חתכי דדקינד

הקדמה

• אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה $x^2=2$ (שורש שתיים).

• הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה $(1,1)$ לראשית הצירים $(0,0)$?

• האם ייתכן שהפרבולה $y=x^2-2$ עולה מהנקודה $(0,-2)$ אל הנקודה $(2,2)$ בלי לחתוך את ציר האיקס?

• כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

• כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה $y=x^2-2$ עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

• ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

• כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה $\{x\in \mathbb{Q}|x<0\vee x^2<2\}$, זו הקרן באיור.

• הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

• הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה $A\subseteq \mathbb{Q}$ המקיימת:
  • $A\ne \mathrm{\varnothing }$
  • $A$ חסומה מלעיל.
  • לכל $m\in \mathbb{Q}$ מתקיים כי $m\notin A$ אם ורק אם $m$ חסם מלעיל של $A$

• הערות ותזכורות:
  • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
  • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
  • בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
  • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

• הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
• כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
• עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
• כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

• יהיו שתי חתכים $A,B$, נגדיר את החיבור:
  • $A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$

• החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
  • כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
  • סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
  • יהי $a+b\in A+B$, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים $a<c\in A$ וכן $b<d\in B$ ולכן $a+b<c+d\in A+B$ ו$a+b$ אינו חסם מלעיל של $A+B$
  • יהי $m\in \mathbb{Q}$ שאינו חסם מלעיל של $A+B$, לכן קיימים $m<a+b\in A+B$. כעת $m-a<b$ כלומר $m-a$ אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ $m=a+(m-a)\in A+B$.

חתך האפס

• נגדיר את חתך האפס:
  • $0_D=\{x\in \mathbb{Q}|x<0\}$

• נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור:
  • יהי חתך דדקינד $A$ צריך להוכיח כי $A+0_D=A$
  • נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון:
    • יהי $x=a+h\in A+0_D$ צריך להוכיח כי $x\in A$
    • כיוון ש $h\in 0_D$ נובע לפי ההגדרה כי $h<0$ ולכן $a+h<a$
    • לכן $x=a+h$ אינו חסם מלעיל של $A$ ולכן $x\in A$
  • בכיוון השני:
    • יהי $a\in A$ צריך להוכיח כי $a\in A+0_D$
    • אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים $a<b\in A$
    • כיוון ש $a-b<0$ נובע כי $a-b\in 0_D$
    • סה"כ $a=b+(a-b)\in A+0_D$ כפי שרצינו.

נגדי

• יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
  • $-A=\{x\in \mathbb{Q}|\mathrm{\exists }m\notin A:x<-m\}$

• לדוגמא $-\{x\in \mathbb{Q}|x<2\}=\{x\in \mathbb{Q}|x<-2\}$

• הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
  • הנגדי לא ריק:
    • כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן $-A\ne \mathrm{\varnothing }$
  • הנגדי חסום מלעיל:
    • יהי $a\in A$ לכן לכל $m\notin A$ מתקיים כי $a<m$ ולכן $-m<-a$
    • לכל $x\in -A$ קיים $m\notin A$ כך ש $x<-m$ ולכן $x<-a$
    • בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של $-A$.
  • כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
    • לכל איבר בנגדי $x<-m$ לכן אמצע הקטע בין $x,-m$ גדול מ$x$ וקטן מ$-m$ ולכן שייך לנגדי $-A$ ולכן $x$ אינו חסם מלעיל.
  • אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
    • נניח $y$ אינו חסם מלעיל של $-A$ לכן קיים $y<x\in -A$ ולכן קיים $m\notin A$ כך ש $y<x<-m$ ולכן $y\in -A$

הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי

• יהי חתך $A$ צריך להוכיח כי $A+(-A)=0_D$
• נבצע הכלה דו כיוונית
• בכיוון ראשון:
  • יהי $x+y\in (A+(-A))$.
  • כיוון ש$y\in (-A)$ קיים $m\notin A$ כך ש $y<-m$
  • לכן $x+y<m+y<0$
  • לכן $x+y\in 0_D$
• בכיוון שני:
  • יהי $t\in 0_D$ כלומר $t<0$
  • רוצים למצוא $a\in A,b\in (-A)$ כך ש $a+b=t$
  • נבחר $m\notin A$ כך ש$m+\frac{t}{2}\in A$
    • מדוע זה אפשרי? כי אם $m+\frac{t}{2}\notin A$ אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו $\frac{t}{2}$ שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה
  • כעת $-m+\frac{t}{2}<-m$ ולכן $-m+\frac{t}{2}\in (-A)$.
  • סה"כ $t=(m+\frac{t}{2})+(-m+\frac{t}{2})\in A+(-A)$

יחס סדר

• יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
• הוכחה:
  • יהיו שני חתכים A,B.
  • אם קיים $m\notin A$ חסם מלעיל של A כך ש$m\in B$ אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר $A\subseteq B$
  • אחרת, לכל $m\notin A$ מתקיים כי $m\notin B$. כלומר $\bar{A}\subseteq \bar{B}$ ולכן $B\subseteq A$

• נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש$0_D<A$ ונגדיר את החתכים השליליים על ידי $0_D>A$

• טענה: $A\ge 0_D$ אם ורק אם $-A\le 0_D$
• הוכחה:
  • ראשית נניח כי $A\ge 0_D$
    • כלומר בעצם $0_D\subseteq A$ ולכן לכל חסם מלעיל $m\notin A$ מתקיים כי $0\le m$.
    • לכן לכל $x\in -A$ מתקיים כי $x<-m<0$
    • כלומר כל האיברים ב$-A$ שליליים, ולכן $-A\subseteq 0_D$ כלומר $-A\le 0_D$
  • בכיוון ההפוך, נניח כי $-A\le 0_D$
    • לכן כל האיברים ב$-A$ שליליים.
    • אם קיים $0>m\notin A$ אזי $0<-\frac{m}{2}\in -A$ בסתירה.
  • לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר $0_D\subseteq A$ ולכן $A\ge 0_D$

כפל חתכי דדקינד

• יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים $0_D\le A,B$, נגדיר את הכפל:
  • $A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus 0_D\wedge y\in B\setminus 0_D\}\cup 0_D$
• אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
  • $A\cdot B=-((-A)\cdot B)$
• אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
  • $A\cdot B=-(A\cdot (-B))$
• אם A,B שליליים נגדיר:
  • $A\cdot B=(-A)\cdot (-B)$

הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד

• יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים $0_D<A,B$

• ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש $0_D\subseteq A\cdot B$

• כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל $m_A,m_B$ בהתאמה.
• לכל $xy\in AB$ מתקיים כי $x<m_A,y<m_B$ ולכן $xy<m_A\cdot m_B$. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.

• אם $t\in AB$ צ"ל כי $t$ אינו חסם מלעיל של $AB$.
• אם $t\le 0$ ברור שאינו חסם מלעיל של $AB$ כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
• לכן $t=xy\in AB$.
• כיוון ש$x$ אינו חסם מלעיל של $A$ קיים $x<z\in A$ ולכן $xy<zy\in A$ בסתירה.

• אם $t\notin AB$ צ"ל כי $t$ חסם מלעיל.
• נב"ש כי $t$ אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
• כיוון ש $t\notin AB$ נובע כי $t>0$, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה $t<xy$.
• לכן $\frac{t}{y}<x$, נבחר $x_1=\frac{t}{y}<x$.
• כיוון ש$x_1<x$ נובע כי $x_1\in A$.
• לכן $t=x_{1}y\in A\cdot B$ בסתירה.

• אם אחד החתכים הוא $0_D$ קל להוכיח כי מכפלתם היא $0_D$ ולכן מהווה חתך.

חתך היחידה

• נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
• $1_D=\{x\in \mathbb{Q}|x<1\}$

הופכי

• אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
• $A^{-1}=\{x\in \mathbb{Q}|\mathrm{\exists }m\notin A:x<\frac{1}{m}\}$
• אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
• $A^{-1}=-(-A{)}^{-1}$

הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד

• נניח A חיובי, ויהי $0<a\in A$.
• לכל חסם $m\notin A$ מתקיים כי $a<m$
• לפיכך $\frac{1}{m}<\frac{1}{a}$
• לכן $\frac{1}{a}$ הוא חסם מלעיל של $A^{-1}$

• ברור כי $A^{-1}$ אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל$A^{-1}$

• נוכיח כי כל מספר ב$A^{-1}$ אינו חסם מלעיל.
• אם $x<\frac{1}{m}\in A^{-1}$ אז גם אמצע הקטע $x<y<\frac{1}{m}\in A^{-1}$

• לבסוף, יהי $x$ שאינו חסם מלעיל של $A^{-1}$
• לכן $x<y\in A^{-1}$
• והרי קיים חסם של A כך ש $y<\frac{1}{m}$
• ולכן גם $x<\frac{1}{m}$ ולכן $x\in A^{-1}$

הוכחה שאכן מדובר בהופכי

• יהי A חיובי, נוכיח כי $A^{-1}A=1$

• ראשית, נוכיח כי $A^{-1}A\le 1$
  • יהי $0<xa\in A^{-1}A$
  • $x\in A^{-1}$, לכן קיים חסם מלעיל $m\notin A$ כך ש $x<\frac{1}{m}$
  • כמובן ש $a<m$
  • ביחד $xa<\frac{1}{m}\cdot m=1$.

• כעת נוכיח כי $A^{-1}A\ge 1$
• צ"ל כי אפשר לבחור איבר $xa\in A^{-1}A$ הקרוב ל1 כרצוננו.
• נבחר $0<a\in A,m\notin A$ כך ש $a,m$ קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).
• נבחר $x<\frac{1}{m}$ כך ש$x,\frac{1}{m}$ קרובים כרצוננו.
• סה"כ $1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)$
• כיוון שקבוצת החסמים $m$ חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את $m-a$ כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.

• לבסוף, אם $A$ שלילי, $A^{-1}=-(-A{)}^{-1}$
• לכן $A^{-1}A=-(-A{)}^{-1}\cdot A=(-A{)}^{-1}\cdot (-A)=1$
  • המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

• הגדרה: $\mathbb{R}$ הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.

שדה הממשיים הוא סדר סדור

• נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל.

הוכחה

תכונות השדה

• סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך
• חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.
• אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.
• נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים
• נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
• הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
• פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים

תכונות שדה סדור

• איזוטוניות ביחס לסכום:
  • יהיו חתכים A,B,C כך ש$A\le B$ צ"ל כי $A+C\le B+C$
  • נתון כי $A\subseteq B$ צ"ל כי $A+C\subseteq B+C$
  • יהי $a+c\in A+C$, לכן $a\in B$ ולכן $a+c\in B+C$.

• יהיו זוג חתכים $A\le B$ ויהי חתך $C$ חיובי. צ"ל כי $AC\le BC$
  • ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
    • יהי $0<ac\in AC$ כאשר $0<a,c$.
    • כיוון ש $A\subseteq B$ נובע כי $a\in B$ ולכן $ac\in BC$.
  • כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)
    • לפי הגדרת הכפל $AC=-((-A)C)$ הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי $BC$

• לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
• ראשית נוכיח טענת עזר: $A\le B$ אם ורק אם $-A\ge -B$
  • בכיוון אחד, נתון כי $A\le B$ ורוצים להוכיח כי $-A\ge -B$
    • יהי $x\in -B$, כלומר קיים חסם $m\notin B$ כך ש $x<m$
    • כיוון ש$A\le B$ נובע כי $m\notin A$ ולכן $x\in -A$
  • בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי $-(-A)=A$

• כעת נחזור להוכחה:
• מהנתון נובע כי $-A\ge -B$
• כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש $(-A)C\ge (-B)C$
• לכן $-((-A)C)\le -((-B)C)$
• כלומר הוכחנו $AC\le BC$

שלמות הממשיים

• תהי $\mathrm{\varnothing }\ne A\subseteq \mathbb{R}$ קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים $M\in \mathbb{R}$ כך ש$\mathrm{\forall }a\in A:a\le M$. אזי קיים ל$A$ חסם עליון ממשי.

הוכחה

• נסמן ב$S$ את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל$A$, כלומר $S={\cup }_{x\in A}x$

• נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
  • $S$ אינה ריקה
    • $A$ אינה ריקה, ולכן קיים $x\in A$.
    • כיוון ש$x$ חתך דדקינד הוא אינו ריק.
    • $x\subseteq S$ ולכן $S$ אינה ריקה
  • $S$ חסומה:
    • כיוון ש$M$ חסם מלעיל של $A$ לכל $x\in A$ מתקיים כי $x\le M$
    • לפי יחס הסדר מתקיים כי $x\subseteq M$.
    • כיוון שלכל $x\in A$ מתקיים כי $x\subseteq M$ נובע כי גם $S\subseteq M$.
    • לכן $S$ חסומה מלעיל.
  • נוכיח כי $x\in S$ אם ורק אם $x$ אינו חסם מלעיל של $S$
    • אם $x\in S$ אזי $x\in D\in A$
    • אם $x$ חסם מלעיל של $S$ אזי הוא בפרט חסם מלעיל של $D$ בסתירה.
    • מצד שני, אם $m$ חסם מלעיל של $S$ הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי $A$ ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי $A$ ולכן אינו שייך ל$S$

• ברור כי לכל $x\in A$ מתקיים כי $x\le S$ כיוון ש$x\subseteq S$ (כל קבוצה מוכלת באיחוד).

• נוכיח כי $S$ הוא החסם העליון של $A$.
• נב"ש כי קיים $T$ חסם מלעיל של $A$ כך ש $T<S$.
• לכן קיים $x\in S\setminus T$.
• לכן קיים $D\in A$ כך ש $x\in D$.
• לכן $D⊈T$ בסתירה לכך ש$T$ חסם מלעיל של $A$

ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים

• ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
• נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
  • אם $a_n$ היא סדרת הספרות ו$k$ הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
  • $sup\{{10}^k\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{{10}^i}|n\in \mathbb{N}\}$

• דוגמא פשוטה:
• עבור הסדרה הקבועה $a_n=9$, ומיקום הנקודה העשרונית $k=0$ נקבל את הייצוג העשרוני $0.999...$
• לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
  • $0.999...=sup\{0,0.9,0.99,0.999,...\}$

• קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
• 1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
• לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
• מסקנה: $1=0.999...$