^n]=[T]^n }[/math]. נחשב [math]\displaystyle{ [T]= \begin{pmatrix} 1 & 1& 0 & 1 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

נחשב חזקות של המטריצה הזאת

[math]\displaystyle{ [T]^2= \begin{pmatrix} 1 & 1& 0 & 1 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ [T]^3= \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 & 1 \\ 0 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

ומתקיים כי [math]\displaystyle{ [T]^n=[T]^3 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 3\leq n }[/math]

ב. בסיס לתמונה הם עמודות 2 3 ו -4

מרחב האפס הוא

[math]\displaystyle{ kerT= N([T])= \{ \begin{pmatrix} -t \\ t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} : t\in \mathbb{R} \} = span \{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} }[/math]

ג.

מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^3]= [I]^S_E[T]^S_S[I]^E_S }[/math]

מתקיים כי [math]\displaystyle{ [I]^E_S = \begin{pmatrix} 1 & 1& 0 & 0 \\ 1 & -1 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ [T^3]= [I]^S_E[T]^S_S[I]^E_S \begin{pmatrix} 1 & 1& 0 & 0 \\ 1 & -1 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 & 1 \\ 0 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1& 0 & 0 \\ 1 & -1 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

תרגיל ממבחן מועד א' סמסטר קיץ תשעא (אלי בגנו, אפי כהן).

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}_3[x]\rightarrow \mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י: לכל [math]\displaystyle{ p(x)\in\mathbb{R}_3[x] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ T(p(x)):=p(0) }[/math].

תהי [math]\displaystyle{ S:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_3[x] }[/math] העתקה המוגדרת ע"י: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ T(a)=a(x^3+1) }[/math]

הוכח/הפרך:

א. S לינארית

ב. dimkerT=3

ג. [math]\displaystyle{ ImT=\mathbb{R} }[/math]

ד. אם [math]\displaystyle{ B=\{1,x,x^2,x^3\} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ tr([S\circ T]_B)=0 }[/math]

פתרון.

א. הוכחה: טריוויאלי להוכחה לפי הקריטריון המקוצר

ב. הוכחה: המימד של מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x] }[/math] הינו 4. לכן לפי סעיף ג' (שנוכיח בהמשך) יחד עם משפט הדרגה אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ dimkerT=4-dimImT=3 }[/math]

ג. הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] ניקח את הפולינום הקבוע [math]\displaystyle{ p(x)\equiv a }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ T(p(x))=p(0)=a }[/math]. לכן הפונקציה הינה על כדרוש.

ד. הפרכה: [math]\displaystyle{ S\circ T(a+bx+cx^2+dx^3)=S(a)=a(x^3+1) }[/math]. לכן קל לוודא כי

[math]\displaystyle{ [S\circ T]_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

ומתקיים [math]\displaystyle{ tr([S\circ T]_B)=1\neq 0 }[/math]

תרגיל ממבחן מועד א' סמסטר קיץ תשס"ח (אלי מצרי, בועז צבאן).

יהי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Z}_3 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{F}_2[x]\rightarrow\mathbb{F}^3 }[/math] ההעתקה הלינארית המקיימת

[math]\displaystyle{ T(1+2x+x^2)=(1,1,2) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(1+x+2x^2)=(2,1,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(2+x+x^2)=(1,2,1) }[/math]

א. הוכח כי T איזומורפיזם.

ב. חשב את [math]\displaystyle{ [T^{-1}]^{S_2}_{S_1} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ S_1,S_2 }[/math] הם הבסיסים הסטנדרטיים

ג. מהו [math]\displaystyle{ T^{-1}(a,b,c) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] כלשהם?

תרגיל ממבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשס"ח (אלי מצרי, בועז צבאן).

יהא [math]\displaystyle{ V=(\mathbb{Z}_2)^3 }[/math]. נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] על ידי:

[math]\displaystyle{ T(x,y,z)=(x^2+y^2,y^2+z^2,x^2+z^2) }[/math]

א. הוכח כי T הינה העתקה לינארית.

ב. מצא בסיסים לגרעין ולתמונה של T.

ג. מצא את מספר האיברים בגרעין ובתמונה.

ד. נסמן בB את איחוד הבסיסים שמצאת בסעיף ב'. הוכח שB בסיס של V.

ה. חשב את [math]\displaystyle{ [T]^S_B }[/math], כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי של V.