גרסה מ־14:33, 2 במאי 2011

את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math]. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math]. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] אז היא אינטגרבילית מקומית.

תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] להיות [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math] ונבדוק את שתי הטענות הבאות:

שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנסים.
עפ"י משפט 2 [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנס. באותו אופן [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f }[/math] מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] אז הם שווים ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f }[/math].
ובכן עפ"י משפט 2 [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f }[/math]. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]). לכן נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f }[/math] אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אם אין גבול אומרים ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר.

דוגמאות

נקח [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ p=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty }[/math] והאינטגרל מתבדר. עבור [math]\displaystyle{ p\ne1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p\lt 1\\\infty&\text{else}\end{cases} }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=\ln(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)} }[/math] כלומר מתכנס.
דרך קצרה: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2 }[/math].

לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

הנחה קבועה: נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ואם c קבוע אז [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].

משפט 2

עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,c] }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math].

משפט 3

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+} f(x) }[/math] קיים אם"ם f חסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

מסקנה

עבור [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math].

משפט 4 (מבחן ההשוואה)

נניח שב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le g(x) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתבדר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==משפט 10==
+את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
-===הוכחה===
-לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\lim_{n=1}^\infty s_n(b_n-b_{n-1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}/math> יורדת ו-<math>-1</math> אחרת: <math>\sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R</math> כלומר הסכום מתכנס. {{משל}}
-===הערות ודוגמאות===
-* משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור <math>b_n</math> מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים <math>\sum_{n=1^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.
-* נניח ש-<math>\{b_n\}</math> יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n</math> מתכנס. נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^\infty\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))=\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}-\frac12\le\frac12\frac1{\sin(1/2)}+\frac12</math>.
-----
+=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}=
+'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
-'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כאשר f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(-\infty,b]</math> מגדירים <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f</math> ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
+'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.
-'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.
+'''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
+* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים.
+*: עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
+* נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>.
+*: ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
-'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>\mathbb R</math>. נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק:
+=אינטגרל לא אמיתי, סוג II=
-# שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
-# נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>. ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
-=אינטגרל לא אמיתי מסוג שני=
 מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
-'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>).
+'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>). לכן נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.
-אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.
 ==דוגמאות==
-# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}</math>.
+# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>.
-# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
+# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
 # דרך קצרה: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2</math>.
@@ שורה 37: / שורה 31: @@
 אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
 ==משפט 2==
-עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+c\int\limits_c^b f</math>.
+עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
 ==משפט 3==
-תהי F מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} F(x)</math> קיים אם"ם F חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
+תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
 ===מסקנה===
-עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חבומים כאשר <math>c\to a+</math>.
+עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
 ==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
-נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
+נניח שב-<math>(a,b]</math> הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
 * אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 * אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.