אינטגרציה בחלקים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־11:11, 3 בנובמבר 2016

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור [math]\displaystyle{ f,g }[/math] בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל- [math]\displaystyle{ f'\cdot g+g'\cdot f }[/math] , אבל לא בהכרח ל- [math]\displaystyle{ f'\cdot g }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g'\cdot f }[/math] בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int x\cos(x)dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C }[/math]

ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.

[math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ I=\int e^x\cos(x)dx }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math]

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= }[/math]

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 :<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>
-הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.
+הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור <math>f,g</math> בעלות נגזרות רציפות.
-(אחרת, אמנם יש קדומה ל<math>f'\cdot g+g'\cdot f</math>, אבל לא בהכרח ל<math>f'\cdot g</math> ו <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)
+(אחרת, אמנם יש קדומה ל- <math>f'\cdot g+g'\cdot f</math> , אבל לא בהכרח ל- <math>f'\cdot g</math> ו- <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)
 ==דוגמאות==
 א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
-<math>\int{x\cdot\cos(x)}=?</math>
+<math>\int x\cos(x)dx=?</math>
 נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>
@@ שורה 23: / שורה 23: @@
 לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
-:<math>\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math> .
+:<math>\int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C</math>
-ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעייה.
+ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.
-<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math>
+<math>\int e^x\cos(x)dx=?</math>
-נסמן <math>I=\int{e^x\cdot\cos(x)}</math>
+נסמן <math>I=\int e^x\cos(x)dx</math>
 לכן
-:<math>I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>
+:<math>I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>
 ולכן
-:<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math>
+:<math>2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)</math>
 ומכאן יוצא
-:<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> .
+:<math>\int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math>
 ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
-<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>
+<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=?</math>
 נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
-ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
+ולכן <math>f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
 נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
-:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>
-:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>
-:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=</math>
 ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
-:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
+:<math>2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
 כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].