Mathwiki:ארגז חול: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
(30 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
==שאלה 1==
<latex2pdf>
נניח כי f פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math>, גזירה ב- <math>(0,\infty)</math>. בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math>מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>.


א. הוכיחו כי <math>f'(x)\geq \frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math>.
<tex>קוד:ראש</tex>
%% LyX 2.0.6 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[12pt,english,hebrew]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\setlength{\parskip}{\smallskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}


ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>.
\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{theorem}{\R{משפט}}[section]
\AtBeginDocument{\make@lr\thetheorem}


===פתרון===
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע <math>[0,x]</math>. לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש:


::<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>
\usepackage{hyperref}


אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
%\newref{thm}{name = \R{משפט~}}


::<math>f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x}</math>


כפי שרצינו.
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\st}{st}


\makeatother


ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
\usepackage{babel}
\usepackage{xunicode}
\begin{document}


::<math>g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}</math>
\title{אינפי {\beginL 1\endL} תרגיל {\beginL 6\endL}}


כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
\maketitle
{\beginL 1\endL}. בפונקציות הבאות, חשב את \L{$\frac{dy}{dx}$}. )התשובה
יכולה להכיל \L{$y$} ו \L{$x$}(


א. \L{$xy^{2}-3x^{2}y+x=1$}


::<math>xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>
ב. \L{$x^{5}=y^{2}-y+1$}


ג. \L{$y^{2}=\ln(2x+3y)$}


=טיילור=
ד. \L{$y=\sqrt{xy+1}$}


כיוון שכפל וחיבור הן פעולות שקל לחשבן, פולינומים הן פונקציות שקל לחשבן את ערכן בכל נקודה. לכן, בהנתן פונקציה כללית f, היינו שמחים למצוא פולינום קרוב אליה. כלומר, היינו רוצים למצוא פולינום p כך שהשארית
{\beginL 2\endL}. מצא את שיפוע הפונקציה \L{$x+y^{3}=y$} בנקודה ){\beginL 6,2\endL}-(


::<math>R(x)=f(x)-p(x)</math>
{\beginL 3\endL}. חשב את הגבולות הבאים )במידה והם קיימים(:


תהא "מינימלית". שימו לב כי הגדרת המינמליות תלוייה בצורך. לדוגמא ייתכן ונרצה כי השארית תהא חסומה על כל הממשיים או תשאף לאפס בנקודה מסויימת.
א. \L{$\dfrac{x}{x^{2}-4}$}\L{${\displaystyle \lim_{x\to2}}$}


==פולינום טיילור==
ב. \L{$\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{x}}{x-8}$}\L{${\displaystyle \lim_{x\to8}}$}


'''פולינום טיילור סביב נקודה a''' מדרגה n הינו פולינום מהצורה:
ג. \L{${\displaystyle \lim_{x\to1}}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$}


::<math> P_n(x)=\sum_{i=1}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i</math>
ד. \L{${\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{3+4x^{-1}-5x^{-2}}{6-x^{-1}+3x^{-2}}$}


כאשר <math>f^{(n)}</math> היא הנגזרת ה-n של f
ה. \L{${\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}}x\sqrt{1+x^{-2}}$}


ו. \L{${\displaystyle \lim_{x\to c^{-}}}\sqrt{c-x}$}


שימו לב שבאופן ברור מההגדרה קיום פולינום טיילור מדרגה n דורש שהפונקציה תהא גזירה לפחות n פעמים בנקודה a. אנחנו נראה מיד שעל מנת להעריך את השגיאה של הפולינום נדרוש כי הפונקציה תהא גזירה '''לפחות n+1''' פעמים '''באיזור''' הנקודה a.
ז. \L{${\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\dfrac{\arrowvert(1+\Delta x)^{3}-(1+\Delta x)\arrowvert}{\Delta x}}$}


פולינום טיילור משמש לקירוב פונקציות מסיבות שנראה בהמשך ([[טור חזקות]]), ובזכות [[משפט טיילור עם שארית לגראנז']]
ח. \L{${\displaystyle \lim_{\Delta x\to0^{+}}}\dfrac{\arrowvert(1+\Delta x)^{3}-(1+\Delta x)\arrowvert}{\Delta x}$}


==שארית לגראנז'==
{\beginL 4\endL}. נתונה הפונקציה הבאה: \L{$f(x)=[x]$} כלומר, עיגול
תהי f פונקציה ממשית הגזירה n+1 פעמים בסביבה מסויימת של נקודה a. אזי לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
לשלם הקרוב ביותר מלמטה. )למשל: \L{$f(7.82)=7$}(


::<math>R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
מצא את הגבולות החד צדדיים של \L{$f$} בכל נקודה ב\L{$\mathbb{R}$}.
שים לב, עבור אילו מספרים הגבולות החד צדדיים שווים, ועבור אילו הם שונים?


כאשר <math>P_n</math> הינו [[פולינום טיילור]] מדרגה n
{\beginL 5\endL}. תן דוגמא לפונקציה שאין לה גבול ב- \L{$x_{0}=1$}.
הוכח את תשובתך.


{\beginL 6\endL}. א. הוכח: אם \L{${\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}}f(x)=L$}
אז \L{${\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}}\arrowvert f(x)\arrowvert=\arrowvert L\arrowvert$}.


'''שימו לב''' כי הנקודה c תלוייה ב-x
ב. האם גם ההיפך נכון? נמק.
\end{document}


==שאלה 1==
<tex>קוד:זנב</tex>
תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש <math>f(0)=f'(0)=...=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math>. עוד נניח שלכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f'(x)\neq 0</math>. הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math>


===הוכחה===
</latex2pdf>
מכיוון שהפונקציה ו4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה אפס שווה זהותית לאפס. השארית היא מהצורה
<math>\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math>.
 
מכיוון ש<math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה <math>f^{(5)}>0</math>. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים <math>f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math>.
 
נותר להוכיח ש<math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש <math>f(x)\leq 0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור איזה <math>x>0</math>. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מאפס בסתירה.

גרסה אחרונה מ־13:28, 30 בנובמבר 2014

<latex2pdf>

<tex>קוד:ראש</tex> %% LyX 2.0.6 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/. %% Do not edit unless you really know what you are doing. \documentclass[12pt,english,hebrew]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \setlength{\parskip}{\smallskipamount} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb}

\makeatletter %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands. \usepackage{theorem} \theorembodyfont{\upshape} \newtheorem{theorem}{\R{משפט}}[section] \AtBeginDocument{\make@lr\thetheorem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.

\usepackage{hyperref}

%\newref{thm}{name = \R{משפט~}}


\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\st}{st}

\makeatother

\usepackage{babel} \usepackage{xunicode} \begin{document}

\title{אינפי {\beginL 1\endL} תרגיל {\beginL 6\endL}}

\maketitle {\beginL 1\endL}. בפונקציות הבאות, חשב את \L{$\frac{dy}{dx}$}. )התשובה יכולה להכיל \L{$y$} ו \L{$x$}(

א. \L{$xy^{2}-3x^{2}y+x=1$}

ב. \L{$x^{5}=y^{2}-y+1$}

ג. \L{$y^{2}=\ln(2x+3y)$}

ד. \L{$y=\sqrt{xy+1}$}

{\beginL 2\endL}. מצא את שיפוע הפונקציה \L{$x+y^{3}=y$} בנקודה ){\beginL 6,2\endL}-(

{\beginL 3\endL}. חשב את הגבולות הבאים )במידה והם קיימים(:

א. \L{$\dfrac{x}{x^{2}-4}$}\L{${\displaystyle \lim_{x\to2}}$}

ב. \L{$\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{x}}{x-8}$}\L{${\displaystyle \lim_{x\to8}}$}

ג. \L{${\displaystyle \lim_{x\to1}}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$}

ד. \L{${\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{3+4x^{-1}-5x^{-2}}{6-x^{-1}+3x^{-2}}$}

ה. \L{${\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}}x\sqrt{1+x^{-2}}$}

ו. \L{${\displaystyle \lim_{x\to c^{-}}}\sqrt{c-x}$}

ז. \L{${\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\dfrac{\arrowvert(1+\Delta x)^{3}-(1+\Delta x)\arrowvert}{\Delta x}}$}

ח. \L{${\displaystyle \lim_{\Delta x\to0^{+}}}\dfrac{\arrowvert(1+\Delta x)^{3}-(1+\Delta x)\arrowvert}{\Delta x}$}

{\beginL 4\endL}. נתונה הפונקציה הבאה: \L{$f(x)=[x]$} כלומר, עיגול לשלם הקרוב ביותר מלמטה. )למשל: \L{$f(7.82)=7$}(

מצא את הגבולות החד צדדיים של \L{$f$} בכל נקודה ב\L{$\mathbb{R}$}. שים לב, עבור אילו מספרים הגבולות החד צדדיים שווים, ועבור אילו הם שונים?

{\beginL 5\endL}. תן דוגמא לפונקציה שאין לה גבול ב- \L{$x_{0}=1$}. הוכח את תשובתך.

{\beginL 6\endL}. א. הוכח: אם \L{${\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}}f(x)=L$} אז \L{${\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}}\arrowvert f(x)\arrowvert=\arrowvert L\arrowvert$}.

ב. האם גם ההיפך נכון? נמק. \end{document}

<tex>קוד:זנב</tex>

</latex2pdf>

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=Mathwiki:ארגז_חול&oldid=58527"