הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב ניצב"
(←1) |
(←משפט הפירוק הניצב) |
||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 12: | שורה 12: | ||
===משפט הפירוק הניצב=== | ===משפט הפירוק הניצב=== | ||
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math> | יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math> | ||
+ | |||
+ | ===0=== | ||
+ | יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math> | ||
===1=== | ===1=== | ||
שורה 39: | שורה 42: | ||
לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math> | לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ג. | ||
+ | |||
+ | נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ד. | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>. | ||
+ | |||
+ | כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | ::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math> | ||
===2=== | ===2=== | ||
שורה 48: | שורה 69: | ||
ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math> | ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | א. '''הפרכה''': | ||
+ | |||
+ | <math>U=\{0\},W=V</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ב. '''הוכחה''': | ||
+ | |||
+ | <math>\supseteq</math> | ||
+ | |||
+ | נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>. | ||
+ | |||
+ | יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן: | ||
+ | |||
+ | ::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\subseteq</math> | ||
+ | |||
+ | נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>. | ||
+ | |||
+ | יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ג. '''הפרכה''': | ||
+ | |||
+ | <math>U=\{0\},W=V</math> | ||
===3=== | ===3=== | ||
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math> | יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הפרכה:''' | ||
+ | <math>U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}</math> |
גרסה אחרונה מ־16:21, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים . אזי הקבוצה
הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל המרחב הניצב ל-S
תרגילים
משפט הפירוק הניצב
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי תת מרחב הוכיחו כי
0
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי . הוכח/הפרך:
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:
א.
ב.
ג. אם אזי
ד. לכל קבוצה מתקיים
פתרון:
א.
ב.
אם כך, נניח , כיוון מתקיים ביחד ולפי אי שליליות
לכן סה"כ
ג.
נניח לכן לכל מתקיים .
לכן בפרט, לכל מתקיים ולכן ולכן
ד.
כיוון ש , לפי סעיף קודם ברור כי .
כעת, אם אזי לכל צירוף לינארי מתקיים
כלומר ולכן גם
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:
א.
ב.
ג.
פתרון:
א. הפרכה:
ב. הוכחה:
נניח .
יהי לכן:
כיוון ש וגם
ולכן
נניח .
יהי לכן בפרט ולכן
לכן ובאופן דומה
סה"כ
ג. הפרכה:
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים כך ש . הוכיחו/הפריכו
הפרכה: