סיווג נקודה חשודה: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־06:24, 14 בפברואר 2017

הגדרת נקודה חשודה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית. נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת חשודה אם [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- [math]\displaystyle{ x }[/math] .

סיווג נקודות חשודות

משפט: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הגזירה ברציפות [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . עוד נניח כי

[math]\displaystyle{ \begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align} }[/math]

אזי:

אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת מינימום מקומי.
אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת מקסימום מקומי.
אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] אי-זוגי אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת פיתול.

הוכחה:

לפי טיילור לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] בין [math]\displaystyle{ x }[/math] לבין [math]\displaystyle{ a }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

אבל לפי ההנחה כי [math]\displaystyle{ n }[/math] הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] , מתקיים

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

לכן, אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] בה [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}\gt 0 }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)\ge0 }[/math]

שכן [math]\displaystyle{ (x-a)^{(n+1)}\ge0 }[/math] תמיד עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי.

כלומר אם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x }[/math] הנה נקודת מינימום.

באופן דומה, אם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x }[/math] הנה נקודת מקסימום.

אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] אי-זוגי, אזי הסימן של [math]\displaystyle{ (x-a)^{(n+1)} }[/math] חיובי בסביבה ימנית של [math]\displaystyle{ a }[/math] ושלילי משמאלה.

כיון שסימן [math]\displaystyle{ f^{(n+1)} }[/math] קבוע בסביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] , סה"כ מצד אחד [math]\displaystyle{ f(x)\gt f(a) }[/math] ומהצד השני [math]\displaystyle{ f(x)\lt f(a) }[/math] .

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] ולכן המשיק הוא [math]\displaystyle{ y=f(a) }[/math] , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] הנה נקודת פיתול.

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 ==סיווג נקודות חשודות==
 '''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
-:<math>f'(a)=f''(a)=\ldots=f^{(n)}(a)=0</math>
+:<math>\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}</math>
-:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>
 אזי:
@@ שורה 16: / שורה 14: @@
 ==='''הוכחה:'''===
-לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
+לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:
-:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
+:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
-אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסת ב- <math>a</math>, מתקיים
+אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- <math>a</math> , מתקיים
-:<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
+:<math>f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
-לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה זו מתקיים:
+לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה מתקיים:
-:<math>f(x)-f(a)\ge 0</math>
+:<math>f(x)-f(a)\ge0</math>
-שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge 0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.
+שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.
 כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''.
@@ שורה 36: / שורה 34: @@
 אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.
-כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.
+כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבת <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .
-אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.
+אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.