הבדלים בין גרסאות בדף "דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר"
(←פתרון) |
(←פתרון) |
||
שורה 34: | שורה 34: | ||
אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט. | אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | סיכום ביניים: | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x<-4</math> מתבדר | ||
+ | |||
+ | עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר | ||
+ | |||
+ | עבור <math>-\frac{4}{3}<x<0</math> מתכנס בהחלט | ||
+ | |||
+ | עבור <math>0<x<4</math> מתכנס בהחלט | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x>4</math> מתבדר | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כל שנותר לעשות הוא לבדוק את מקרי הקצה <math>x=-4,-\frac{4}{3},0,4</math> | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x=-4</math> הטור כלל אינו מוגדר. | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מקבלים את הטור <math>\sum \frac{(-1)^n}{n}</math> שהוא מתכנס בתנאי כידוע | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x=0</math> מקבלים את הטור של הסדרה הקבועה אפס שהוא בוודאי מתכנס בהחלט | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x=4</math> מקבלים את הטור ההרמוני <math>\sum\frac{1}{n}</math> שהוא מתבדר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===סיכום=== | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x<-4</math> מתבדר | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x=-4</math> לא מוגדר | ||
+ | |||
+ | עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מתכנס בתנאי | ||
+ | |||
+ | עבור <math>-\frac{4}{3}<x<4</math> מתכנס בהחלט | ||
+ | |||
+ | עבור <math>x\geq 4</math> מתבדר |
גרסה אחרונה מ־22:37, 21 בנובמבר 2010
תרגיל
קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
פתרון
דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:
- מתכנס בהחלט אם .
הוכחה:
- מתבדר אם
הוכחה: נסמן , כאשר . לכן לפי אי שיוויון ברנולי
לכן ולכן ולכן ולכן הטור וודאי מתבדר.
כעת, נסמן נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.
נפתור את אי השיוויון . קל לראות ש כאשר או . במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.
אם אזי , ורוצים לפתור את אי השיוויון מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור
אם אזי ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.
אם אזי צריך לפתור את אי השיוויון , שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל ולכן , ולכן עבור הטור מתבדר. עבור הטור מתכנס בהחלט.
סיכום ביניים:
עבור מתבדר
עבור מתבדר
עבור מתכנס בהחלט
עבור מתכנס בהחלט
עבור מתבדר
כל שנותר לעשות הוא לבדוק את מקרי הקצה
עבור הטור כלל אינו מוגדר.
עבור מקבלים את הטור שהוא מתכנס בתנאי כידוע
עבור מקבלים את הטור של הסדרה הקבועה אפס שהוא בוודאי מתכנס בהחלט
עבור מקבלים את הטור ההרמוני שהוא מתבדר.
סיכום
עבור מתבדר
עבור לא מוגדר
עבור מתבדר
עבור מתכנס בתנאי
עבור מתכנס בהחלט
עבור מתבדר