משפט ערך הביניים: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> | <videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> | ||
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע < | תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>f(a)<y<f(b)</math> או <math>f(a)>y>f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=y</math> . | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר: | ראשית, נוכיח משפט חלש יותר: | ||
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע < | תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> . | ||
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר < | כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math> .) | ||
'''הוכחה:''' | '''הוכחה:''' | ||
נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו. | נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0</math> סיימנו. | ||
אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע. | אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right]</math> או <math>I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע. | ||
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם). | נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם). | ||
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math> | אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b]</math> | ||
כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה | כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה | ||
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c)</math> | |||
אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר | אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר | ||
:<math>f(c)=0</math> | |||
כפי שרצינו. | |||
כעת נשוב למקרה הכללי. נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>f(a)<f(b)</math> . | |||
נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-y</math> . כיון ש- <math>y</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)<0</math> . | |||
<math>g(a)\cdot g(b)< 0</math>. | |||
לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c</math> | לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>g(c)=0</math> , כלומר <math>f(c)=y</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־15:39, 8 בנובמבר 2016
משפט ערך הביניים
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . אזי לכל [math]\displaystyle{ f(a)\lt y\lt f(b) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(a)\gt y\gt f(b) }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math] .
הוכחה
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ f(a)\cdot f(b)\lt 0 }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math] .
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] .)
הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ I_1=[a,b] }[/math] . כעת, אם [math]\displaystyle{ f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0 }[/math] סיימנו.
אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח [math]\displaystyle{ I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right] }[/math] או [math]\displaystyle{ I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right] }[/math] כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math], היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b] }[/math]
כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c) }[/math]
אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
- [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math]
כפי שרצינו.
כעת נשוב למקרה הכללי. נניח בלי הגבלת הכלליות כי [math]\displaystyle{ f(a)\lt f(b) }[/math] .
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-y }[/math] . כיון ש- [math]\displaystyle{ y }[/math] בין [math]\displaystyle{ f(a),f(b) }[/math] ברור כי [math]\displaystyle{ g(a)\cdot g(b)\lt 0 }[/math] .
לפי המשפט לעיל, קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]