חקירת פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
 
(4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 15: שורה 15:
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]


== תרגילים ==
==תרגילים==
===דוגמא מספר 1 - <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math> ===
===דוגמא 1: <math>f(x)=x^2-6x+5</math>===
 
====תחום הגדרה====
 
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
תחום הגדרה


הגדרה: <math>תהא f(x)</math>
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
פונקציה. תחום ההגדרה של <math>f(x)</math>
היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת


דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\mathbb{R}</math>
====זוגיות/אי-זוגיות====
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(-x)=f(x)</math> .
====זוגיות/אי זוגיות====


הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math>
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי-זוגית אם <math>f(-x)=-f(x)</math> .
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math>


דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math>
דוגמא: <math>f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
אינה זוגית ואינה אי זוגית


====חיתוך עם הצירים====
====חיתוך עם הצירים====
 
החיתוך עם ציר <math>x</math> הן הנקודות <math>(1,0)\ ,\ (5,0)</math>
החיתוך עם ציר x הן הנקודות <math>(1,0).(5.0)</math>
   
   
החיתוך עם ציר y היא הנקודה <math>(0,5)</math>
החיתוך עם ציר <math>y</math> היא הנקודה <math>(0,5)</math> .
   
   
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .


הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math>
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש-
אם <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)</math>
(<math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)</math>)


הגדרה: תהא <math>f(x)</math>
<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> .
פונקציה. <math>x_{0}</math>
תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math>
כך ש <math>\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})</math>
(או <math>\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})</math> )


משפט: אם <math>f(x)</math>
משפט: אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}</math>
אזי <math>f'(x_{0})=0</math>
    
    
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.


מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math>
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math> :
מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math>
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
 
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל <math>f(x)</math>:


<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_{0}=3</math>
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> .
    
    
====מקס' או מיני'====
====מקס' או מיני'====
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?


*בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5</math>
*בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב <math>f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5</math> ולכן 3 נקודות מיני'.
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
 
*בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע I
אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם):
<math>f'(0)<0\,,f'(4)>0</math>
ולכן משמאל ל 3
הפונקציה יורדת ומימין ל 3
היא עולה ולכן 3
נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math>
הוא <math>[3.\infty)</math>
ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>


הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.


*מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0</math>
*בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x=3</math> נקודת מיני'.
ומתקיים <math>f"(x_{0})>0</math>
(או <math>f"(x)<0</math> )
אז <math>x_{0}</math> נקודות מיני' (או מקס'):


אצלנו <math>f"(x)=2</math> ולכן <math>f"(2)>0</math>
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> .
   
   
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.


====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
*מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> (או <math>f''(x)<0</math>) אז <math>x_0</math> נקודות מיני' (או מקס'):


תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_{0}</math>
אצלנו <math>f''(x)=2</math> ולכן <math>f''(2)>0</math> .
אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב <math>x_{0}</math>
אם קיימת סביבה <math>U</math>של <math>x_{0}</math>
כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:


<math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_0</math> אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> אם קיימת סביבה <math>U</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:


(<math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>)
<math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .


נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.


נאמר ש <math>x_{0}</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math>
משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> .
ימנית בה <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
וסביבה שמאלית <math>V</math>
בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
  או להיפך.


משפט: <math>f"(x_{0})>0</math>
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .
<math>(f"(x_{0})<0)</math>
אז <math>f(x)</math>
קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math>
.


משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math>
דוגמא: <math>f''(x)=2</math> ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>
דוגמא: f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.


====אסימטוטות ====
====אסימפטוטות====
הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- <math>f(x)</math> היא קו מהצורה <math>x=a</math> כך שמתקיים <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.


הגדרה: אסימטוטה אנכית ל <math>f(x)</math>
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> .
היא קו מהצורה <math>x=a</math>
כך שמתקיים <math>lim_{x\to a}|f(x)|=\infty</math>
אצלנו אין אסימטוטה אנכית.


הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math>
איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]</math> .
המקיים <math>lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0</math>
או <math>lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0</math>


איך מוצאים ? מתקיים
דוגמא - אצלנו:


<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}</math>
<math>\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>


ואז
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)</math>


דוגמא- אצלנו:
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>


<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft</math>y
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
ולכן אין אסימטוטה אופקית
 
====התנהגות הפונצקיה באינסוף====
 
עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>
 
ציור הפונקציה
[[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
 
 
 
===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>===


===דוגמא 2: <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math>===
====תחום הגדרה====
====תחום הגדרה====
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.


<math>x>0</math>כי <math>\ln(x)</math>
====זוגיות/אי-זוגיות====
לא מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
 
====זוגיות/אי זוגיות====
 
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.


====חיתוך עם הצירים====
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math> .


החיתוך עם ציר <math>x</math>
החיתוך עם ציר <math>y</math> לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
הוא <math>(1,0)</math>
 
החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה


====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
<math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>


<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}</math>
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> .
לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>x=e</math>
.


הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math>
<math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'.
 
<math>f(e)<0</math>
ולכן זוהי נקודת מקס'


תחומי העלייה של הפונקציה <math>\left(0,e\right)</math>
תחומי העליה של הפונקציה <math>(0,e)</math> .


תחומי ירידה <math>\left(e,\infty\right)</math>
תחומי הירידה <math>(e,\infty)</math> .


====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .


הסימן של <math>f"</math>
<math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
נקבע ע"י <math>-x(3-2\ln(x))</math>
ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e^{3/2}</math>
 
<math>f"(e)<0,f"(e^{4})>0</math>
ולכן <math>e^{3/2}\approx10</math>
נקודת פיתול
 
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב <math>\left(0,e^{3/2}\right)</math>
 
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב <math>\left(e^{3/2},\infty\right)</math>
 
====אסימטוטות ====
 
אסימטוטה אנכית ב <math>x=0</math>
כיוון ש <math>\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty</math>
 
אסימטוטה אופקית:
<math>
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0
</math>


<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- <math>(0,e\sqrt{e})</math> .


ולכן <math>l(x)=0</math>
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- <math>(e\sqrt{e},\infty)</math> .
אסימטוטה אופקית


====התנהגות הפונצקיה באינסוף====
====אסימפטוטות====
אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty</math> .


עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>
אסימפטוטה אופקית:


ציור הפונקציה
<math>\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>


[[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]
ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית.


====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0</math>


===דוגמא 3: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>===
ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]


===דוגמא 3: <math>f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}</math>===
====תחום הגדרה====
====תחום הגדרה====
<math>x\ne\pm2\sqrt3</math>


תחום ההגדרה של הוא <math>x\not=\pm\sqrt{12}</math>
====זוגיות/אי-זוגיות====
<math>f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.
 
====זוגיות/אי זוגיות====
 
<math>f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)</math>
ולכן <math>f(x)</math> אי זוגית


===נקודות קיצון===
===נקודות קיצון===
<math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>


<math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math>
(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}</math>
(נשים לב שהנקודות <math>\pm\sqrt{12}=\pm3.464</math>)
אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.


=====מקס' או מיני'=====
=====מקס' או מיני'=====
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :


הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י
<math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math>
<math>
  (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})]
= x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}]
= 24x(12-x^{2})[36+x^{2}]</math>


<math>f"(6)<0,f"(-6)>0</math>
ולכן משמאל ל-'''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.
<math>f"(0)=0</math>
  ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!


תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
6 נקודת מקס'.


דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
  אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
  ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}


הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
  הסימן של f"(x)
דוגמא:
  נקבע לפי החלק x(12-x^{2})


נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
<math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}</math>
. ומכאן מסיקים כי


בקטע (-\infty,-\sqrt{12})
הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> .
  הפונצקיה קעורה כלפי מעלה


בקטע (-\sqrt{12},0)
נבדוק:
  הפונצקיה קעורה כלפי מטה


בקטע (0,\sqrt{12})
<math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}</math>
  הפונצקיה קעורה כלפי מעלה


בקטע (\sqrt{12},\infty)
ומכאן מסיקים כי -
  הפונצקיה קעורה כלפי מטה


ובנקודה 0
בקטע <math>(-\infty,-2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
  יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(


אסימטוטות
בקטע <math>(-2\sqrt3,0)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,


הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
בקטע <math>(0,2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
  היא קו מהצורה x=a
  כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
.


דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
  יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}


כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).


lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty
====אסימפטוטות====
ל- <math>f(x)=\frac{x^3}{12-x^2}</math> יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- <math>x=\pm2\sqrt3</math>


הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
כי <math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty</math>
  המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
  או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0


מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
<math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty</math>
  ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)


דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
אסימפטוטה אופקית:
  נמצא אסימטוטות:


a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1
<math>\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}</math>
 
b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0
    
    
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר


באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty
ולכן <math>l(x)=-x</math> אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
  תצא אותו דבר.
 
ולכן l(x)=-x
  אסימטוטה אנכית


התנהגות הפונצקיה באינסוף
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>


עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty
====ציור הפונקציה====
[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]


ציור הפונקציה
משפטים לסיכום:


'''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .


'''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.


משפטים לסיכום
'''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.
 
.1 אם f(x)
  גזירה בנקודת קיצון x_{0}
  אזי f'(x_{0})=0
 
 
.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
  ומתקיים f"(x_{0})>0
  )או f"(x)<0
( אז x_{0}
  נקודות מיני' )או מקס'(


.3 אם f'(x)\leq0
'''4)''' אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .
  בקטע I
  אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
  אז הפונקציה עולה שם


.4 אם f"(x_{0})>0
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .
  )f"(x_{0})<0
  ( אז f(x)
  קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0}
.מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x)
  אינה קיימת או ש f"(x)=0

גרסה אחרונה מ־01:10, 13 בפברואר 2017


נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

  1. תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
  2. זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
  3. תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
  4. תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
  5. אסימפטוטות מאונכות
  6. נקודות חיתוך עם הצירים
  7. אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
  8. תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה


הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תרגילים

דוגמא 1: [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-6x+5 }[/math]

תחום הגדרה

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. תחום הגדרתה היא [math]\displaystyle{ A }[/math] - אוסף כל הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת.

דוגמא: תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא כל הישר [math]\displaystyle{ \R }[/math] .

זוגיות/אי-זוגיות

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא זוגית אם [math]\displaystyle{ f(-x)=f(x) }[/math] .

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא אי-זוגית אם [math]\displaystyle{ f(-x)=-f(x) }[/math] .

דוגמא: [math]\displaystyle{ f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הן הנקודות [math]\displaystyle{ (1,0)\ ,\ (5,0) }[/math]

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] היא הנקודה [math]\displaystyle{ (0,5) }[/math] .

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. נאמר כי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עולה (יורדת) בתחום [math]\displaystyle{ U }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\ f(x)\le f(y) }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\ f(x)\ge f(y) }[/math] .

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\le f(x_0) }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\ge f(x_0) }[/math] .

משפט: אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] .

מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מספיק לבדוק מתי [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] :

[math]\displaystyle{ f'(x)=2x-6 }[/math] ולכן הנקודה החשודה היחידה היא [math]\displaystyle{ x_0=3 }[/math] .

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

  • בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב [math]\displaystyle{ f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5 }[/math] ולכן 3 נקודות מיני'.

הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] אז הפונקציה עולה שם): [math]\displaystyle{ f'(0)\lt 0\ ,\ f'(4)\gt 0 }[/math] ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר [math]\displaystyle{ x=3 }[/math] נקודת מיני'.

הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [3,\infty) }[/math] ותחום הירידה [math]\displaystyle{ (-\infty,3] }[/math] .

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • מבחן הנגזרת השניה - אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] (או [math]\displaystyle{ f''(x)\lt 0 }[/math]) אז [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו [math]\displaystyle{ f''(x)=2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f''(2)\gt 0 }[/math] .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] .

נאמר כי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת פיתול אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] ימנית בה [math]\displaystyle{ f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] וסביבה שמאלית [math]\displaystyle{ V }[/math] בה [math]\displaystyle{ f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] או להפך.

משפט: [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ f''(x_0)\lt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה/מטה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] אינה קיימת או ש- [math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math] .

דוגמא: [math]\displaystyle{ f''(x)=2 }[/math] ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימפטוטות

הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא קו מהצורה [math]\displaystyle{ x=a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty }[/math] . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.

הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר [math]\displaystyle{ l(x)=ax+b }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 }[/math] .

איך מוצאים? מתקיים [math]\displaystyle{ a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} }[/math] ואז [math]\displaystyle{ b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big] }[/math] .

דוגמא - אצלנו:

[math]\displaystyle{ \displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty }[/math]

ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty }[/math]

ציור הפונקציה Example1CStirgul2.gif

דוגמא 2: [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] כי [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] לא-מוגדרת עבור [math]\displaystyle{ x }[/math]-ים שליליים.

זוגיות/אי-זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] .

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] לא קיים בגלל תחום ההגדרה.

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

[math]\displaystyle{ f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2} }[/math] לכן יש לה נקודה חשודה ב- [math]\displaystyle{ x=e }[/math]

הסימן של [math]\displaystyle{ f'' }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big) }[/math] .

[math]\displaystyle{ f(e)\lt 0 }[/math] ולכן זוהי נקודת מקס'.

תחומי העליה של הפונקציה [math]\displaystyle{ (0,e) }[/math] .

תחומי הירידה [math]\displaystyle{ (e,\infty) }[/math] .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של [math]\displaystyle{ f'' }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x\big(3-2\ln(x)\big) }[/math] ולכן נקודות חשודות לפיתול הם [math]\displaystyle{ e\sqrt{e} }[/math] .

[math]\displaystyle{ f''(e)\lt 0\ ,\ f''(e^4)\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ e\sqrt{e}\approx 10 }[/math] נקודת פיתול.

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- [math]\displaystyle{ (0,e\sqrt{e}) }[/math] .

הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ (e\sqrt{e},\infty) }[/math] .

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית ב- [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] כיון ש- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty }[/math] .

אסימפטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=0 }[/math] אסימטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]

ציור הפונקציה Example2CStirgul2.gif

דוגמא 3: [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\ne\pm2\sqrt3 }[/math]

זוגיות/אי-זוגיות

[math]\displaystyle{ f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אי-זוגית.

נקודות קיצון

[math]\displaystyle{ f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}} }[/math] ולכן הנקודות החשודות הן [math]\displaystyle{ x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3 }[/math]

(נשים לב שהנקודות [math]\displaystyle{ \pm2\sqrt3 }[/math] אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של [math]\displaystyle{ 36-x^2 }[/math] :

[math]\displaystyle{ \begin{align}f'(-7)\lt 0\\f'(-6)=0\\f'(-4)\gt 0\\f'(-1)\gt 0\\f'(0)=0\\f'(4)\gt 0\\f'(6)=0\\f'(7)\lt 0\end{align} }[/math]

ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.

6 נקודת מקס'.

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא:

[math]\displaystyle{ \begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align} }[/math]

הנקודות החשודות לפיתול הן [math]\displaystyle{ 0,\pm2\sqrt3 }[/math] . הסימן של [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] נקבע לפי החלק [math]\displaystyle{ x(12-x^2) }[/math] .

נבדוק:

[math]\displaystyle{ \begin{align}f''(-4)\gt 0\\f''(-1)\lt 0\\f(0)=0\\f(1)\gt 0\\f(4)\lt 0\end{align} }[/math]

ומכאן מסיקים כי -

בקטע [math]\displaystyle{ (-\infty,-2\sqrt3) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע [math]\displaystyle{ (-2\sqrt3,0) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מטה,

בקטע [math]\displaystyle{ (0,2\sqrt3) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע [math]\displaystyle{ (2\sqrt3,\infty) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מטה,

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).

אסימפטוטות

ל- [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3}{12-x^2} }[/math] יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- [math]\displaystyle{ x=\pm2\sqrt3 }[/math]

כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty }[/math]

אסימפטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align} }[/math]

באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון [math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math] תצא אותו דבר

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=-x }[/math] אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty }[/math]

ציור הפונקציה

Examp3e2CStirgul2.gif

משפטים לסיכום:

1) אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] .

2) מבחן הנגזרת השניה - אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מיני'.

3) אם [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] אזי הפונקציה עולה שם.

4) אם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] אינה קיימת או ש- [math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math] .

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=חקירת_פונקציות&oldid=70519"