משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
 
(4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
=אינטגרבליות=
{{כותרת נושא|אינטגרביליות|נושא ראשון}}


'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).
'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).
שורה 11: שורה 11:
היום נדבר על הראשונה.
היום נדבר על הראשונה.


== אינטגרבליות לפי דרבו ==
=אינטגרבליות לפי דרבו=


תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.
נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math>. לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> ו-<math>\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.


כמו כן נגדיר  
כמו כן נגדיר  
{{left|
{{left|
<math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
<math>\overline I:=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>


<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
<math>\underline I:=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
}}
}}
אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא <math>\overline I=\underline I</math>.
אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.


===דוגמה 1===
==דוגמה 1==
הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>f(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.


====פתרון====
===פתרון===
'''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.
'''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.


'''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
'''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>\Delta x=\frac1n</math>.


במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1</math>, ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.
# רוחב המלבן
# רוחב המלבן
# אורך המלבן
# אורך המלבן
(נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)


 
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):
(נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
{{left|
 
<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n</math>
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
}}
 
<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n</math>
 
...
 
אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).


עבור <math>\overline I</math> נרשום:
נחשב:
<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=</math>...
{{left|
<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12</math>


באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>
<math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>
}}


'''מסכנה:''' f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.
לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>. {{משל}}
'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת


ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math>
'''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>.


----
==דוגמה 2==
'''''יש טעות, היא תתוקן בהמשך'''''.
חשב את השטח שמתחת לעקומה <math>y=9-x^2</math> בקטע <math>[0,3]</math>. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.


'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
===פתרון===
באופן כללי צריך לבחור חלוקה <math>T_n</math> שעבורה <math>\lambda(T_n)\to0</math>, למשל <math>x_i=\frac{3i}n</math> כאשר <math>n\to\infty</math> (ולכן <math>\Delta x_i=\frac3n\to0</math>). נבנה סכום דרבו מתאים:
{|
{{=|l=\underline S
  |r=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right)
  |c=ברור ש-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2</math> ולכן:
}}
{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right)
}}
{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2
}}
{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2
}}
{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6
}}
{{=|r=27-\frac{27\cdot2}6
}}
{{=|r=18
}}
|}


'''פתרון:''' ''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).  
באותו אופן מגיעים ל-<math>\overline S=18</math> ולכן <math>\int\limits_0^3 f=18</math>. {{משל}}


נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>.
==דוגמה 3==
הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{!}}f{{!}}}} אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.


כאשר <math>k\in\{0,1,2,\dots\}</math> מתקיים <math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
===פתרון===
'''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> (כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}}


<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>
'''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0</math>.
----
'''ד<math>|f|</math>וגמה 3:''' הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.


'''פתרון:''' הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה <math>f(x)=\begin{cases}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.
'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.


'''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.
==דוגמה 4==
הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\subset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.


'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.
===פתרון===
'''הוכחה:''' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>.


'''דוגמה 4:''' הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,d]\subseteq[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> של <math>[c,b]</math> עבורה מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נגדיר <math>T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\}</math>.


'''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> המקיימת ב-<math>[a,b]</math> ש-<math>\overline S(T_c)-\underline S(T_c)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon</math>. נשים לב כי<math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math> ו-<math>T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math>.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:
{{left|
<math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math>


נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. <math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math> ובאופן דומה: <math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>.
<math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>
 
}}
...
לכן:
{|
{{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)
  |r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a)
  |c=נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:
}}
{{=|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})
}}
{{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2
  |o=\le
  |c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math> (קיים כי כאשר <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)
}}
{{=|r=\varepsilon
}}
|}
{{משל}}
{{משל}}


'''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)</math>
==דוגמה 5==
חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)</math>.


'''פתרון:''' נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:
===פתרון===
<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.  
נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.  


לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>).
לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>). {{משל}}


'''משפט:''' תנאי הכרחי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.
----
 
''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.


'''דוגמה 6:''' קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.
'''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.


# <math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\frac\pi2\right]</math>
'''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
:# '''פתרון:''' נראה כי f לא חסומה. <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}


#<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad x\ne0\\0\quad x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.
==דוגמה 6==
:# '''פתרון:''' נשים לב כי<math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}
קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:
<ol>
<li>
<math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.
===פתרון===
'''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}
</li>
<li>
<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.
===פתרון===
'''כן אינטגרבילית:''' נשים לב כי <math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}
</li>
</ol>

גרסה אחרונה מ־16:18, 2 במרץ 2011

נושא ראשון:
אינטגרביליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]).

גרף (1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

  1. אינטגרבליות לפי דרבו
  2. אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על הראשונה.

אינטגרבליות לפי דרבו

נסמן [math]\displaystyle{ M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) }[/math]. לכל חלוקה T נגדיר [math]\displaystyle{ \overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i }[/math].

כמו כן נגדיר

[math]\displaystyle{ \overline I:=\inf\{\overline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline I:=\sup\{\underline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

דוגמה 1

הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה [math]\displaystyle{ \Delta x=\frac1n }[/math].

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות [math]\displaystyle{ 0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1 }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)} }[/math].

  1. רוחב המלבן
  2. אורך המלבן

(נשים לב כי [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):

[math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n }[/math]

אם נראה כי [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

נחשב:

[math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12 }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12 }[/math]

לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא [math]\displaystyle{ \tfrac12 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הערה: נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-[math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math].

דוגמה 2

חשב את השטח שמתחת לעקומה [math]\displaystyle{ y=9-x^2 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math]. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון

באופן כללי צריך לבחור חלוקה [math]\displaystyle{ T_n }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ \lambda(T_n)\to0 }[/math], למשל [math]\displaystyle{ x_i=\frac{3i}n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] (ולכן [math]\displaystyle{ \Delta x_i=\frac3n\to0 }[/math]). נבנה סכום דרבו מתאים:

ברור ש-[math]\displaystyle{ m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2 }[/math] ולכן: [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ \underline S }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6 }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 27-\frac{27\cdot2}6 }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

באותו אופן מגיעים ל-[math]\displaystyle{ \overline S=18 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int\limits_0^3 f=18 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם |f| אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

פתרון

הפרכה: נבחר את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1 }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ D(x) }[/math] היא פונקצית דיריכלה). ברור כי [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math].

הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

דוגמה 4

הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ [c,b]\subset[a,b] }[/math] f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

פתרון

הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה [math]\displaystyle{ T_\varepsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המקיימת ש-[math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)\lt \varepsilon }[/math].

נתון כי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] ולכן יש חלוקה [math]\displaystyle{ T_{\varepsilon'} }[/math] של [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ \overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})\lt \frac\varepsilon2 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\} }[/math].

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:

[math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'}) }[/math]

לכן:

נסמן [math]\displaystyle{ M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x) }[/math], לפיכך: [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ (M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'}) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
נבחר c כך ש- [math]\displaystyle{ (c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2} }[/math] (קיים כי כאשר [math]\displaystyle{ a\lt c\to a }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ M-m\to0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (c-a)(M-m)\to0 }[/math]) [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 }[/math] [math]\displaystyle{ \le }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 5

חשב [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right) }[/math].

פתרון

נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה [math]\displaystyle{ e^x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. [math]\displaystyle{ e^x }[/math] פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}} }[/math], וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx }[/math].

לפי המשפט היסודי זה שווה ל-[math]\displaystyle{ [e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1 }[/math] (הפונקציה הקדומה של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] היא [math]\displaystyle{ e^x }[/math]). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט: תנאי הכרחי כדי שפונקציה [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תהיה אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא ש-f חסומה בקטע.

משפט: אם f חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 6

קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:

  1. [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x\lt \tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left[0,\tfrac\pi2\right] }[/math].

    פתרון

    לא אינטגרבילית: מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty }[/math]. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

  2. [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math].

    פתרון

    כן אינטגרבילית: נשים לב כי [math]\displaystyle{ -1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1 }[/math]. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ולכן f אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_תרגול/20.2.11&oldid=9956"