מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== ===מבחן ההשוואה הראשון=== יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <ma...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
(5 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== | ==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון== | ||
===מבחן ההשוואה הראשון=== | ===מבחן ההשוואה הראשון=== | ||
יהי <math> a \in \ | יהי <math>a\in\R</math> , ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge0</math> . | ||
אזי מתקיים: | אזי מתקיים: | ||
<math> \ | <math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad\Leftarrow\quad</math> מתכנס | ||
<math> \ | <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad\Leftarrow\quad</math> מתבדר | ||
<font size=4 color=#a7adcd> | <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא'''</font> | ||
'''דוגמא | |||
</font> | |||
קבע האם <math> \ | קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר | ||
;פתרון | |||
נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה: | נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה: | ||
<math> \ | <math>\forall\ x>1:\arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math> | ||
<math> \ | <math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx=\frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x}</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. | ||
===מבחן ההשוואה הגבולי=== | |||
יהי <math>a\in\R</math> , ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math> | |||
יהי הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> | |||
'''אזי:''' | |||
אם <math>L>0,L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). | |||
אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס. | |||
אם <math>L=\infty</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס. | |||
===דוגמאות=== | |||
[[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]] |
גרסה אחרונה מ־18:35, 12 בנובמבר 2016
אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון
מבחן ההשוואה הראשון
יהי [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math] , ותהי נקודה [math]\displaystyle{ c\ge a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge0 }[/math] .
אזי מתקיים:
[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad\Leftarrow\quad }[/math] מתכנס
[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] מתבדר [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad\Leftarrow\quad }[/math] מתבדר
דוגמא
קבע האם [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx }[/math] מתכנס או מתבדר
- פתרון
נשים לב כי [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
[math]\displaystyle{ \forall\ x\gt 1:\arctan(x)\gt \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall\ x\gt 1:\frac{\arctan(x)}{x}\gt \frac{\pi}{4x}\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx=\frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x} }[/math] מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי
יהי [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math] , ותהיינה שתי פונקציות [math]\displaystyle{ f(x),g(x) }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ \forall\ x\ge a:f(x),g(x)\gt 0 }[/math]
יהי הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]
אזי:
אם [math]\displaystyle{ L\gt 0,L\in\R }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס.