ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
| (5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 14: | שורה 14: | ||
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי (ע"ע) של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | ||
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
אוסף כל | אוסף כל הע"ע של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>. | ||
''הערה:'' | ''הערה:'' | ||
| שורה 38: | שורה 38: | ||
''' | '''דוגמה למציאת ע"ע:''' | ||
'' | '' <math>A=I_n</math>.'' | ||
שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>. | שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)=\left \{1 \right \}</math>. | ||
שיטה שנייה: לפי המשפט. | שיטה שנייה: לפי המשפט. | ||
| שורה 49: | שורה 49: | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
0 & & \lambda-1 | 0 & & \lambda-1 | ||
\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(lambda-1)^n=0</math> <math>Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>. | \end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>. | ||
'''הגדרה:''' | |||
יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | |||
'''משפט:''' | |||
יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>. | |||
'''אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי <math>T:V\rightarrow V</math>:''' | |||
1. נבחר בסיס <math>B</math> של <math>V</math>. | |||
2. נחשב את המטריצה המייצגת <math>A</math>. | |||
3. נרכיב את המשוואה <math>det(\lambda I-A)=0</math>. זוהי משוואה ממעלה <math>n</math> עם משתנה יחיד <math>\lambda</math>. | |||
4. נחפש פתרונות <math>\lambda_1,...,\lambda_s</math>, שהם הע"ע של <math>T</math>. | |||
גרסה אחרונה מ־10:39, 5 בינואר 2013
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ dim V=n }[/math].
בנוסף, [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math].
הגדרה:
העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.
הגדרה:
תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי (ע"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
הגדרה:
אוסף כל הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא הספקטרום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ spec(A) }[/math].
הערה: יכול להיות המצב [math]\displaystyle{ spec(A)=\varnothing }[/math].
משפט:
[math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.
הערה: [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math].
משפט:
[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ det(\lambda I-A)=0 }[/math].
דוגמה למציאת ע"ע:
[math]\displaystyle{ A=I_n }[/math].
שיטה ראשונה: [math]\displaystyle{ I_n v=\lambda v }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ v=\lambda v }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ spec(A)=\left \{1 \right \} }[/math].
שיטה שנייה: לפי המשפט. [math]\displaystyle{ \lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{pmatrix} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ (\lambda-1)^n=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math].
הגדרה:
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Tv=T(v)=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא ו"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
משפט:
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, יהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A=[T]_B }[/math] המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]. אזי אם [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], אז [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא גם ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].
אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math]:
1. נבחר בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math].
2. נחשב את המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ A }[/math].
3. נרכיב את המשוואה [math]\displaystyle{ det(\lambda I-A)=0 }[/math]. זוהי משוואה ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math] עם משתנה יחיד [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
4. נחפש פתרונות [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_s }[/math], שהם הע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math].